北京市最新年中考数学专题练习题精选(全套共7份)

精选优质文档-----倾情为你奉上精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业专心---专注---专业精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业提分专练(一)一元二次方程根的判别式(18年20题,17年21题,16年20题)|类型1|求证方程根的个数问题1.[2018·顺义一模]已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+2m-6=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根是负数,求m的取值范围.2.[2018·燕山一模]已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)当方程有一个根为1时,求k的值.3.[2018·朝阳一模]已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+k=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若该方程有一个根是正数,求k的取值范围.4.[2018·怀柔一模]已知关于x的方程x2-6mx+9m2-9=0.(1)求证:此方程有两个不相等的实数根.(2)若此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1>x2.若x1=2x2,求m的值.|类型2|确定参数的值或取值范围问题5.[2018·丰台一模]已知关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)如果m为非负整数,且该方程的根都是整数,求m的值.6.[2018·大兴一模]已知关于x的一元二次方程3x2-6x+1-k=0有实数根,k为负整数.(1)求k的值;(2)如果这个方程有两个整数根,求出它的根.7.[2018·门头沟一模]已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若k为正整数,且方程有两个非零的整数根,求k的值.8.[2018·房山一模]关于x的一元二次方程x2-2mx+(m-1)2=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.9.[2018·平谷一模]关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)当k为正整数时,求此时方程的根.

参考答案1.解:(1)证明:∵Δ=-m-12 =m2-2m+1-8m+24 =m2-10m+25 =m-∴方程总有两个实数根.(2)∵x==,∴x1=m-3,x2=2.由已知得m-3<0.∴m<3.2.解:(1)证明:因为Δ=b2-4ac=-(2k+1)2-4×1×(k2+k所以方程有两个不相等的实数根.(2)当x=1时,1-(2k+1)×1+k2+k=0.整理得k2-k=0,解得k1=0,k2=1,3.解:(1)证明:依题意,得Δ=(k+1)2-4k=(k-1)2.∵(k-1)2≥0,∴方程总有两个实数根.(2)由求根公式,得x1=-1,x2=-k.∵方程有一个根是正数,∴-k>0.∴k<0.4.解:(1)证明:∵Δ=(-6m)2-4(9m2-9)=36m2-36m2+36=36>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)x==6m卤62=3m±∵3m+3>3m-3,∴x1=3m+3,x2=3m-3,∴3m+3=2(3m-3),∴m=3.5.解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0.∴Δ=(-4)2-4×2m=16-8m>0.∴m<2.(2)∵m<2,且m为非负整数,∴m=0或1.当m=0时,方程为x2-4x=0,解得x1=0,x2=4,符合题意;当m=1时,方程为x2-4x+2=0,它的根不是整数,不合题意,舍去.综上所述,m=0.6.解:(1)根据题意,得Δ=(-6)2-4×3(1-k)≥0.解得k≥-2.∵k为负整数,∴k=-1或-2.(2)当k=-1时,不符合题意,舍去;当k=-2时,符合题意,此时方程的根为x1=x2=1.7.解:(1)由题意得,Δ=16-8(k-1)≥0.∴k≤3.(2)∵k为正整数,∴k=1或2或3.当k=1时,方程2x2+4x=0有一个根为零;当k=2时,方程2x2+4x+1=0无整数根;当k=3时,方程2x2+4x+2=0有两个非零的整数根.综上所述,k=1和k=2不合题意,舍去;k=3符合题意.8.解:(1)由题意得,Δ=(-2m)2-4(m-1)2=8m-4>0,解得m>12(2)答案不唯一,如:当m=1时,方程为x2-2x=0,解得,x1=0,x2=2.9.解:(1)∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,∴Δ=22-4k-1=8-4k>0.∴k<(2)∵k为正整数,∴k=1.解方程x2+2x=0,得x1=0,x2=-2.

提分专练(二)反比例函数与一次函数综合(18年23题,17年23题,15年23题)(限时:20分钟)|类型1|确定点的坐标1.[2018·怀柔一模]在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点B(0,1),与反比例函数y=mx的图象交于点A(3,-2)(1)求反比例函数表达式和一次函数表达式;(2)若点C是y轴上一点,且BC=BA,直接写出点C的坐标.图T2-12.[2018·平谷一模]如图T2-2,在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx(k≠0)的图象与直线y=x+1交于点A(1,a)(1)求a,k的值;(2)连接OA,点P是函数y=kx(k≠0)的图象上一点,且满足OP=OA,直接写出点P的坐标(点A除外)图T2-23.[2018·门头沟一模]如图T2-3,在平面直角坐标系xOy中的第一象限内,反比例函数图象过点A(2,1)和另一动点B(x,y).(1)求此函数表达式;(2)如果y>1,写出x的取值范围;(3)直线AB与坐标轴交于点P,如果PB=AB,直接写出点P的坐标.图T2-3|类型2|与面积有关的计算4.[2018·延庆一模]在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数y=mx(m≠0)的图象在第一象限交于点P(1,3),连接(1)求反比例函数y=mx(m(2)若△AOB的面积是△POB的面积的2倍,求直线y=kx+b的表达式.图T2-45.[2018·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中,函数y=ax(x>0)的图象与直线l1:y=x+b交于点A(3,a-2)(1)求a,b的值;(2)直线l2:y=-x+m与x轴交于点B,与直线l1交于点C,若S△ABC≥6,求m的取值范围.6.[2018·朝阳一模]如图T2-5,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A,B,与反比例函数y=kx的图象在第四象限交于点C,CD⊥x轴于点D,tan∠OAB=2,OA=2,OD=1(1)求该反比例函数的表达式;(2)点M是这个反比例函数图象上的点,过点M作MN⊥y轴,垂足为点N,连接OM,AN,如果S△ABN=2S△OMN,直接写出点M的坐标.图T2-5|类型3|确定参数的取值范围7.[2018·顺义一模]如图T2-6,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+4与双曲线y=kx(k≠0)相交于A(-3,a),B两点(1)求k的值;(2)过点P(0,m)作直线l,使直线l与y轴垂直,直线l与直线AB交于点M,与双曲线y=kx交于点N,若点P在点M与点N之间,直接写出m的取值范围图T2-68.[2018·大兴一模]如图T2-7,点A是直线y=2x与反比例函数y=m-1x(x>0,m为常数)的图象的交点.过点A作x轴的垂线,垂足为B,且(1)求点A的坐标及m的值;(2)已知点P(0,n)(0<n≤8),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=2x于点C(x1,y1),交反比例函数y=m-1x的图象于点D(x2,y2),交垂线AB于点E(x3,y3).若x2<x3<x1,结合函数的图象,直接写出x1+x2+x图T2-7

