直线与圆的位置关系(第四课时)　教学设计- 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章直线与圆的方程

课题2.5.1直线与圆的位置关系(第四课时)教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线与圆的位置关系。学生在初中的几何学习中已经接触过直线与圆的位置关系，本章已经学习了直线与圆的方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系等内容，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。课程目标利用直线和圆的位置关系解决一些简单的最值问题B.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.数学学科素养数学抽象：直线与圆的位置关系2.逻辑推理：利于直线与圆的位置关系解题3.数学运算：直线和圆的方程解决实际问题教学重难点重点：利用直线和圆的位置关系解决一些简单的最值问题，能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题难点：利用直线和圆的位置关系解决一些简单的最值问题，能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题课前准备多媒体教学环节时间安排教师活动学生活动设计意图批注2min35min3min一、复习回顾，情景导入1.直线和圆的位置关系有哪些？答案：相交、相切、相离2.判断直线和圆的位置关系的方法是什么？答案：几何法，即画出直线和圆的图像，从图形中判断出直线和圆的位置关系.3.判断直线和圆相切有哪些方法？答案：若给出图形,可根据公共点的个数判断，若公共点只有一个，则相切;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.4.求圆上一点到直线的最大值或最小值问题答案：先判断直线与圆的位置关系，再求出圆心到直线的距离d（1）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离是d+r，最小距离是0；（2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离是2r，最小距离是0；（3）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离是d+r，最小距离是d-r.二、探索新知探究一、求最值的计算方法有哪些？答案：最值的计算方法有两类（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：建立函数表达式，利用函数求最值.思考：1.已知两个定点A,B,圆上一个动点C，求S∆答案：此类题可转化为求圆上的点到直线的距离的最值问题，再利用三角形的面积公式得到所求2.恒过定点的直线被圆截得的弦长中，求最短的弦长，怎么求？答案：恒过定点的直线被圆截得的弦长中最短的弦长是与过定点和圆心的直线垂直的直线与圆截得的弦长最短3.解决实际问题的方法有哪些？答案：比较综合法和坐标法4.用坐标法解决几何问题时，步骤是什么？答案：用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.三、学以致用题型一、已知两个定点A,B,圆上一个动点C，求S∆例1.已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为()A．3 B．2 C． D．【详解】由题意，易知直线的方程为，且,∵圆可化为，∴圆心为，半径为1，又∵圆心到直线的距离，∵的面积最小时，点C到直线的距离最短，该最短距离即圆心到直线的距离减去圆的半径，故面积的最小值为.故选：D.变式训练：直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的最大值为（） B． C． D．【详解】由直线分别与轴，轴交于两点，可得，，所以，由可化为，所以圆心为，半径，因为点在圆上，所以点到直线的最大距离为圆心到的距离加上半径，即，所以面积的最大值为.故选：B变式训练：直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（） B．C． D．【详解】解：直线分别与轴，轴交于，两点，令，得，令，得，，，点到直线的距离为的高，圆的圆心为，半径为，∴圆心到直线的距离为：所以点到直线的距离的最大值为，最小值为则面积为，最大值为，最小值为，所以面积的取值范围为.题型二、恒过定点的直线被圆截得的弦长中，求最短的弦长例2.直线被圆C：所截得的最短弦长为______．【详解】由题意，圆，可得圆心，半径，则圆心到直线的距离为，可得截得弦长为，当时，弦长取得最小值，最小值为.故答案为：.变式训练：直线被圆截得的弦长最小值是___________.【详解】因为直线经过定点，定点在圆内，所以圆心到直线的最大距离为，所以，所求弦长的最小值为故答案为：题型三、利用直线和圆的位置关系解决实际问题例3.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，求水面的宽度.【详解】如图所示，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，∴水面宽度|A′B′|＝米.变式训练：某风暴中心位于某海礁处，距离风暴中心正西方向的处有一艘轮船，正以北偏东（为锐角）角方向航行，速度.已知距离风暴中心以内的水域受其影响.（1）若轮船不被风暴影响，求角的正切值的最大值？（2）若轮船航行方向为北偏东，求轮船被风暴影响持续多少时间？【详解】（1）设圆为以坐标原点为圆心，为半径的圆，由题意，要使轮船不被风暴影响，当航行路线正好与圆相切时，角最大，由，，∴，.（2）航行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为，∴该直线与圆相交的弦长为150，即轮船被风暴影响持续时间为.变式训练：截止2021年9月13日08时，第14号台风位于距离浙江省象山县正东方向约160公里的位置，中心附近最大风力14级，中心最低气压950百帕.预计，台风灿都将以每小时20公里的速度向北偏西方向移动，台风影响范围为100公里.那么，象山县是否会受到台风的影响?如果受到影响，几时会受到影响，持续多长时间?【详解】根据题意画出图形，如图所示，以象山县为坐标原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为，，设台风移动的直线与圆交于、两点，过点作于点，则为的中点，则圆心到直线的距离，所以象山县会受到影响.且，所以受影响的时间为小时，，所以在小时后，即从时开始受到影响，受影响时间为个小时.小结今天学习了什么？五、作业课本95页练习1.2.3学生思考，独立完成，给出答案师生共同完成整理笔记师生共同完成学生独立完成师生共同完成学生独立完成师生共同完成学生独立完成学生小结复习相关内容为本节课服务引导学生思考，总结，从而自然引出方法，得到结论，培养学生的逻辑思维能力，数形结合能力通过例题，进一步巩固已知两个定点A,B,圆上一个动点C，求S∆ABC的最小值通过练习让学生熟练已知两个定点A,B,圆上一个动点C，求S∆ABC的最小值通过例题让学生理解恒过定点的直线被圆截得的弦长中，求最短的弦长的方法通过练习让学生理解恒过定点的直线被圆截得的弦长中，求最短的弦