七年级数学讲义概率及轴对称图形

七年级数学讲义（6.10）生活中的轴对称与概率初步复习生活中的轴对称知识点回顾：一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。2、理解轴对称图形要抓住以下几点：（1）指一个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）图形被直线分成的两部分互相重合；（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；二、轴对称1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。2、理解轴对称应注意：（1）有两个图形；（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段；轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。9、“三线合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高和中线，这三线，并非其他。10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：（1）两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。六、等边三角形1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是600。图形定义性质等腰三角形有两边相等的三角形1、两腰相等，两底角相等。2、顶角=1800-2×底角。底角=（1800-顶角）/2。3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一”。4、轴对称图形，有一条对称轴。等边三角形（又叫正三角形）三边都相等的三角形1、三边都相等，三内角相等，且每个内角都等于600。2、具有等腰三角形的所有性质。3、轴对称图形，有三条对称轴。七、轴对称的性质1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。5、类似地，轴对称图形的性质有：（1）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。（2）轴对称图形的对应线段、对应角相等。（3）根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对称图形。八、图案设计1、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。2、作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤:（1）首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点；（2）然后利用轴对称的性质，作出其相应的对称点（对应点所连的线段被对称轴垂直平分）。（3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。3、表达方式（以点M为例）：（1）过点M作对称轴的垂线，垂足为A；（2）延长MA到M’到，使M’A=MA，则点M’就是点M关于直线的对称点。（3）在复杂的作图中，也可以叙述为：作出点M关于直线的对称点M’.4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点：（1）要有明确的设计意图；（2）创意要新颖独特；（3）设计出的图案要符合要求；（4）能清楚地表达自己的设计意图和制作过程。5、图案的设计除采用对称的手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。6、设计的图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。九、镜面对称1、镜面对称的有关性质：（1）任何一个平面图形（物体）在镜子中的像与它是可以重合的。因此，一个轴对称图形在镜子中的像仍是轴对称图形。（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其右（左）侧；（3）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面的部分，其像也靠近镜面；2、关于数字0、1、3、8在镜面中像的两个结论：（1）如果写数字的纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写的0、1、3、8所成的像与原来的数字完全一样。（2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写的0、1、8这三个数字在镜中的像和原来的数字完全一样。3、像与物体到镜面的距离相等。4、像与物体的对应点连线被镜面垂直平分。5、由镜中的时间来判断真实时间是近几年来中考的一个热点。时间的表示有用一般数字表示的，也有直接用钟表来表示的。在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称的知识来加以解决。（二）习题精练：一、选择题1．下列说法中，不正确的是()A．等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线B．等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分C．一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形D．两个三角形能够重合，它们一定是轴对称的2．下列推理中，错误的是()A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形3．在等边三角形ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，若△ABC的边长为a，则△ADE的周长为()A．2a B．C．1．5a D．a4．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是()A．9cmB．12cmC．9cm和12cmD．在9cm与12cm之间5．观察图7—108中的汽车商标，其中是轴对称图形的个数为()A.2B.3C.4D.56．对于下列命题：(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；(4)如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．37．△ABC中，AB＝AC，点D与顶点A在直线BC同侧，且BD＝AD．则BD与CD的大小关系为()A．BD＞CDB．BD＝CDC．BD＜CD D．BD与CD大小关系无法确定8．下列图形中，不是轴对称图形的是()A．互相垂直的两条直线构成的图形B．一条直线和直线外一点构成的图形C．有一个内角为30°，另一个内角为120°的三角形D．有一个内角为60°的三角形9．在等腰△ABC中，AB＝AC，O为不同于A的一点，且OB＝OC，则直线AO与底边BC的关系为()A．平行B．垂直且平分C．斜交 D．垂直不平分10．三角形的三个顶点的外角平分线所在的直线两两相交，所围成的三角形一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C等腰三角形 D．直角三角形二、填空题1．正五角星形共有_______条对称轴．2．黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是__________.3．已知等腰三角形的腰长是底边长的，一边长为11cm，则它的周长为________.4．(1)等腰三角形(2)正方形(3)正七边形(4)平行四边形(5)梯形(6)菱形中，一定是轴对称图形的是_________.5如果一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够_____，则这个图形叫轴对称图形，这条直线叫__.6．如图7—109，在△ACD中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝________.7．已知：如图7—110，△ABC中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，则∠E＝_____________.8如图111，在Rt△ABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，则∠C＝___.9．如图7—112，∠BAC＝30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME＝10cm，则MD＝_________.10．