参考答案1.解:(1)∵双曲线y=mx过A(3,-2),将A(3,-2)的坐标代入y=mx,解得:m=-∴所求反比例函数表达式为:y=-6x∵点A(3,-2),点B(0,1)在直线y=kx+b上,∴b=1,-2=3k+1.∴k=-1,∴所求一次函数表达式为y=-x+1.(2)C(0,32+1)或C(0,1-32).2.解:(1)∵直线y=x+1经过点A(1,a),∴a=2.∴A(1,2).∵函数y=kx(k≠0)的图象经过点A∴k=2.(2)点P的坐标为(2,1),(-1,-2),(-2,-1).3.解:(1)设反比例函数表达式为y=kx(k∵此函数图象过A(2,1),∴1=k2,解得k=∴此函数表达式为y=2x(2)0<x<2.(3)P(0,3)或P(6,0).4.解:(1)y=3x(2)如图,作PE⊥y轴于点E.∵S△AOB=2S△POB,∴OA=2PE=2,∴A(2,0).将A(2,0)的坐标,P(1,3)的坐标分别代入y=kx+b,可得0=2k+∴直线AB的表达式为:y=-3x+6.同理:如图,直线AB的表达式为:y=x+2.综上:直线AB的表达式为y=-3x+6或y=x+2.5.解:(1)∵函数y=ax(x>0)的图象过点A(3,a-∴a-2=a3,解得a=3∵直线l1:y=x+b过点A(3,1),∴b=-2.(2)设直线y=x-2与x轴交于点D,则D(2,0),直线y=-x+m与x轴交于点B(m,0),与直线y=x-2交于点Cm+22,m-①当S△ABC=S△BCD+S△ABD=6时,如图①.可得14(2-m)2+12(2-m)×1解得m=-2或m=8(舍).②当S△ABC=S△BCD-S△ABD=6时,如图②.可得14(m-2)2-12(m-2)×1解得m=8或m=-2(舍).综上所述,当m≥8或m≤-2时,S△ABC≥6.6.解:(1)∵AO=2,OD=1,∴AD=AO+OD=3.∵CD⊥x轴于点D,∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中,CD=AD·tan∠OAB=6.∴C(1,-6).∴该反比例函数的表达式是y=-6x(2)设点M坐标为(x,y),则MN=|x|,ON=|y|,∴S△OMN=12·ON·MN=12|xy|=1S△ABN=2S△OMN=6=12BN·OA=12·BN·2∴BN=6.在Rt△AOB中,tan∠OAB=BOAO=BO2∴OB=4,∴B(0,-4),∴N1(0,-10),N2(0,2).∴点M的坐标为(-3,2)或35,-10.7.解:(1)∵点A(-3,a)在直线y=2x+4上,∴a=2×(-3)+4=-2,∴点A的坐标为(-3,-2).∵点A(-3,-2)在双曲线y=kx∴-2=k-3,∴k=(2)m的取值范围是0<m<4.8.解:(1)由题意得,点A的横坐标是2,由点A在正比例函数y=2x的图象上,得点A的坐标为(2,4).又∵点A在反比例函数y=m-∴4=m-12,(2)6<x1+x2+x3≤7.

提分专练(三)二次函数综合题(18年26题)|类型1|与角度有关的取值范围的确定1.[2018·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中,将抛物线G1:y=mx2+23(m≠0)向右平移3个单位长度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点.(1)直接写出点A的坐标;(2)过点(0,3)且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点.①当∠BAC=90°时,求抛物线G2的表达式;②若60°<∠BAC<120°,直接写出m的取值范围.2.[2018·燕山一模]如图T3-1①,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶.①②③图T3-1(1)由定义知,取AB中点N,连接MN,MN与AB的关系是.

