《幂函数》教学设计

、幂函数教学设计一、教材与教学内容分析1、教材分析：（1）、函数概念，图像，性质的具体印证：本节内容安排在函数的概念，性质讲授完之后，幂函数作为一个基本初等函数，其安排在教材的这个位置，实际上是对前面所学函数相关内容的一个具体实例应用。在学生掌握了函数的的概念，图像，性质的相关内容下，安排一类学生初中接触过，但不是很全面了解的函数的进行学习，目的就是为了能进一步具体的体现了研究函数基本方法（图像法，解析法）的应用，以及函数研究的基本思想（数形结合思想）的具体应用，所以本节内容在整个第三章中起到了特殊验证一般的作用，不仅是对前面说学内容的一个及时巩固还为后面的指数函数和对数函数的学习给出了方法和模式。（2）、一类具体函数的研究内容和方法的展示：教材对这一节内容的安排还体现了让学生具体体验一类函数的研究内容和方法，为后面的指数函数和对数函数的学习打下了基础，本节课教材的安排很明显体现出“先从实际问题抽象出具体函数，然后对一类函数进行定义、表示，接着利用观察图像总结函数的性质，最后再进行应用”这样一种研究一类具体函数的内容和方法的模式，在研究过程中帮助学生进一步体会如何在一般函数概念及性质的指导下展开研究，为学生在以后的学习中提供了一个研究新函数的合理的模式的方向。2、内容及分析（1）、本节课的内容：幂函数的定义；五个幂函数的图像和性质，通过幂函数的图像和性质给出研究一类函数的内容和方法。（2）、内容分析：先从实际问题入手，通过数学建模的思想让学生自主抽象出具体函数，并且在抽象过程中学生对一次函数，反比例函数，二次函数比较熟练，因此在这三个函数的基础上我们进行函数学习经验上的一个巩固和拓展，利用这个三个函数巩固前面所学函数的相关内容，拓展出的图像和性质，最终归纳5个具体函数共性，从而得出相关的性质，在由5个特殊的幂函数的图像和性质推广到一般的幂函数的图像和基本性质。二、课程标准、核心素养课程标准：通过具体实例，结合图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.核心素养：通过对幂函数的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”、“数值分析”、“数学建模”的核心素养.三、目标与目标分析目标：1、会从实际问题中抽象具体函数；2、了解幂函数的定义3、会画的图像，并通过观察图像归纳函数性质；4、通过幂函数的学习体会研究一类函数的具体内容、思想和方法。目标达成标志：1、从准确的从实际问题中抽象出变量的函数关系2、能从自变量、函数值以及函数的解析式结构等角度归纳共性，抽象出幂函数的一般形式；3、会利用幂函数的定义识别给出的函数是否为幂函数；4、会利用函数的解析式，定义域，值域，单调性，奇偶性等简化函数作图；5、利用函数的图像归纳5个幂函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等性质；6、能利用幂函数的定义、图像和性质解决一些简单的问题；7、通过幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容、思路与方法。四、学情分析学生初中已经学过一些具体的幂函数，并且在此前我们对函数的学习都是从一次函数，二次函数，反比例函数这些特殊函数入手推导的，所以对于三个函数是比较熟悉的，但是缺乏研究一类函数的内容和方法的认识，教学时应联系初中和前面学习的经验引导学生引导学生构建本节课的学习思路和思考方向。同时两个函数的图像对于学生来说是比较陌生的，结合前期所学的函数的解析式和性质来简化的作图，让学生体会到不仅可以用图像来研究性质，还可以用利用函数解析式来初步了解函数的性质来确定图像的思维方法，对学生的数形结合思想的形成有很大的帮助。在归纳性质时，学生没有一个系统的认知和方法，教师要引导学生思考研究函数的一般方法，步骤以及所要研究的内容，结合前面所学函数的内容进行合理引导，为以后新函数学习和研究确定了方向。