2018-2019版物理新导学笔记人教通用版选修3-5讲义：第十六章 动量守恒定律 微型专题　动量和能量的综合应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精微型专题动量和能量的综合应用［学习目标]1。进一步熟练掌握动量守恒定律的应用.2.综合应用动量和能量观点解决力学问题．一、滑块—木板模型1．把滑块、木板看做一个整体，摩擦力为内力,在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒．2．由于摩擦生热,机械能转化为内能，系统机械能不守恒,应由能量守恒求解问题．3．注意:若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多．例1如图1所示，B是放在光滑的水平面上质量为3m的一块木板,物块A（可看成质点）质量为m，与木板间的动摩擦因数为μ。最初木板B静止，物块A以水平初速度v0滑上长木板，木板足够长．求：(重力加速度为g）图1(1)木板B的最大速度是多少？（2)木块A从刚开始运动到A、B速度刚好相等的过程中，木块A所发生的位移是多少？(3)若物块A恰好没滑离木板B，则木板至少多长?答案（1）eq\f（v0，4)(2)eq\f（15v\o\al(,02)，32μg)（3）eq\f（3v\o\al(，02)，8μg）解析(1）由题意知，A向右减速，B向右加速，当A、B速度相等时B速度最大．以v0的方向为正方向,根据动量守恒定律:mv0＝(m＋3m)v①得:v＝eq\f（v0，4）②（2）A向右减速的过程,根据动能定理有－μmgx1＝eq\f（1，2）mv2－eq\f（1,2）mv02③则木块A所发生的位移为x1＝eq\f(15v\o\al（,02),32μg）④(3)方法一:B向右加速过程的位移设为x2。则μmgx2＝eq\f(1，2）×3mv2⑤由⑤得：x2＝eq\f（3v\o\al（,02）,32μg)木板的最小长度：L＝x1－x2＝eq\f(3v\o\al（,02),8μg)方法二:从A滑上B至达到共同速度的过程中，由能量守恒得：μmgL＝eq\f（1,2)mv02－eq\f（1,2）（m＋3m）v2得:L＝eq\f(3v\o\al（，02)，8μg）。二、子弹打木块模型1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力,则系统动量守恒．2．在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化．3．若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度，机械能损失最多．例2如图2所示，在水平地面上放置一质量为M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出），若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：（重力加速度为g）图2（1）射入的过程中，系统损失的机械能；（2）子弹射入后，木块在地面上前进的距离．答案（1）eq\f(Mmv2，2M＋m）(2)eq\f(m2v2,2M＋m2μg）解析因子弹未射出，故碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差．（1）设子弹射入木块后,二者的共同速度为v′,取子弹的初速度方向为正方向，则由动量守恒得:mv＝（M＋m）v′①射入过程中系统损失的机械能ΔE＝eq\f（1，2)mv2－eq\f(1，2)（M＋m）v′2②解得：ΔE＝eq\f（Mmv2,2M＋m）。（2）子弹射入木块后二者一起沿地面滑行，设滑行的距离为x，由动能定理得：－μ(M＋m）gx＝0－eq\f(1，2)(M＋m）v′2③由①③两式解得：x＝eq\f（m2v2,2M＋m2μg)。子弹打木块模型与滑块-木板模型类似，都是通过系统内的滑动摩擦力相互作用，系统动量守恒．当子弹不穿出木块时，相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多．三、弹簧类模型1．对于弹簧类问题，在作用过程中,若系统合外力为零，则满足动量守恒．2．整个过程往往涉及到多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．3．