(2)抛物线y=12x2对应的准碟形必经过B(m,m),则m=,对应的碟宽AB是(3)抛物线y=ax2-4a-53(a>0)对应的碟宽在x轴上,且AB=6①求抛物线的解析式.②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P(xp,yp),使得∠APB为锐角?若有,请求出yp的取值范围;若没有,请说明理由.|类型2|与线段有关的取值范围的确定3.[2018·延庆一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧).图T3-2(1)求抛物线的对称轴及点A,B的坐标;(2)点C(t,3)是抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)上一点(点C在对称轴的右侧),过点C作x轴的垂线,垂足为点D.①当CD=AD时,求此抛物线的表达式;②当CD>AD时,求t的取值范围.4.[2018·西城一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=mx2+2mx+m-1(m≠0)与y轴交于点C,抛物线G的顶点为D,直线l:y=mx+m-1(m≠0).图T3-3(1)当m=1时,画出直线l和抛物线G,并直接写出直线l被抛物线G截得的线段长.(2)随着m取值的变化,判断点C,D是否都在直线l上并说明理由.(3)若直线l被抛物线G截得的线段长不小于2,结合函数的图象,直接写出m的取值范围.|类型3|与图象平移相关的取值范围的确定5.[2018·海淀一模]在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2ax+b的顶点在x轴上,P(x1,m),Q(x2,m)(x1<x2)是此抛物线上的两点.(1)若a=1,①当m=b时,求x1,x2的值;②将抛物线沿y轴平移,使得它与x轴的两个交点间的距离为4,试描述出这一变化过程;(2)若存在实数c,使得x1≤c-1,且x2≥c+7成立,则m的取值范围是.

6.[2018·大兴一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-(3m+1)x+2m2+m(m>0)与y轴交于点C,与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2.(1)求2x1-x2+3的值;(2)当m=2x1-x2+3时,将此抛物线沿对称轴向上平移n个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边),求n的取值范围(直接写出答案即可).|类型4|与图象翻折相关的取值范围的确定7.[2018·怀柔一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=nx2-4nx+4n-1(n≠0)与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),与y轴交于点A.图T3-4(1)求抛物线顶点M的坐标;(2)若点A的坐标为(0,3),AB∥x轴,交抛物线于点B,求点B的坐标;(3)在(2)的条件下,将抛物线在B,C两点之间的部分沿y轴翻折,翻折后的图象记为G,若直线y=12x+m与图象G有一个交点,结合函数的图象,求m的取值范围8.[2018·门头沟一模]有一个二次函数满足以下条件:图T3-5①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0),B(x2,y2)(点B在点A的右侧);②对称轴是直线x=3;③该函数有最小值-2.(1)请根据以上信息求出二次函数表达式;(2)将该函数图象x>x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”,平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C(x3,y3),D(x4,y4),E(x5,y5)(x3<x4<x5),结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围.9.[2018·平谷一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+2bx-3的对称轴为直线x=2.图T3-6(1)求b的值;(2)在y轴上有一动点P(0,m),过点P作垂直于y轴的直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1<x2.①当x2-x1=3时,结合函数图象,求出m的值;②把直线PB下方的函数图象沿直线PB向上翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象W,新图象W在0≤x≤5时,-4≤y≤4,求m的取值范围.

参考答案1.解:(1)A(3,23).(2)①如图所示,由题意可得AD=23-3=3.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABD=∠BAD=45°.∴BD=AD=3.∴点B的坐标为(0,3).由点B在抛物线G2上,可得m=-33∴抛物线G2的表达式为y=-33(x-3)2+23即y=-33x2+2x+3②-3<m<-392.解:(1)MN与AB的关系是MN⊥AB,MN=12(2)m=2,对应的碟宽AB是4.(3)①由已知,抛物线必过(3,0),将其坐标代入y=ax2-4a-53(a>0),得9a-4a-53解得a=13∴抛物线的解析式是y=13x2-3②由①知,当P(0,3)或P(0,-3)时,∠APB为直角,∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P,使得∠APB为锐角,yp的取值范围是yp<-3或yp>3.3.解:(1)对称轴:直线x=2,A(1,0),B(3,0).(2)①如图,∵AD=CD,∴AD=3,∴C点坐标为(4,3).将C(4,3)的坐标代入y=ax2-4ax+3a,∴3=16a-16a+3a,∴a=1,∴抛物线的表达式为:y=x2-4x+3.②3<t<4,过程略.4.解:(1)当m=1时,抛物线G的函数表达式为y=x2+2x,直线l的函数表达式为y=x.画出的两个函数的图象如图所示.截得的线段长为2.(2)∵抛物线G:y=mx2+2mx+m-1(m≠0)与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,m-1).∵y=mx2+2mx+m-1=m(x+1)2-1,∴抛物线G的顶点D的坐标为(-1,-1).对于直线l:y=mx+m-1(m≠0),当x=0时,y=m-1,∴点C(0,m-1)在直线l上;当x=-1时,y=m×(-1)+m-1=-1.∴点D(-1,-1)在直线l上,∴无论m取何值,点C,D都在直线l上.(3)m的取值范围是m≤-3或m≥3.5.解:∵抛物线y=x2-2ax+b的顶点在x轴上,∴4b-(-2a)(1)∵a=1,∴b=1.∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1.①∵m=b=1,∴x2-2x+1=1,解得x1=0,x2=2.②依题意,设平移后的抛物线为y=(x-1)2+k.∵抛物线的对称轴是直线x=1,平移后与x轴的两个交点之间的距离是4,∴(3,0)是平移后的抛物线与x轴的一个交点,∴(3-1)2+k=0,即k=-4.∴变化过程是:将原抛物线向下平移4个单位.(2)m≥16.6.解:(1)解关于x的一元二次方程x2-(3m+1)x+2m2+m=0,得x=2m+1或x=m.∵m>0,x1<x2,∴x1=m,x2=2m+1.2x1-x2+3=2m-2m-1+3=2.(2)符合题意的n的取值范围是94<n<217.解:(1)M(2,-1).(2)B(4,3).(3)∵抛物线y=nx2-4nx+4n-1(n≠0)与y轴交于点A(0,3),∴4n-1=3,∴n=1,∴抛物线的表达式为y=x2-4x+3,则G的表达式为y=x2+4x+3(-4≤x≤-1).令12x+m=x2+4x+3由Δ=0,得:m=-116∵抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点C的坐标为(1,0),∴点C关于y轴的对称点C1的坐标为(-1,0).把(-1,0)代入y=12x+m,得:m=1点B关于y轴的对称点B1的坐标为(-4,3),把(-4,3)代入y=12x+m,得:m=5∴所求m的取值范围是m=-116或12<m≤8.解:(1)由已知条件可知该函数图象的顶点坐标为(3,-2),设二次函数表达式为y=a(x-3)2-2,∵该图象过A(1,0),∴0=a(1-3)2-2,解得a=12∴表达式为y=12(x-3)2-2(2)图象略.由已知条件可知直线与图象“G”要有三个交点,①当直线与x轴重合时,有2个交点,由二次函数图象的对称性可求x3+x4=6,∴x3+x4+x5>11;②当直线过y=12(x-3)2-2的图象顶点时,有2个交点由翻折可以得到翻折后的函数图象为y=-12(x-3)2+∴令-12(x-3)2+2=-解得x=3+22或x=3-22(舍去),∴x3+x4+x5<9+22.综上所述,11<x3+x4+x5<9+22.9.解:(1)∵抛物线y=-x2+2bx-3的对称轴为直线x=2,∴b=2.(2)①抛物线的表达式为y=-x2+4x-3.∵直线AB平行于x轴,∴A(x1,y),B(x2,y).∵x2-x1=3,∴AB=3.∵对称轴为直线x=2,∴AP=12∴当x=12时,y=m=-5②当y=m=-4时,0≤x≤5时,-4≤y≤1;当y=m=-2时,0≤x≤5时,-2≤y≤4;∴m的取值范围为-4≤m≤-2.

