全等三角形辅助线证明的几种方法专业知识讲座课件

初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

初中几何常见辅助线作法口诀1三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。三角形2解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

全等三角形辅助线证明的几种方法专业知识讲座课件31、 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF一、

倍长法1、 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等4证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中点定义）∠1=∠5（对顶角相等）

ED=MD（辅助线作法）∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义）∴∠3+∠2=90°即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD（辅助线作法）∠EDF=∠FDM（已证）DF=DF（公共边）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形对应边相等）∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边）∴BE+CF>EF证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接5在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。6证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE∵AD为△ABC的中线（已知）∴BD=CD（中线定义）在△ACD和△EBD中

BD=CD（已证）∠1=∠2（对顶角相等）

AD=ED（辅助线作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形对应边相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB+AC>2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE7练习已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。练习已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边8二、截长补短法作辅助线要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。二、截长补短法作辅助线要证明两条线段之和9让我们来大显身手吧！例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点求证：AB-AC>PB-PC。

让我们来大显身手吧！例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB10要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明。因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC。思路导航要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明11证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN在△APN和△APC中

AN=AC（辅助线作法）∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边）∴△APN≌△APC（SAS）∴PC=PN（全等三角形对应边相等）∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形两边之差小于第三边）∴BP-PC<AB-AC证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN12证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM在△ABP和△AMP中AB=AM（辅助线作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共边）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形对应边相等）又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)∴AB-AC>PB-PC。证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM13三平行线法若题设中含有中点，可以试过中点作平行线或中位线，对直角三角形，有时可作出斜边的中线。△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。三平行线法若题设中含有中点，可以试过中点作平行线或中位14思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。思路分析：15证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，

∴∠ADO=∠AQO，

又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，

∴△ADO≌△AQO，

∴OD=OQ，AD=AQ，

又∵OD∥BP，

∴∠PBO=∠DOB，

又∵∠PBO=∠DBO，

∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，

∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，

∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，16解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。解题后的思考：17全等三角形辅助线证明的几种方法专业知识讲座课件18四翻折法若题设中含有垂线，角的平分线等条件，可以使用轴对称的性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。四翻折法若题设中含有垂线，角的平分线等条件，可以使用轴对19

1.利用三角形的角平分线来构造全等三角形

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。方法一：ABCDE必有结论：在AB上截取AE=AC，连结DE。△ADE≌△ADC。ED=CD3*21∠AED=∠C∠ADE=∠ADC。1.利用三角形的角平分线来构造20方法二：ABCDF延长AC到F，使AF=AB，连结DF。必有结论：△ABD≌△AFD。BD=FD如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：3*21

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。∠B=∠F∠ADB=∠ADF。方法二：ABCDF延长AC到F，使AF=AB，连结DF。必有21如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：ABCDMN方法三：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。必有结论：△AMD≌△ADN。DM=DN3*21

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。AM=AN∠ADM=∠ADN（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问22证明：例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD和△EBD中∵AB=EB（已知）∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）1243∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°

（等量代换）321*∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∴DE=DC（等量代换）∴∠4=∠C（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）证明：例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角23证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCF延长BA到F，使BF=BC，连结DF。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△BFD和△BCD中∵BF=BC（已知）∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）1243∵∠F＝∠C（已证）∴∠4=∠C（等量代换）321*∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DF=AD（等量代换）∴∠4=∠F（等边对等角）∵∠3+∠4＝180°

（平角定义）∴∠A+∠C＝180°

（等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角24证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCM作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义）在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB（已证）∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）∴△NBD≌△MBD（A.A.S）12∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）N43321*∴ND=MD（全等三角形的对应边相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已证）

AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角25证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCM作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。12N43321*∵BD是∠ABC的角平分线（已知）

DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴ND=MD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）∴∠4=∠C

（全等三角形的对应角相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已证）

AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∵∠3+∠4＝180°（平角定义）∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角26练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDE1221证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△AED和△ACD中∵AE=AC（已知）∠1=∠2（已证）

AD=AD（公共边）∴△AED≌△ACD（S.A.S）3∴∠B=∠4（等边对等角）4*∴∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等)又∵AB=AC+CD=AE+EB（已知）∴EB=DC=ED（等量代换）∵∠3=∠B+∠4=2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠C=2∠B（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=27练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDF12证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵AB=AC+CD，CF=CD（已知）∴AB=AC+CF=AF（等量代换）∵∠ACB=2∠F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠ACB=2∠B（等量代换）321*在△ABD和△AFD中∵AB=AF（已证）∠1=∠2（已证）