五、教学重点、难点教学重点：幂函数的概念，幂函数的图像与性质教学难点：观察5个函数的解析式的共性抽象幂函数的概念（特殊到一般的推理）；利用函数的性质简化的作图（一般到特殊的推理）；幂函数性质的归纳；研究一类函数的内容和方法（抽象观察特殊函数-----归纳共性得出函数定义及表示----通过画草图或者函数的性质得出函数的图像----利用图像或者解析式归纳函数的性质----函数性质的应用）六、数学学科核心素养1、数学建模：将具体的实际问题抽象成函数问题，得出5个幂函数的解析式；2、数学抽象：用数学语言表示幂函数，从实际问题中抽象数学问题；3、逻辑推理：利用5个特殊的幂函数推导幂函数的定义（特殊到一般），由函数的性质简化的作图（一般到特殊），5个特殊的幂函数的图像和性质推导一般幂函数的图像和性质（特殊到一般）。4、数学运算：利用幂函数的定义求参数的值5、数据分析：利用幂函数的单调性比较大小七、教学支持条件分析利用信息技术，可以将5个幂函数的图像画在同一个平面直角坐标系中，有利于展示、观和对比，通过直观的图像，学生易于归纳出函数的性质八、教学方法、手段和模式教学方法：讲授法（辨析概念，适当提示，共性归纳），直观演示法（利用多媒体技术演示函数的图像），课堂讨论法（分组讨论课堂各种题设问题），练习法（课堂适时练习辨析概念，巩固基础知识，提升解题的基本技能），启发法（设置合理问题，启发学生思考和探究方向）教学手段：多媒体网络技术教学教学模式：问题驱动，任务驱动，分组协作。九、教学过程设计（一）课题情境引入（设置问题，学生探究，分组讨论，教师引导和总结）问题1、我们知道函数可以用来刻画实现世界中的实际问题，可以将实际问题中的变量关系抽象成一个函数的解析式，请看下面5个实际问题并填空。①如果张红以1元/kg的价格购买某种蔬菜wkg，则她应支付p=w元②如果正方形的边长为a，则正方形的面积S=③如果立方体的棱长为b，则立方体的体积V=④若果一个正方形的面积为S，则这个正方形的边长c==⑤若果某人t秒内骑行了1km，那么他的平均速度v=km/s=km/s师生活动：学生分组完成，并回答。教师纠正并补充：我们得到5个函数设计意图：进一步让学生熟悉数学建模思想的应用，提升学生的抽象思维能力，给出研究一类函数的内容和方法一：抽象、观察特殊幂函数问题2、观察5个函数的解析式，它们在式子的结构体征上有什么共性？自变量x在什么位置，函数值y又叫什么？（二）新课互动探究知识点1、幂函数的定义师生活动：教师提出问题，问题一可以分组完成和回答，教师补充填空，问题2学生先观察思考后回答，教师可以适当引导，我们前面在学函数解析式的时候接触到哪些结构特征（整式，分式，根式等）？根据学生的回答，教师进行必要的补充，最后得到结论：这几个函数解析式都是幂的形式，自变量为幂的底数，指数为定值，继而给出幂函数的定义。教师给出板书，本堂课的学习内容，以及知识点一：幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.设计意图：让学生熟悉实际问题抽象成函数问题的数学建模思想，提升数学建模核心素养，通过学生的观察要学生掌握这种由解析式的形式归纳一类函数定义的方法（同构式）和第一个内容（确定解析式），体会由特殊到一般的推理过程，提升学生的逻辑推理素养。同时给出一类函数研究的内容和方法二：幂函数的定义以及解析式的特征。追问1、在这5个函数中，哪几个有我们比较熟悉的函数吗？哪些是我们不熟悉的？师生活动：学生回答：使我们熟悉的，教师补充更正（分别为一次函数，二次函数，反比例函数的特殊情况）而且只有这三种特殊形式的一次，二次，反比例函数才是幂函数，其它的都不是幂函数，是我们不熟悉的，我们要通过本节课的学习来熟悉这两个函数。追问2、你能根据幂函数的定义再举出几个幂函数的例子吗？师生活动：学生思考后回答，或者教师点名让学生回答，教师根据学生的回答在黑板上书写学生的回答，并进行评价和纠正，或者教师可以利用学生熟悉的三个幂函数跟学生给出的进行类比来给出评价和纠正。并给出幂函数解析式的四个基本特征：(1)指数为常数；(2)底数是自变量，自变量的系数为1；(3)幂xα的系数为1；(4)只有1项．设计意图：追问1、2通过学生熟悉的函数进一步加深学生对幂函数的定义的理解以及解析式形式的熟悉，使建立幂函数与之前学习过的函数的联系，追问2的提出引导学生抓住幂函数的形式特征。