提分专练(四)图表的分析与决策(18年25题,17年25题,16年22题,15年25题)|类型1|利用样本估计总体1.[2018·西城一模]某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动,现有以下5个志愿服务项目:A.纪念馆志愿讲解员;B.书香社区图书整理;C.学编中国结及义卖;D.家风讲解员;E.校内志愿服务.要求:每位学生都从中选择一个项目参加.为了了解同学们选择这5个项目的情况,该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查,过程如下:收集数据:设计调查问卷,收集到如下数据(志愿服务项目的编号,用字母代号表示).B,E,B,A,E,C,C,C,B,B,A,C,E,D,B,A,B,E,C,A,D,D,B,B,C,C,A,A,E,B,C,B,D,C,A,C,C,A,C,E.整理、描述数据:划记、整理、描述样本数据,绘制统计图如下,请补全统计表和统计图.选择各志愿服务项目的人数统计表志愿服务项目划记人数A.纪念馆志愿讲解员正8B.书香社区图书整理C.学编中国结及义卖正正12D.家风讲解员E.校内志愿服务正6合计4040选择各志愿服务项目的人数比例统计图图T4-1分析数据、推断结论:a.抽样的40个样本数据(志愿服务项目的编号)的众数是(填A-E的字母代号).

b.请你任选A-E中的两个志愿服务项目,根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿服务项目.2.[2018·海淀一模]某校九年级八个班共有280名学生,男女生人数大致相同,调查小组为调查学生的体质健康水平,开展了一次调查研究,请将下面的过程补全.收集数据调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本,下面的取样方法中,合理的是(填字母);

A.抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本B.抽取各班体育成绩较好的共40名学生的体质健康测试成绩组成样本C.从年级中按学号随机选取男女生各20名学生的体质健康测试成绩组成样本整理、描述数据抽样方法确定后,调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下:7783806486907592838185 86 88 62 65 86 97 96 82 7386 84 89 86 92 73 57 77 87 8291 81 86 71 53 72 90 76 68 78整理数据,如下表所示:2018年九年级部分学生的体质健康测试成绩统计表50≤x<5555≤x<6060≤x<6565≤x<7070≤x<751122475≤x<8080≤x<8585≤x<9090≤x<9595≤x<100552分析数据、得出结论调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩(直方图)进行了对比.图T4-2你能从中得到的结论是,你的理由是.

体育老师计划根据2018年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目,则全年级约有名同学参加此项目.

|类型2|图表的分析与决策3.[2018·石景山一模]某校诗词知识竞赛培训活动中,在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验,他们的10次成绩(单位:分)如下:图T4-3整理、分析过程如下,请补充完整.(1)按如下分数段整理、描述这两组数据:成绩x学生70≤x≤7475≤x≤7980≤x≤8485≤x≤8990≤x≤9495≤x≤100甲乙114211(2)两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示:学生极差平均数中位数众数方差甲83.78613.21乙2483.78246.21(3)若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛,你会选(填“甲”或“乙”),理由为.

4.[2018·丰台一模]第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行,北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛,甲、乙两校各有400名学生参加活动,为了解这两所学校的成绩情况,进行了抽样调查,过程如下,请补充完整.【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生,在这次竞赛中他们的成绩如下:甲306060706080309010060601008060706060906060乙8090406080809040805080707070706080508080【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据:成绩x人数学校30≤x≤5050<x≤8080<x≤100甲2144乙4142(说明:优秀成绩为80<x≤100,良好成绩为50<x≤80,合格成绩为30≤x≤50)【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:学校平均数中位数众数甲676060乙7075a其中a=.