注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等,此时弹簧弹性势能最大．例3两块质量都是m的木块A和B在光滑水平面上均以速度eq\f（v0,2)向左匀速运动，中间用一根劲度系数为k的水平轻弹簧连接，如图3所示．现从水平方向迎面射来一颗子弹，质量为eq\f(m，4)，速度为v0，子弹射入木块A并留在其中．求:图3（1）在子弹击中木块后的瞬间木块A、B的速度vA和vB的大小．（2）在子弹击中木块后的运动过程中弹簧的最大弹性势能．答案(1）eq\f(v0,5）eq\f(v0，2）(2)eq\f(1，40）mv02解析(1）在子弹打入木块A的瞬间，由于相互作用时间极短，弹簧来不及发生形变,A、B都不受弹簧弹力的作用，故vB＝eq\f(v0,2）；由于此时A不受弹簧的弹力,木块A和子弹构成的系统在这极短过程中所受合外力为零,系统动量守恒，选向左为正方向,由动量守恒定律得:eq\f(mv0，2）－eq\f（mv0，4）＝（eq\f（m，4)＋m)vA解得vA＝eq\f（v0，5）(2)由于子弹击中木块A后木块A、木块B运动方向相同且vA〈vB，故弹簧开始被压缩，分别给A、B木块施以弹力,使得木块A加速、B减速运动，弹簧不断被压缩，弹性势能增大，直到二者速度相等时弹簧弹性势能最大，在弹簧压缩过程木块A(包括子弹)、B与弹簧构成的系统动量守恒，机械能守恒．设弹簧压缩量最大时共同速度为v,弹簧的最大弹性势能为Epm，选向左为正方向，由动量守恒定律得：eq\f（5,4）mvA＋mvB＝（eq\f（5，4)m＋m）v由机械能守恒定律得:eq\f（1，2)×eq\f（5,4）mveq\o\al(，A2）＋eq\f（1，2)mveq\o\al（,B2）＝eq\f(1，2)×（eq\f（5,4）m＋m)v2＋Epm联立解得v＝eq\f（1,3)v0，Epm＝eq\f（1,40)mv02.1．(滑块—木板模型)如图4所示,质量为M、长为L的长木板放在光滑水平面上，一个质量也为M的物块（视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板,如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端,如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在长木板上最多能滑行的距离为(）图4A．LB.eq\f(3L,4）C.eq\f(L，4)D。eq\f（L，2）答案D解析长木板固定时，由动能定理得:－μMgL＝0－eq\f(1,2)Mv02，若长木板不固定，以物块初速度的方向为正方向，有Mv0＝2Mv,μMgs＝eq\f(1，2）Mveq\o\al（，02）－eq\f（1,2）×2Mv2,得s＝eq\f(L,2），D项正确，A、B、C项错误．2．(子弹打木块模型）矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层,则子弹刚好能射穿一半厚度，如图5所示,则上述两种情况相比较，下列说法不正确的是()图5A．子弹的末速度大小相等B．系统产生的热量一样多C．子弹对滑块做的功相同D．子弹和滑块间的水平作用力一样大答案D解析设子弹的质量是m，初速度是v0，滑块的质量是M，选择子弹初速度的方向为正方向，由动量守恒定律知滑块获得的最终速度（最后滑块和子弹的共同速度）为v.则:mv0＝（m＋M）v所以:v＝eq\f(mv0，M＋m）可知两种情况下子弹的末速度是相同的,故A正确；子弹嵌入下层或上层过程中，系统产生的热量都等于系统减少的动能，而子弹减少的动能一样多（子弹初、末速度相等)，滑块增加的动能也一样多，则系统减少的动能一样，故系统产生的热量一样多，故B正确；滑块的末速度是相等的，所以获得的动能是相同的,根据动能定理,滑块动能的增量是子弹做功的结果,所以两次子弹对滑块做的功一样多，故C正确；子弹嵌入下层或上层过程中，系统产生的热量都等于系统减少的动能，Q＝Ff·x相对,由于两种情况相比较子弹能射穿的厚度不相等，即相对位移x相对不相等,所以两种情况下子弹和滑块间的水平作用力不一样大，故D错误．3．(弹簧类模型）（多选）如图6所示，与水平轻弹簧相连的物体A停放在光滑的水平面上,物体B沿水平方向向右运动，跟与A相连的轻弹簧相碰．在B跟弹簧相碰后，对于A、B和轻弹簧组成的系统，下列说法中正确的是(）图6A．弹簧压缩量最大时，A、B的速度相同B．弹簧压缩量最大时,A、B的动能之和最小C．弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减少D．物体A的速度最大时，弹簧的弹性势能为零答案ABD解析物体B与弹簧接触时，弹簧发生形变，产生弹力，可知B做减速运动，A做加速运动，当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，故A正确．A、B和弹簧组成的系统动量守恒，压缩量最大时，弹性势能最大,根据能量守恒，此时A、B的动能之和最小，故B正确．弹簧在压缩的过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒,故C错误．当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大,然后A继续加速，B继续减速，弹簧逐渐恢复原长,当弹簧恢复原长时,A的速度最大，此时弹簧的弹性势能为零，故D正确．4．（动量与能量的综合应用）如图7所示，固定的光滑圆弧面与质量为6kg的小车C的上表面平滑相接,在圆弧面上有一个质量为2kg的滑块A，在小车C的左端有一个质量为2kg的滑块B，滑块A与B均可看做质点．现使滑块A从距小车的上表面高h＝1。25m处由静止下滑，与B碰撞后瞬间粘合在一起共同运动，最终没有从小车C上滑出．已知滑块A、B与小车C间的动摩擦因数均为μ＝0。5，小车C与水平地面间的摩擦忽略不计,取g＝10m/s2。求：图7（1）滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小；（2)小车C上表面的最短长度．答案（1)2.5m/s（2)0。375m解析(1）设滑块A滑到圆弧末端时的速度大小为v1，由机械能守恒定律得：mAgh＝eq\f（1，2)mAveq\o\al（,12)①代入数据解得v1＝eq\r（2gh）＝5m/s②设A、B碰后瞬间的共同速度为v2，滑块A与B碰撞瞬间与车C无关，滑块A与B组成的系统动量守恒，以向右的方向为正方向，mAv1＝(mA＋mB）v2③代入数据解得v2＝2。5m/s④(2)设小车C上表面的最短长度为L，滑块A与B最终恰好没有从小车C上滑出，三者最终速度相同设为v3，以向右的方向为正方向根据动量守恒定律有：（mA＋mB)v2＝(mA＋mB＋mC）v3⑤根据能量守恒定律有：μ(mA＋mB)gL＝eq\f(1,2)（mA＋mB）v22－eq\f(1，2）（mA＋mB＋mC）v32⑥联立⑤⑥式代入数据解得L＝0。375m.一、选择题考点一滑块－木板模型1．如图1所示，在光滑水平面上，有一质量M＝3kg的薄板和质量m＝1kg的物块都以v＝4m/s的初速度相向运动，它们之间有摩擦，薄板足够长，当薄板的速度为2.9m/s时，物块的运动情况是（)图1A．做减速运动 B．做加速运动C．做匀速运动 D．以上运动都有可能答案A解析开始阶段,物块向左减速,薄板向右减速,当物块的速度为零时,设此时薄板的速度为v1，规定向右为正方向,根据动量守恒定律得：（M－m）v＝Mv1代入数据解得：v1≈2.67m/s＜2.9m/s，所以物块处于向左减速的过程中．2．质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块,小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ，初始时小物块停在箱子正中间，如图2所示．现给小物块一水平向右的初速度v,小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间,并与箱子保持相对静止．设碰撞都是弹性的，则整个过程中,系统损失的动能为(）图2A。eq\f（1，2)mv2 B．μmgLC.eq\f(1，2)NμmgL D.eq\f（mMv2,2m＋M)答案D解析由于箱子M放在光滑的水平面上,则由箱子和小物块组成的整体动量始终是守恒的，直到箱子和小物块的速度相同时，小物块与箱子之间不再发生相对滑动，以v的方向为正方向，有mv＝（m＋M）v1系统损失的动能是因为摩擦力做负功ΔEk＝－Wf＝μmg·NL＝eq\f(1,2)mv2－eq\f（1,2）(M＋m)v12＝eq\f(mMv2，2m＋M），故D正确，A、B、C错误．考点二子弹打木块模型3．如图3所示,木块静止在光滑水平桌面上,一子弹水平射入木块的深度为d时,子弹与木块相对静止,在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为L，木块对子弹的平均阻力为Ff,那么在这一过程中下列说法不正确的是(）图3A．