并通过学生的回答及时了解学生理解的误区，适时监控课堂学生的学情。课堂探究1：（1）、下列是幂函数的是（C）ABCD（2）、已知幂函数的图像过点（2，）则2师生活动：老师给出练习，学生思考探究回答问题，先让学生之间进行点评和纠正，教师再给出正确答案，对各组的回答进行点评，给出解题思路和方法的总结：这类问题我们主要就是结合幂函数的定义，以及它解析式的四个基本特征进行判断，题2的给出让学生进一步熟练掌握待定系数法求已知函数类型的函数解析式。方法总结：1、判断函数是否是幂函数利用幂函数的定义以及解析式四个特征；2、在给出函数类型的情况下求解析式，用待定系数法，注意其基本步骤：设—代—解—还。设计意图：进一步检验学生对幂函数定义以及解析式结构特征的掌握程度，让学生互评和互相纠正，让学生养成合作学习学习习惯，教师给出评价和答案，并总结方法，让学生明确基本问题的解题策略，养成归纳总结的习惯。知识点2：的图像问题3、有了幂函数的定义，接着我们应该研究幂函数的什么了？根据你已有的经验说一说你的看法。师生活动：教师提问，学生回答，教师在学生的回答的基础上进行纠正和补充，并进行适时的引导（利用在此之前我们学习有关函数的内容进行有效引导），最后得出：根据我们学习过的函数的内容，研究函数应该要研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等内容。设计意图：引导学生回顾已有的经验，让学生会利用已有的知识点和方法解决新问题，巩固学生对函数基本性质的理解。追问1：我们该如何来研究幂函数的这些性质了？师生活动：教师在学生的回答的基础上进行总结：根据初中学习函数的经验已经前阶段学习的函数的内容，我们可以先画出这五个特殊的幂函数的图像，利用图像可以研究这5个幂函数的性质，进而可以总结出幂函数的一些性质，教师要求学生先画三个熟悉的函数的图像，引导学生进行描点法在同一直角坐标系中画图，引导学生取特殊点（1，1），（0，0）追问2、的图像又怎么确定？利用它们解析式你能说出它们的一些基本性质吗？师生活动：教师引导学生从解析式出发让学生确定这两个函数的定义域和值域，利用解析式对函数的性质进行分析，利用函数的性质来进行简化函数作图，最后得出结论：的定义域为R，值域为R，在定义域上为增函数，且是奇函数，图像过坐标原点，过点（1，1）等等，的定义域为，值域也是，在定义域上为增函数，非奇非偶函数，图像也过坐标原点和点（1，1）。然后利用多媒体技术对这两个函数的图像进行展示，并在同一坐标系中画出5个函数的图像。设计意图：让学生进一步熟练描点法画函数的图像，并引导学生利用解析式初步了解函数的相关性质，并利用性质来画不熟悉的函数的草图，让学生体会数形结合思想在研究函数问题中应用，同时引导学生取特殊点，让学生体会特殊点在函数图像和性质中的地位，能更好的反映函数一些特征，让学生能够体会高中阶段研究函数图像和性质的新特点（特殊点），同时给出了研究一类函数的研究内容和方法三：通过画草图或者函数的性质得出幂函数的图像。问题4、利用图像我们如何得出函数的性质了？观察这5个幂函数的图像，你能得出这个5个函数的图像有哪些共性和哪些差异？并完成下列探究问题。课堂探究2：根据的图像填空（1）图像经过第一象限的函数有：（2）图像经过点（1，1）的函数有：（3）在区间图像呈上升趋势的有：（4）在区间图像呈下降趋势的有：（5）图像关于原点（0，0）对称的函数有：（6）图像关于y轴对称的函数有：（7）的图像在第一象限向右无限趋近于x轴，向上无限趋近于y轴师生活动：老师给出问题，让学生观察图像，并利用老师设置的问题对5个幂函数的图像进分类整理，利用分组讨论，互相讨论，让学生通关观察后填空，教师进行评价和纠正，并给出正确答案。设计意图：通过图像的观察以及教师的有效引导，让学生体会对于一类函数的图像进行分类比较，分类比较能直观的给出图像的异同性，让学生体会利用图像的不同特征来表示函数的性质，并且从设置的问题上能很好的引导学生利用图像研究函数的性质的方向和方法，为下面利用图像研究函数的性质，并能让学生能独立完成性质的归纳进行很好的铺垫。