【得出结论】(1)小明同学说:“这次竞赛我得了70分,在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是校的学生;(填“甲”或“乙”)

(2)张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩,试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为;

(3)根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校,并说明理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)

参考答案1.解:B项有10人,D项有4人,划记略.选择各志愿服务项目的人数比例统计图中,B占25%,D占10%.分析数据、推断结论a.抽样的40个样本数据(志愿服务项目的编号)的众数是C.

b.根据学生选择情况答案分别如下(写出任意两个即可).A:500×20%=100(人).B:500×25%=125(人).C:500×30%=150(人).D:500×10%=50(人).E:500×15%=75(人).2.解:收集数据C整理、描述数据80≤x<8585≤x<90810分析数据、得出结论去年的体质健康测试成绩比今年好.(答案不唯一,合理即可)去年较今年低分更少,高分更多,平均分更高.(答案不唯一,合理即可)703.解:(1)014500(2)1484.581(3)甲理由:两人的平均数相同且甲的方差小于乙,说明甲成绩稳定;两人的平均数相同且甲的极差小于乙,说明甲成绩变化范围小.(写出其中一条即可)或:乙理由:在90≤x≤100的分数段中,乙的次数大于甲.(答案不唯一,理由须支撑推断结论)4.解:【分析数据】80【得出结论】(1)甲(2)1(3)答案不唯一,理由需支撑推断结论.如:乙校竞赛成绩较好,因为乙校的平均分高于甲校的平均分,说明乙校平均水平高,乙校成绩的中位数75高于甲校成绩的中位数60,说明乙校分数不低于70分的学生比甲校多.

提分专练(五)尺规作图(18年17题,17年16题,16年16题,15年16题)|类型1|填空题型练1.[2018·东城一模]已知:如图T5-1①,正方形ABCD.求作:正方形ABCD的外接圆.作法:如图②,(1)分别连接AC,BD,交于点O;(2)以点O为圆心,OA长为半径作☉O.☉O即为所求作的圆.图T5-1请回答:该作图的依据是.

2.[2018·朝阳一模]下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知:如图T5-2,直线a和直线外一点P.图T5-2求作:直线a的垂线,使它经过点P.作法:如图T5-3,(1)在直线a上取一点A,连接PA;(2)分别以点A和点P为圆心,大于12AP的长为半径作弧,两弧相交于B,C两点,连接BC交PA于点D图T5-3(3)以点D为圆心,DP长为半径作圆,交直线a于点E,作直线PE.所以直线PE就是所求作的垂线.请回答:该尺规作图的依据是

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3.[2018·丰台一模]下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.图T5-4已知:如图T5-4,∠A.求作:一个角,使它等于∠A.作法:如图T5-5,图T5-5(1)以点A为圆心,任意长为半径作☉A,交∠A的两边于B,C两点;(2)以点C为圆心,BC长为半径作弧,与☉A交于点D,作射线AD.所以∠CAD就是所求作的角.请回答:该尺规作图的依据是

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4.[2018·顺义一模]在数学课上,老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形”.小华的作法如下:(1)如图T5-6①,任取一点O,过点O作直线l1,l2;(2)如图T5-6②,以O为圆心,任意长为半径作圆,与直线l1,l2分别相交于点A,C,B,D;(3)如图T5-6③,连接AB,BC,CD,DA.四边形ABCD即为所求作的矩形.①②③图T5-6老师说:“小华的作法正确.”请回答:小华的作图依据是.

5.[2018·大兴一模]下面是“求作∠AOB的平分线”的尺规作图过程.图T5-7已知:如图T5-7,钝角∠AOB.求作:∠AOB的平分线.作法:(1)如图T5-8,在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE;(2)分别以D,E为圆心,大于12DE图T5-8在∠AOB内两弧交于点C;(3)作射线OC.所以射线OC就是所求作的∠AOB的平分线.请回答:该尺规作图的依据是

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|类型2|解答题型练6.[2018·北京]下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知:如图T5-9,直线l及直线l外一点P.图T5-9求作:直线PQ,使得PQ∥l.作法:如图T5-10,图T5-10(1)在直线l上取一点A,作射线PA,以点A为圆心,AP长为半径画弧,交PA的延长线于点B;(2)在直线l上取一点C(不与点A重合),作射线BC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交BC的延长线于点Q;(3)作直线PQ,所以直线PQ就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程:(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明:∵AB=,CB=,

∴PQ∥l()(填推理的依据).

7.[2017·兰州]在数学课上,同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程:已知:如图T5-11①,直线l和l外一点P.图T5-11求作:直线l的垂线,使它经过点P.作法:如图②,(1)在直线l上任取两点A,B;(2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径画弧,两弧相交于点Q;(3)作直线PQ.参考以上材料作图的方法,解决以下问题:(1)以上材料作图的依据是:.

(2)已知:如图T5-12,直线l和l外一点P.求作:☉P,使它与直线l相切.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)图T5-128.[2018·福建A卷]求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求:(1)根据给出的△ABC及线段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以线段A'B'为一边,在给出的图形上用尺规作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不写作法,保留作图痕迹;(2)在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.图T5-13

参考答案1.正方形的对角线相等且互相平分;圆的定义2.到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;直径所对的圆周角是直角;两点确定一条直线3.同圆半径相等;三条边对应相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;两点确定一条直线4.同圆半径相等;对角线相等且互相平分的四边形是矩形(或直径所对的圆周角是直角;三个角是直角的四边形是矩形)5.SSS定理;全等三角形的对应角相等;两点确定一条直线6.解:(1)如图所示.(2)AB=PA,CB=CQ.依据:①连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线;②三角形的中位线平行于第三边;③两点确定一条直线.7.解:(1)到线段两端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线(2)如图,☉P即为所求.8.解:(1)如图所示,△A'B'C'就是所求作的三角形.(2)已知:如图,△A'B'C'∽△ABC,A'B'AB=B'C'BC=A证明:∵A'D'=D'B',AD=DB,∴A'D'=12A'B',AD=12∴A'D'AD=∵△A'B'C'∽△ABC,∴∠A=∠A',A'B'在△A'D'C'和△ADC中,A'D'AD=A'∴△A'D'C'∽△ADC,∴D'C'