木块的机械能增量为FfL B．子弹的机械能减少量为Ff(L＋d)C．系统的机械能减少量为Ffd D．系统的机械能减少量为Ff（L＋d)答案D解析子弹对木块的作用力大小为Ff，木块相对于桌面的位移为L，则子弹对木块做功为FfL,根据动能定理得知，木块动能的增加量,即机械能的增量等于子弹对木块做的功，即为FfL。故A正确．木块对子弹的阻力做功为－Ff(L＋d)，根据动能定理得知：子弹动能的减少量，即机械能的减少量等于子弹克服阻力做功,大小为Ff(L＋d),故B正确．子弹相对于木块的位移大小为d，则系统克服阻力做功为Ffd，根据功能关系可知，系统机械能的减少量为Ffd，故C正确，D错误．4．（多选）用不可伸长的细线悬挂一质量为M的小木块，木块静止,如图4所示．现有一质量为m的子弹自左方水平射向木块，并停留在木块中，子弹初速度为v0,重力加速度为g，则下列说法正确的是()图4A．从子弹射向木块到一起上升到最高点的过程中系统的机械能守恒B．子弹射入木块瞬间动量守恒，故子弹射入木块瞬间子弹和木块的共同速度为eq\f（mv0，M＋m)C．忽略空气阻力，子弹和木块一起上升过程中系统机械能守恒，其机械能等于子弹射入木块前的动能D．子弹和木块一起上升的最大高度为eq\f(m2v\o\al(,02），2gM＋m2）答案BD解析从子弹射向木块到一起运动到最高点的过程可以分为两个阶段：子弹射入木块的瞬间系统动量守恒，但机械能不守恒,有部分机械能转化为系统内能，之后子弹在木块中与木块一起上升，该过程只有重力做功,机械能守恒但总能量小于子弹射入木块前的动能，故A、C错误；规定向右为正方向，由于弹簧射入木块瞬间系统动量守恒可知：mv0＝(m＋M）v′所以子弹射入木块后的共同速度为:v′＝eq\f（mv0，M＋m)，故B正确；之后子弹和木块一起上升，该阶段根据机械能守恒得：eq\f(1，2）（M＋m)v′2＝（M＋m）gh,可得上升的最大高度为:h＝eq\f(m2v\o\al(,02)，2gM＋m2)，故D正确．考点三弹簧类模型5．如图5所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，都可视作质点．Q与水平轻质弹簧相连．设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中,弹簧具有的最大弹性势能等于()图5A．P的初动能 B．P的初动能的eq\f(1,2)C．P的初动能的eq\f（1,3) D．P的初动能的eq\f（1,4)答案B解析把小滑块P和Q以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒．在整个碰撞过程中，当小滑块P和Q的速度相等时,弹簧的弹性势能最大．设小滑块P的初速度为v0，两滑块的质量均为m，以v0的方向为正方向，则mv0＝2mv，v＝eq\f（v0,2）所以弹簧具有的最大弹性势能Epm＝eq\f(1，2)mv02－eq\f(1,2)×2mv2＝eq\f（1，4)mv02＝eq\f（1，2）Ek0,故B正确．6．如图6所示，静止在光滑水平面上的木板，质量M＝2kg，右端有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，质量m＝1kg的铁块以水平速度v0＝6m/s，从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧又被弹回,最后恰好停在木板的左端．在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为（）图6A．3JB．4JC．12JD．6J答案D7．（多选)如图7所示,水平轻质弹簧的一端固定在墙上，另一端与质量为m的物体A相连,A放在光滑水平面上，有一质量与A相同的物体B，从离水平面高h处由静止开始沿固定光滑曲面滑下，与A相碰后一起将弹簧压缩，弹簧复原过程中某时刻B与A分开且沿原曲面上升．下列说法正确的是（重力加速度为g）（)图7A．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为mghB．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为eq\f(mgh,2)C．B与A分开后能达到的最大高度为eq\f(h，4)D．