知识点三：的性质问题5：你能通过我们对5个幂函数的图像研究归纳出这个5个幂函数的性质基本性质吗？并填写在下面的表格中。定义域RRR[0,+∞）(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞）R[0,+∞）(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数在区间(-∞,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数增函数在[0,+∞）为增函数在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数师生活动：教师给出问题以及表格，学生通过对5个函数的图像的探究以及图像的观察进行填表和回答，教师纠正，点评，并给出正确答案。追问：对于这两个不熟悉函数的性质我们利用函数的草图得出的，事实上我们利用观察草图得出函数的一些性质有时不可靠，你能否利用这个两个函数的解析对这两个函数的单调性和奇偶性进行严格证明？师生活动：教师给出追问，学生回答，并布置课后探究，体现数形结合思想在研究函数问题的重要性。教师强调在数学的学习过程中要有严谨的思维习惯。设计意图：引导学生利用图像推导函数的基本性质，让学生体会数形结合思想，并通过性质的的归纳总结给出了研究一类函数的研究内容和方法四：利用图像或者解析式归纳函数的性质，明确了以后研究新函数性质的内容和方法。课堂探究3：通过我们对图像和性质的研究，完成下列问题：对于5个幂函数（2）、5个特殊幂函数中，在区间上，图像位置从上到下的顺序为：所以当时>>>>，（填“”或者“”符号），则可得幂函数在时，底数相同时指数越小函数值越大。（3）在区间图像位置从上到下的顺序为：当时<<<<，（填“”或者“”符号）则可得幂函数在时，底数相同时指数越小函数值越小。（4）、5个幂函数中，其中为奇函数的有：，为偶函数的有：可得幂函数当指数为奇数时，幂函数为奇函数，当指数为偶数时，幂函数为偶函数（5）、在区间为增函数有：；在区间为减函数有：；则可得幂函数当指数>时，幂函数在区间上为增函数，当指数<0时，幂函数区间上为减函数师生活动：教师给出探究任务和问题，学生分组讨论并填空，分组回答教师纠正并点评，并给出正确答案，进而可以得到结论，利用5个具有代表性的特殊幂函数我们可以通过观察和类比，得出一般的幂函数的一些图像特征和基本性质，幂函数的基本性质是由指数的取值所确定的，所以我们遇到不熟悉的幂函数时可以通过探究的取值来确定图像和性质。设计意图：对幂函数的性质进行分类对比，进一步巩固幂函数的性质，体现出分类对比在研究一类函数中重要性，同时通过特殊的幂函数的性质具有的共性推导一般的幂函数的基本性质，让学生体会由特殊到一般的推理过程，提升了学生的逻辑推理能力。（三）、课堂练习巩固1、（多选题）下列说法正确的有（ACD）A、函数是幂函数B、函数在为增函数C、函数为偶函数D、函数的图像过定点（1，1）2、已知函数为幂函数，则1，的单调减区间为(-∞,0)解析：由已知可得2m-1=1,解析：由已知可得2m-1=1,可求得m=1，所以函数，则可得减区间为（-∞，0）方法总结：对于幂函数的定义，图像，性质的应用问题的求解，我们熟记幂函数解析式的四个特征，图像与性质，同时特别要关注指数a的取值是我们解决幂函数问题的关键。3、比较大小（1））与（2），，方法总结：比较幂的大小，我们先看指数，当指数相同是，我们可以构造幂函数，并通过幂函数的指数a的取值来判断幂函数的单调性，再利用幂函数的单调性比较大小；注意自变量的取值要处在同一单调区间上。师生活动：学生思考解答，学分组生回答，并要学生书写解题过程，学生互评，互相纠正，教师点评纠正，教师总结基础知识的应用和基本方法，并强调解题过程的严谨性和完整性。设计意图：通过练习加强学生对基础知识点巩固，以及对基本解题方法的理解，使相关题型与基础知识点及基本解题方法进行有效结合，同时提升学生的数学运算和数据分析能力，使学生的解题思维更严谨，解题步骤更规范。并给出了研究一类函数的内容和方法五：函数性质的应用。（四）、课时小结提升1.知识清单：(1)幂函数的定义.(2)五个常见幂函