提分专练(六)特殊四边形相关的计算与证明(18年21题,17年20题)|类型1|平行四边形的判定+线段长度1.[2017·通州一模]如图T6-1,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E,AB=BC,F为四边形ABCD外一点,且∠FCA=90°,∠CBF=∠DCB.图T6-1(1)求证:四边形DBFC是平行四边形;(2)如果BC平分∠DBF,∠F=45°,BD=2,求AC的长.2.[2017·石景山二模]如图T6-2,四边形ABCD是矩形,点E在AD边上,点F在AD的延长线上,且BE=CF.图T6-2(1)求证:四边形EBCF是平行四边形;(2)若∠BEC=90°,∠ABE=30°,AB=,求ED的长.3.[2015·西城一模]如图T6-3,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.图T6-3(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长.4.[2018·房山一模]如图T6-4,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是BC,AB的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE,AF.图T6-4(1)证明:AF=CE;(2)若∠B=30°,AC=2,连接BF,求BF的长.|类型2|菱形的判定+线段长度5.[2018·顺义一模]如图T6-5,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,连接CF.图T6-5(1)求证:四边形BCFD是菱形;(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.6.[2018·平谷一模]如图T6-6,在▱ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点F,AE⊥BF于点O,交BC于点E,连接EF.图T6-6(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)连接CF,若∠ABC=60°,AB=4,AF=2DF,求CF的长.7.[2018·门头沟一模]如图T6-7,在矩形ABCD中,连接AC,AC的垂直平分线交AC于点O,分别交AD,BC于点E,F,连接CE和AF.图T6-7(1)求证:四边形AECF为菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周长.8.[2018·西城一模]如图T6-8,在△ABD中,∠ABD=∠ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,分别连接BC,DC,AC,记AC与BD的交点为O.图T6-8(1)补全图形,求∠AOB的度数并说明理由.(2)若AB=5,cos∠ABD=,求BD的长.|类型3|菱形的判定+图形面积9.[2018·延庆一模]如图T6-9,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.图T6-9(1)求证:四边形DBEC是菱形;(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC面积.10.[2018·大兴一模]如图T6-10,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且DE=OC,CE=OD.图T6-10(1)求证:四边形OCED是菱形;(2)若∠BAC=30°,AC=4,求菱形OCED的面积.11.[2018·怀柔一模]直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D是斜边BC上一点,且AB=AD,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,交AB的延长线于点F.图T6-11(1)求证:∠ACB=∠DCE;(2)若∠BAD=45°,AF=2+,过点B作BG⊥FC于点G,连接DG.依题意补全图形,并求四边形ABGD的面积.12.[2018·海淀一模]如图T6-12,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=CD.图T6-12(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AD=2,则当四边形ABCD的形状是时,四边形AOBE的面积最大,最大值是.

|类型4|矩形的判定+线段计算13.[2018·石景山一模]如图T6-13,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD=2,CE⊥AD于点E.图T6-13(1)求证:AE=CE;(2)若tanD=3,求AB的长.14.[2018·丰台一模]已知:如图T6-14,菱形ABCD,分别延长AB,CB到点F,E,使得BF=BA,BE=BC,连接AE,EF,FC,CA.(1)求证:四边形AEFC为矩形;(2)连接DE交AB于点G,如果DE⊥AB,AB=4,求DE的长.图T6-1415.[2018·通州一模]如图T6-15,在平行四边形ABCD中,DB⊥AB,点E是BC边的中点,过点E作EF⊥CD,垂足为F,交AB的延长线于点G.图T6-15(1)求证:四边形BDFG是矩形;(2)若AE平分∠BAD,求tan∠BAE的值.16.[2017·朝阳一模]如图T6-16,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,过点A作BC的平行线,过点B作AD的平行线,两直线交于点E.图T6-16(1)求证:四边形ADBE是矩形;(2)连接DE,交AB于点O,若BC=8,AO=,求cos∠AED的值.