AD=AD（公共边）∴△ABD≌△AFD（S.A.S）∴∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等）∵CF=CD（已知）∴∠B=∠3（等边对等角）练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=28练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。证明:延长AE，交直线PQ于点F。*30**2221ABCDEMNPQ1234F5练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分29练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。证明:延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。*30**2221ABCDEMNPQ1234G练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分30练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。证明:延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。*30**2221ABCDEMNPQ1234G练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分31练习3已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE⊥BC，BD是∠ABC的角平分线，GF∥BC，求证：AD=FC。ABCDEH12证明:过D作DH⊥BC，垂足为H。GF*30**练习3已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE⊥B32如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？小结：（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。（1）在AB上截取AE=AC，连结DE。（2）延长AC到F，使AF=AB，连结DF。ABCDEFMN必有结论：△ADE≌△ADC。必有结论：△ABD≌△AFD。必有结论：△AMD≌△AND。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线。*30**如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？小结：（3）作DM33Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段典例1:如图,△ABC中,∠C=90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.ACD过点D作DE⊥AB构造了:全等的直角三角形且距离相等BEⅡ.角平分线上点向两边作垂线段典例1:如图,△ABC中,∠34Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段典例2:如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.ACD过点D作DE⊥AB构造了:全等的直角三角形且距离相等BE思考:

若AB=15cm,则△BED的周长是多少?Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段典例2:如图,△ABC中,∠35Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段典例3:如图,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分线,

求证:BC=AB+CD.ACD过点E作EF⊥BC构造了:全等的直角三角形且距离相等BF思考:

你从本题中还能得到哪些结论?EⅡ.角平分线上点向两边作垂线段典例3:如图,梯形中,∠A=36Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段典例4:如图,OC平分∠AOB,∠DOE+∠DPE=180o,

求证:PD=PE.ACD过点P作PF⊥OA,PG⊥OB构造了:全等的直角三角形且距离相等BF思考:

你从本题中还能得到哪些结论?EPGOⅡ.角平分线上点向两边作垂线段典例4:如图,OC平分∠AO371.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?Ⅴ.“周长问题”的转化

借助“角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠A382.如图,△ABC中,D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.Ⅴ.“周长问题”的转化

借助“垂直平分线性质”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC2.如图,△ABC中,D在AB的垂直平分线上,Ⅴ.“周长问393.如图,A、A1关于OM对称,A、A2关于ON对称.若A1A2=6cm,求△ABC的周长.Ⅴ.“周长问题”的转化

借助“垂直平分线性质”BACOMAB+AC+BCA1B+A2C+BCA1

A2A1A2N3.如图,A、A1关于OM对称,A、A2关于ON对称.Ⅴ.404.如图,△ABC中，MN是AC的垂直平分线.若AN=3cm,△ABM周长为13cm，求△ABC的周长.Ⅴ.“周长问题”的转化

借助“垂直平分线性质”BACMAB+BC+ACAB+BM+MC+6NAB+BM+AM+613+64.如图,△ABC中，MN是AC的垂直平分线.Ⅴ.“周长问415.如图,△ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC.若BC=6cm,△AMN周长为13cm，求△ABC的周长.Ⅴ.“周长问题”的转化

借助“等腰三角形性质”BACPAB+AC+BCAM+BM+AN+NC+6NAM+MP+AN+NP+613+6MAM+AN+MN+65.如图,△ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN42如何利用三角形的高来构造全等三角形？如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠ABC=2∠C。求证：AB+BD=CD提示：（1）延长DB到点E，使BE=AB，连结AE。（2）在DC上截取点E，使DE=BD，连结AE。ABCD*0**如何利用三角形的高来构造全等三角形？如图，43全等三角形辅助线证明的几种方法专业知识讲座课件44初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

初中几何常见辅助线作法口诀45三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。三角形46解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

全等三角形辅助线证明的几种方法专业知识讲座课件471、 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF一、

倍长法1、 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等48证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中点定义）∠1=∠5（对顶角相等）

ED=MD（辅助线作法）∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义）∴∠3+∠2=90°即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD（辅助线作法）∠EDF=∠FDM（已证）DF=DF（公共边）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形对应边相等）∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边）∴BE+CF>EF证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接49在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。50证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE∵AD为△ABC的中线（已知）∴BD=CD（中线定义）在△ACD和△EBD中

BD=CD（已证）∠1=∠2（对顶角相等）

AD=ED（辅助线作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形对应边相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB+AC>2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE51练习已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。练习已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边52二、截长补短法作辅助线要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。二、截长补短法作辅助线要证明两条线段之和53让我们来大显身手吧！例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点求证：AB-AC>PB-PC。