B与A分开后能达到的最大高度不能计算答案BC解析根据机械能守恒定律可得B刚到达水平面的速度v0＝eq\r（2gh)，根据动量守恒定律可得A与B碰撞后的速度为v＝eq\f（1,2)v0，所以弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为Epm＝eq\f(1,2)×2mv2＝eq\f(1，2）mgh，即A错误，B正确；当弹簧再次恢复原长时,A与B分开，B以大小为v的速度向左沿曲面上滑，根据机械能守恒定律可得mgh′＝eq\f（1，2)mv2，B能达到的最大高度为h′＝eq\f（1,4）h，即C正确，D错误．二、非选择题8．（滑块-木板模型)如图8，质量为M＝0。2kg的长木板静止在光滑的水平地面上，现有一质量为m＝0。2kg的滑块（可视为质点)以v0＝1。2m/s的速度滑上长木板的左端,小滑块与长木板间的动摩擦因数＝0。4,小滑块刚好没有滑离长木板,求:(g取10m/s2)图8（1）小滑块的最终速度大小；(2)在整个过程中，系统产生的热量；(3)以地面为参照物，小滑块滑行的距离为多少？答案（1)0。6m/s（2）0。072J(3）0.135m解析（1）小滑块与长木板组成的系统动量守恒，规定向右为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝（m＋M）v解得最终速度为：v＝eq\f(mv0,M＋m)＝eq\f(0.2×1.2，0.2＋0.2）m/s＝0。6m/s（2）由能量守恒定律得：eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)（m＋M）v2＋Q代入数据解得热量为：Q＝0.072J(3)对小滑块应用动能定理：－μmgs＝eq\f(1,2)mv2－eq\f（1，2)mv02代入数据解得距离为s＝0.135m。9．(子弹打木块模型)如图9所示,质量mB＝2kg的平板车B上表面水平，在平板车左端相对于车静止着一块质量mA＝2kg的物块A，A、B一起以大小为v1＝0.5m/s的速度向左运动,一颗质量m0＝0。01kg的子弹以大小为v0＝600m/s的水平初速度向右瞬间射穿A后，速度变为v＝200m/s.已知A与B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终达到相对静止时A刚好停在B的右端，车长L＝1m，g＝10m/s2，求：图9(1）A、B间的动摩擦因数；(2)整个过程中因摩擦产生的热量为多少？答案(1）0.1（2）1600J解析（1）规定向右为正方向，子弹与A作用过程，根据动量守恒定律得：m0v0－mAv1＝m0v＋mAvA,代入数据解得:vA＝1。5m/s，子弹穿过A后，A以1.5m/s的速度开始向右滑行，B以0.5m/s的速度向左运动，当A、B有共同速度时，A、B达到相对静止，对A、B组成的系统运用动量守恒,规定向右为正方向，有：mAvA－mBv1＝（mA＋mB）v2，代入数据解得：v2＝0。5m/s.根据能量守恒定律知：μmAgL＝eq\f（1,2）mAvA2＋eq\f（1，2）mBv12－eq\f(1，2）(mA＋mB）v22，代入数据解得：μ＝0.1.(2)根据能量守恒得，整个过程中因摩擦产生的热量为：Q＝eq\f（1，2)m0v02＋eq\f(1，2)(mA＋mB)v12－eq\f（1，2）m0v2－eq\f(1，2）(mA＋mB）v22，代入数据解得：Q＝1600J.10．(弹簧类模型）两物块A、B用水平轻弹簧相连，质量均为2kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6m/s的速度在光滑的水平地面上运动,质量为4kg的物块C静止在前方，如图10所示．B与C碰撞后二者会粘在一起运动．则在以后的运动中:图10（1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？（2)系统中弹性势能的最大值是多少？答案（1)3m/s(2）12J解析（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．取A、B初速度方向为正方向,由A、B、C三者组成的系统动量守恒得:(mA＋mB）v＝(mA＋mB＋mC)vABC，解得vABC＝eq\f(2＋2×6,2＋2＋4)m/s＝3m/s.（2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为vBC,以v的方向为正方向,则mBv＝（mB＋mC）vBC，得：vBC＝eq\f(2×6，2＋4)m/s＝2m/s，物块A、B、C速度相同