参考答案1.解:(1)证明:∵AC⊥BD,∠FCA=90°,∴BD∥CF.∵∠CBF=∠DCB,∴DC∥BF.∴四边形DBFC是平行四边形.(2)由(1)得四边形DBFC是平行四边形,∴CF=BD=2.过点C作CH⊥BF于点H,∵∠F=45°,∴CH=.∵BC平分∠DBF,∴CH=CE=,∵AB=BC,BD⊥AC,∴AC=2CE=2.2.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠CDF=90°,AB=DC,AD=BC.在Rt△BAE和Rt△CDF中,∴Rt△BAE≌Rt△CDF.∴∠1=∠F.∴BE∥CF.又∵BE=CF,∴四边形EBCF是平行四边形.(2)∵在Rt△BAE中,∠2=30°,AB=,∴AE=AB·tan∠2=1,BE==2,∠3=60°.在Rt△BEC中,BC===4.∴AD=BC=4.∴ED=AD-AE=4-1=3.3.解:(1)证明:∵∠ADE=∠BAD,∴AB∥ED.∵BD垂直平分AC,垂足为F,∴BD⊥AC,AF=FC.又∵AE⊥AC,∴∠EAC=∠DFC=90°,∴AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形.(2)如图,连接BE交AD于点O.∵DA平分∠BDE,∴∠ADE=∠1.又∵∠ADE=∠BAD,∴∠1=∠BAD,∴AB=BD,∴▱ABDE是菱形.∴AD⊥BE.∵AB=5,AD=6,∴BD=AB=5,OA=AD=3.在Rt△OAB中,OB==4.∵S△ABD=AD·OB=BD·AF,∴6×4=5AF,解得AF=4.8.∵BD垂直平分AC,∴AC=2AF=9.6.4.解:(1)证明:∵D,E分别是BC,AB的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥AC,AC=2DE.又∵EF=2DE,∴EF=AC,∴四边形ACEF为平行四边形,∴AF=CE.(2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴BC=2,DE=1,∠EDB=90°.∵D为BC中点,∴BD=.又∵EF=2DE,∴EF=2.∴DF=3.在Rt△BDF中,由勾股定理得BF==2.5.解:(1)证明:∵BD=BC,E是CD的中点,∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BD=DF.∵BD=BC,∴DF=BC.又∵DF∥BC,∴四边形BCFD是平行四边形.又∵BD=BC,∴▱BCFD是菱形.(2)∵∠A=90°,AD=1,BD=BC=2,∴AB==.∵四边形BCFD是菱形,∴DF=BC=2,∴AF=AD+DF=3,∴BF===2.6.解:(1)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.∵▱ABCD,∴AD∥BC.∴∠AFB=∠CBF.∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°.∴∠BAO=∠BEO.∴AB=BE.∴AF=BE.∴四边形ABEF是平行四边形.∴▱ABEF是菱形.(2)∵AD=BC,AF=BE,∴DF=CE.∴BE=2CE.∵AB=4,∴BE=4.∴CE=2.过点A作AG⊥BC于点G.∵∠ABC=60°,AB=BE,∴△ABE是等边三角形.∴BG=GE=2.∴AF=CG=4.∴四边形AGCF是平行四边形.∴▱AGCF是矩形.∴AG=CF.在Rt△ABG中,∠ABC=60°,AB=4,∴AG=2.∴CF=2.7.解:(1)证明:∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=OC,∠AOE=∠COF=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.在△AEO和△CFO中,∵∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形,又∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形.(2)设AF=x,∵EF是AC的垂直平分线,∴AF=CF=x,BF=8-x,在Rt△ABF中,由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴AF=5,∴菱形AECF的周长为20.8.解:(1)补全的图形如图所示.∠AOB=90°.理由:由题意可知BC=AB,DC=AB.∵在△ABD中,∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴BC=DC=AD=AB,∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOB=90°.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OB=OD.在Rt△ABO中,∠AOB=90°,AB=5,cos∠ABD=,∴OB=AB·cos∠ABD=3,∴BD=2OB=6.9.解:(1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC,∴四边形DBEC是平行四边形.在Rt△ABC中,∵D是AC的中点,∠ABC=90°,∴BD=DC,∴四边形DBEC是菱形.(2)∵F是AB的中点,D是AC的中点,∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90°,在Rt△AFD中,AF===2.∴S△DBC=BC×BF=×2×2=2,∴S菱形DBEC=2S△DBC=4.10.解:(1)证明:∵DE=OC,CE=OD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OC=AC,OD=BD.∴OC=OD.∴平行四边形OCED是菱形.(2)在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,AC=4,∴BC=2.∴AB=DC=2.如图,连接OE,交CD于点F.∵四边形OCED为菱形,∴F为CD中点.∵O为BD中点,∴OF=BC=1.∴OE=2OF=2.∴S菱形OCED=OE·CD=×2×2=2.11.解:(1)证明:∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.∵∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠CDE.∵∠BAC=90°,∴∠ABD+∠ACB=90°.∵CE⊥AE,∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE.(2)补全图形,如图所示:∵∠BAD=45°,∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°,∠F=∠ACF=45°.∵AE⊥CF,BG⊥CF,∴AD∥BG.∵BG⊥CF,∠BAC=90°且∠ACB=∠DCE,∴AB=BG.∵AB=AD,∴BG=AD,∴四边形ABGD是平行四边形.∵AB=AD,∴平行四边形ABGD是菱形.设AB=x,则BG=GD=AD=x,∴BF=BG=x.∴AB+BF=x+x=2+,∴x=.过点B作BH⊥AD于H,∴BH=AB=1.∴S四边形ABGD=AD×BH=.12.解:(1)证明:∵AE∥BD,BE∥AC,∴四边形AEBO是平行四边形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB.∵OE=CD,∴OE=AB.∴平行四边形AEBO是矩形.∴∠BOA=90°,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.(2)正方形;2.13.解:(1)证明:(法一)过点B作BH⊥CE于H,如图.∵CE⊥AD,∴∠BHC=∠CED=90°,∠1+∠D=90°.∵∠BCD=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠D.又BC=CD,∴△BHC≌△CED.∴BH=CE.∵BH⊥CE,CE⊥AD,∠A=90°,∴四边形ABHE是矩形,∴AE=BH.∴AE=CE.(法二)过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H.图略,证明略.(2)∵四边形ABHE是矩形,∴AB=HE.∵在Rt△CED中,tanD==3,设DE=x,CE=3x,∴CD=x=2.∴x=2.∴DE=2,CE=6.∵CH=DE=2.∴AB=HE=6-2=4.14.解:(1)证明:∵BF=BA,BE=BC,∴四边形AEFC为平行四边形.∵四边形ABCD为菱形,∴BA=BC,∴BF=BE.∴BA+BF=BC+BE,即AF=EC.∴四边形AEFC为矩形.(2)连接DB.由(1)知,AD∥EB,且AD=EB,∴四边形AEBD为平行四边形.∵DE⊥AB,∴四边形AEBD为菱形.∴AE=EB,AB=2AG,ED=2EG.∵矩形AEFC中,EB=AB,AB=4,∴AG=2,AE=4.∴Rt△AEG中,EG=2.∴ED=4.15.解:(1)证明:∵BD⊥AB,EF⊥CD,∴∠ABD=90°,∠EFD=90°.在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD=90°,∴BD∥GF.∴四边形BDFG为平行四边形.又∵∠BDC=90°,∴四边形BDFG为矩形.(2)∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∵AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∴∠BAE=∠BEA,∴BA=BE.∵在Rt△BDC中,点E为BC边的中点,∴BE=ED=EC.又∵在▱ABCD中,AB=CD,∴△ECD为等边三角形,∠C=60°,∴∠BAE=∠BAD=30°,∴tan∠BAE=.16.解:(1)证明:∵AE∥BC,BE∥AD,∴四边形ADBE是平行四边形.∵AB=AC,AD是BC边的中线,∴AD⊥BC.即∠ADB=90°.∴四边形ADBE为矩形.(2)∵在矩形ADBE中,AO=,∴AB=DE=5.∵D是BC的中点,BC=8,∴DB=4,∴AE=4.∴在Rt△AED中,cos∠AED==.