让我们来大显身手吧！例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB54要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明。因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC。思路导航要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明55证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN在△APN和△APC中

AN=AC（辅助线作法）∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边）∴△APN≌△APC（SAS）∴PC=PN（全等三角形对应边相等）∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形两边之差小于第三边）∴BP-PC<AB-AC证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN56证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM在△ABP和△AMP中AB=AM（辅助线作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共边）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形对应边相等）又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)∴AB-AC>PB-PC。证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM57三平行线法若题设中含有中点，可以试过中点作平行线或中位线，对直角三角形，有时可作出斜边的中线。△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。三平行线法若题设中含有中点，可以试过中点作平行线或中位58思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。思路分析：59证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，

∴∠ADO=∠AQO，

又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，

∴△ADO≌△AQO，

∴OD=OQ，AD=AQ，

又∵OD∥BP，

∴∠PBO=∠DOB，

又∵∠PBO=∠DBO，

∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，

∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，

∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，60解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。解题后的思考：61全等三角形辅助线证明的几种方法专业知识讲座课件62四翻折法若题设中含有垂线，角的平分线等条件，可以使用轴对称的性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。四翻折法若题设中含有垂线，角的平分线等条件，可以使用轴对63

1.利用三角形的角平分线来构造全等三角形

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。方法一：ABCDE必有结论：在AB上截取AE=AC，连结DE。△ADE≌△ADC。ED=CD3*21∠AED=∠C∠ADE=∠ADC。1.利用三角形的角平分线来构造64方法二：ABCDF延长AC到F，使AF=AB，连结DF。必有结论：△ABD≌△AFD。BD=FD如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：3*21

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。∠B=∠F∠ADB=∠ADF。方法二：ABCDF延长AC到F，使AF=AB，连结DF。必有65如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：ABCDMN方法三：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。必有结论：△AMD≌△ADN。DM=DN3*21

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。AM=AN∠ADM=∠ADN（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问66证明：例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD和△EBD中∵AB=EB（已知）∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）1243∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°

（等量代换）321*∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∴DE=DC（等量代换）∴∠4=∠C（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）证明：例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角67证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCF延长BA到F，使BF=BC，连结DF。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△BFD和△BCD中∵BF=BC（已知）∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）1243∵∠F＝∠C（已证）∴∠4=∠C（等量代换）321*∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DF=AD（等量代换）∴∠4=∠F（等边对等角）∵∠3+∠4＝180°

（平角定义）∴∠A+∠C＝180°

（等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角68证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCM作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义）在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB（已证）∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）∴△NBD≌△MBD（A.A.S）12∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）N43321*∴ND=MD（全等三角形的对应边相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已证）

AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角69证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCM作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。12N43321*∵BD是∠ABC的角平分线（已知）

DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴ND=MD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）∴∠4=∠C

（全等三角形的对应角相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已证）

AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∵∠3+∠4＝180°（平角定义）∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角70练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDE1221证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△AED和△ACD中∵AE=AC（已知）∠1=∠2（已证）

AD=AD（公共边）∴△AED≌△ACD（S.A.S）3∴∠B=∠4（等边对等角）4*∴∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等)又∵AB=AC+CD=AE+EB（已知）∴EB=DC=ED（等量代换）∵∠3=∠B+∠4=2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠C=2∠B（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=71练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDF12证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵AB=AC+CD，CF=CD（已知）∴AB=AC+CF=AF（等量代换）∵∠ACB=2∠F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠ACB=2∠B（等量代换）321*在△ABD和△AFD中∵AB=AF（已证）∠1=∠2（已证）

AD=AD（公共边）∴△ABD≌△AFD（S.A.S）∴∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等）∵CF=CD（已知）∴∠B=∠3（等边对等角）练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=72练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。证明:延长AE，交直线PQ于点F。*30**2221ABCDEMNPQ1234F5练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分73练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。证明:延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。*30**2221ABCDEMNPQ1234G练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分74练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。证明:延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。*30**2221ABCDEMNPQ1234G练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分75练习3已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE⊥BC，BD是∠ABC的角平分线，GF∥BC，求证：AD=FC。ABCDEH12证明:过D作DH⊥BC，垂足为H。GF*30**练习3已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE⊥B76如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？小结：（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。（1）在AB上截取AE=AC，连结DE。（2）延长AC到F，使AF=AB，连结DF。ABCDEFMN必有结论：△ADE≌△ADC。必有结论：△ABD≌△AFD。必有结论：△AMD≌△AND。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线。*30**如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形