如图7—113，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于D，AC⊥BO于C，则关于直线OE对称的三角形有________对．三、解答题1．如图7—114，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM＋MN＋NP最短．2．如图7—115，图中的图形是轴对称图形吗?如果是轴对称图形，请作出它们的对称轴．3．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，求PQ之长．4．如图7—116，在△ABC中，C为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，求AB之长．5．如图7—117，在△ABC中，C为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AB＝20，求△ABC的两锐角及AD、DE、EB各为多少?6．如图7—118，AD、BE分别是等边△ABC中BC、AC上的高．M、N分别在AD、BE的延长线上，∠CBM＝∠ACN．求证：AM＝BN．7．如图7—119，点G在CA的延长线上，AF＝AG，∠ADC＝∠GEC．求证：AD平分∠BAC．8．已知：如图7—120，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．求证：DE＝DF．概率初步知识点回顾：一、事件1、事件分为必然事件，不可能事件，不确定事件.2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是100%（或1）。3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为零。4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在0和1之间。5、三种事件都是相对于事件发生的可能性来说的，若事件发生的可能性为100%，则为必然事件；若事件发生的可能性为0，则为不可能事件；若事件不一定发生，即发生的可能性在0∽1之间，则为不确定事件。6、简单地说，必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是绝对不可能发生的事件；不确定事件是指有可能发生，也有可能不发生的事件。7、表示事件发生的可能性的方法通常有三种：（1）用语言叙述可能性的大小。（2）用图例表示。（3）用概率表示。二、等可能性1、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。2、游戏规则的公平性：就是看游戏双方的结果是否具有等可能性。（1）首先要看游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，若有一个必然事件或不可能事件，则游戏是不公平的；（2）其次如果两个事件都为不确定事件，则要看这两个事件发生的可能性是否相同；即看双方获胜的可能性是否相同，只有双方获胜的可能性相同，游戏才是公平的。（3）游戏是否公平，并不一定是游戏结果的两种情况发生的可能性都是二分之一，只要对游戏双方获胜的事件发生的可能性一样即可。三、概率1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。2、必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；3、不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；4、不确定事件发生的概率在0∽1之间，记作0<P（不确定事件）<1。5、概率是对“可能性”的定量描述，给人以更直接的感觉。6、概率并不提供确定无误的结论，这是由不确定现象造成的。7、概率的计算：（1）直接数数法：即直接数出所有可能出现的结果的总数n，再数出事件A可能出现的结果数m，利用概率公式直接得出事件A的概率。（2）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。四、几何概率1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积（用SA表示）除以所有可能结果组成图形的面积（用S全表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=SA/S全，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。2、求几何概率：（1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系；（2）然后计算出各部分的面积；（3）最后代入公式求出几何概率。五、设计概率模型（游戏或事件）1、设计符合要求的简单概率模型（游戏或事件）是对概率计算的逆向运用。2、设计通常分四步：（1）首先分析设计应符合什么条件；（2）其次确定选用什么图形表示更合理；（3）然后再按一定要求和操作经验来设计模型；（4）最后再通过计算或其他方法来验证设计的模型是否符合条件。（二）习题精练一、填空必然事件发生的概率是____________。即P(必然事件)=____________，不可能事件发生的概率是____________，即P（不可能事件）=____________，若A是不确定事件，则___________<P(A)<___________.从0至9这十个自然数中，任取一个，这个数小于5的概率是____________。在数学兴趣小组中某一组有女生4名，男生2名，随机指定一人为组长恰好是女生的概率是____________。盒子中有3个红球，2个白球，除颜色外，其他相同，任意摸出一球是红球的概率是____________。任意掷一枚均匀的骰子（六个面分别标有1到6个点）朝上的面积的点数是奇数的概率是____________。从一幅去掉“大、小王”的扑克牌中任意抽到一张，抽出黑桃的概率是________，出黑桃8的概率是___________。如图9-1是可自由转动的转盘，转动转盘，停止后，指针指向3的概率是____________。图10-18、10-1所示，是个正方形飞标游戏板，投掷一枚飞标，P（击中白色区域）=________，P（击中黑色区域）=_______9任意掷一枚均匀的硬币两次，则两次都是同面的概率是____________。10、从一个不透明的口袋中任意摸出一球是白球的概率为，已知袋中白球有3个，则袋中球的总数是__________。11、学站成一排，其中小明站在中间的概率是_____，站在两端的概率是_____.12、男医生和7名女医生中选一人作为医疗小组的组长，是男医生的概率是_____，是女医生的概率是_____.13.某科学考察队有3名老队员，3名新队员，考察某溶洞时，任选其中一人下去考察，是老队员的概率是_____.14、小明和小亮各写一张贺卡，先集中起来，然后每人拿一张贺卡，则他们各自拿到对方送出的贺卡的概率是_____.15、将下列事件发生的概率标在图中：图4－21（1）从高处抛出的物体必落到地面；（2）从装有5个红球的袋子中任取一个，取出的球是白球；（3）月亮绕着地球转；（4）从装有5个红球、2个白球的口袋中任取一个球，恰好是红球（这些球除颜色外完全相同）；（5）三名选手抽签决定比赛顺序（有三个签，分别写有1，2，3），抽到写有1的签.16、游戏的公平性是指双方获胜的概率。17、有一组卡片，制作的颜色，大小相同，分别标有0—10这11个数字，现在将它们背面向上任意颠倒次序，然后放好后任取一组，则：（1）P（抽到两位数）=；（2）P（抽到一位数）=；（3）P（抽到的数是2的倍数）=；（4）P（抽到的数大于10）=；二、选择1、下列事件是不可能事件是（）A、明天会下雨B、小明数学成绩是99分C、一个数与它的相反数的和是0D、明年一年共有367天2、一个事件的概率不可能是（）A、0B、C、1D、3、从1至9这些数字中任意取一个，取出的数字是偶数的概率是（）A、0B、1C、D、4、小刚掷一枚硬币，一连9次都掷出正面朝上，当他第十次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（）A、0B、1C、D、5、黑暗中小明从他的一大串钥匙中，随便选择一把，用它开门，下列叙述正确的是()A.能开门的可能性大于不能开门的可能性B.不能开门的可能性大于能开门的可能性C.能开门的可能性与不能开门的可能性相等D.无法确定6、100个相同大小的球，用1至100个数编号，则摸出一个是5的倍数号的球的概率是（）A、B、C、D、以上都不对7、某商店举办有奖销售活动，办法如下：凡购物满100元者得奖券一张，多购多得，每10000张奖券为一个开奖单位，设立特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个，那么买100元商品的中奖概率是（