提分专练(七)圆中的相关计算与证明(18年22题,17年24题,16年25题)|类型1|切线的性质相关证明或计算1.[2018·东城期末]如图T7-1,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于点D,E.DF是☉O的切线,交AC于点F.(1)求证:DF⊥AC;(2)若AE=4,DF=3,求tanA.图T7-12.[2018·怀柔期末]如图T7-2,已知AB是☉O的直径,点M在BA的延长线上,MD切☉O于点D,过点B作BN⊥MD交MD延长线于点C,连接AD并延长,交BN于点N.(1)求证:AB=BN;(2)若☉O的半径长为3,cosB=,求MA的长.图T7-23.[2018·门头沟期末]如图T7-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边上一点,以BD为直径的☉O与边AC相切于点E,连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.(1)求证:BD=BF;(2)若CF=2,tanB=,求☉O的半径.图T7-34.[2018·密云期末]如图T7-4,AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,=.过点B作☉O的切线l,连接AC并延长交l于点E,连接AD并延长交l于点F.(1)求证:AC=CE.(2)若AE=8,sin∠BAF=,求DF长.图T7-45.[2018·顺义期末]已知:如图T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AB于点E,交AC的延长线于点F.(1)求证:DE⊥AB;(2)若tan∠BDE=,CF=3,求DF的长.图T7-56.[2018·朝阳期末]如图T7-6,在△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的☉O交AB于点D,☉O的切线DE交AC于点E.(1)求证:E是AC中点;(2)若AB=10,BC=6,连接CD,OE,交点为F,求OF的长.图T7-67.[2018·石景山第一学期期末]如图T7-7,AC是☉O的直径,点D是☉O上一点,☉O的切线CB与AD的延长线交于点B,点F是直径AC上一点,连接DF并延长交☉O于点E,连接AE.(1)求证:∠ABC=∠AED;(2)连接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的长.图T7-7|类型2|切线的证明与计算8.[2018·平谷期末]如图T7-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点O是AB边上一点,以O为圆心作☉O且经过A,D两点,交AB于点E.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)若AC=2,AB=6,求BE的长.图T7-89.[2018·通州期末]如图T7-9,△ABC是等腰三角形,AB=AC,以AC为直径的半圆O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若☉O的半径为2,BE=1,求cosA的值.图T7-910.[2018·燕山期末]如图T7-10,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)如果☉O的半径为5,sin∠ADE=,求BF的长.图T7-1011.[2018·大兴期末]已知:如图T7-11,AB是半圆O的直径,D是半圆上的一个动点(点D不与点A,B重合),∠CAD=∠B.(1)求证:AC是半圆O的切线;(2)过点O作BD的平行线,交AC于点E,交AD于点F,且EF=4,AD=6,求BD的长.图T7-1112.[2018·海淀期末]如图T7-12,A,B,C三点在☉O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EF=DE.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)连接AF交DE于点M,若AD=4,DE=5,求DM的长.图T7-12

参考答案1.解:(1)证明:连接AD,OD,如图.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵AB=AC,∴BD=CD.又∵OA=OB,∴OD∥AC.∵DF是☉O的切线,OD是☉O的半径,∴DF⊥OD.∴DF⊥AC.(2)连接BE.∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°.∴DF∥BE.∴=.∵CD=DB,∴CF=EF.∴BE=2DF=6.在Rt△ABE中,tan∠BAC===.2.解:(1)证明:连接OD.∵MD切☉O于点D,∴OD⊥MD.∵BN⊥MC,∴OD∥BN,∴∠ADO=∠N.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∴∠OAD=∠N,∴AB=BN.(2)由(1)知OD∥BN,∴∠MOD=∠B,∴cos∠MOD=cosB=.在Rt△MOD中,cos∠MOD=,∵OD=OA,MO=MA+OA=3+MA,∴=,∴MA=4.5.3.解:(1)证明:连接OE.∵AC与☉O相切,∴OE⊥AC.∵BC⊥AC,∴OE∥BC.又∵O为DB的中点,∴E为DF的中点,OE为△DBF的中位线,∴OE=BF,又∵O