高中数学高考 2021届高考二轮精品专题三 排列组合、二项式定理 教师版

2017年高考“最后三十天”专题透析2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台--教育因你我而变③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．（2）二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a+bx)当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．

精题集训精题集训（70分钟）经典训练题经典训练题一、选择题．1．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（）A．24 B．12 C．10 D．6【答案】C【解析】当个位数是0时，有A33=6个；所以能被5整除的个数是10，故选C．【点评】本题主要考查了分类计数原理，以及排列的思想，属于基础题．2．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为，所以所求的概率，故选B．【点评】排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．3．今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有C8当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有种，同理：当排名第四的6号排在最高的9号的右边时，也有10种，所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为，故选A．【点评】本题考查了排列中的定序问题，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．4．已知某年级有4个班级，在一次数学学科考试中安排4个班级的班主任监考，则4个班主任都不监考本班的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，4个班级的班主任监考4个班级，共有A4其中有1人在本班监考的有C4有2人在班监考的有种；有4人在班监考的有1种，在不符合条件的监考安排方法有8+6+1=15种，所以4个班主任都不监考，共有24-15=9种，则4个班主任都不监考的概率为，故选D．【点评】本题主要考查了组合数公式的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中若直接法比较复杂或没有思路时，可采用间接法求解，着重考查推理与运算能力．5．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n=C每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为，则每个宣传小组至少选派1人的概率为，故选D．【点评】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可．6．从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：①C201C301C48则其中正确算式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①错，计算有重复；②对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；③对，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，故选C．【点评】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题——“捆绑法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．7．的展开式中x3的系数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】展开式的通项公式为，令，则r=1，所以的展开式中x3的系数为，故选D．【点评】本题考查了二项式定理展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．8．展开式中x-2y3项的系数为160，则A．2 B．4 C． D．-22【答案】C【解析】二项式1+ay6展开式的通项为T令r=3可得二项式1+ay6展开式中的系数为C6∴展开式中x-2y3的系数为可得a3=-8，解得【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，属于基础题．二、填空题．9．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法．【答案】535【解析】四个盒子放球的个数如下：1号盒子：{0，1}；2号盒子：{0，1，2}；3号盒子：{0，1，2，3}；4号盒子：{0，1，2，3，4}，结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法：：3C51：4C52：6C53：6C52：3C52∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种，故答案为535．【点评】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算．10．某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表．会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为______．【答案】540【解析】第一步：从6个学校中选出3个学校，方法数有C6第二步，从选出的3个学校中各选取1个代表，方法数有；根据分步计数原理可知，总的方法数有20×27=540种，故答案为540．【点评】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题．11．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点P2【答案】1200【解析】分两类情况讨论：第一类，向上跳6次，向右跳3次，向左跳1次，有C10第二类，向上跳7次，向下跳1次，向右跳2次，有C10根据分类计数原理得，共有840+360=1200种方法，故答案为1200．【点评】本题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．12．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．【答案】80【解析】分步计算，第一步A→C最近走法有2种；第二步C→D最近走法有C6第三步最近走法有2种，故由A→B最近走法有种，故答案为80．【点评】本题主要考查乘法原理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平．13．数列an中，a1=1，an+1=2【答案】454【解析】因为an+1所以an+1以2为首项，所以an+1=2×2则C=C又C=2×=2×1+2C50+故答案为454．【点评】本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量．14．多项式展开式的常数项为__________．（用数字作答）【答案】6【解析】，通项公式，当4-2r=0时，r=2，T故答案为6．【点评】本题考查多项式求常数项，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型．高频易错题高频易错题一、选择题．1．新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院．每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（）种．A．252 B．540 C．792 D．684【答案】D【解析】护士6名，可分为2，2，先安排医生，再安排护士．安排医生，方法数有A3安排护士，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，故方法数有种．其中C41⋅C41⋅所以总的方法数有6×114=684种，故选D．【点评】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于中档题．2．市教体局选派5名专家到A，A．90 B．150 C．240 D．300【答案】B【解析】由题可知：每个学校去的人数可以是：1，1，3或2，2，1，所以不同的派法种数是（种），故选B．【点评】本题考查排列组合的应用，尤其对平均分组的情况，要除以平均分组的组数的全排列，属基础题．二、填空题．3．某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）【答案】150【解析】将五人分成三组，则三组人数分别为3、1、1或2、2、1，则分组方法种数为，再将三组分配给三个房间，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为，故答案为150．【点评】本题考查人员的安排问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题．精准预测题精准预测题一、选择题．1．在(1-x)5+(1-xA．4840 B．-4840 C．3871 D．-3871【答案】B【解析】由题意得含x3的项的系数为=-=…=-C故选B．【点评】本题考查二项式定理，利用组合数的性质简化运算是解题的关键．2．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（）A．C84-12 B．C84-8【答案】A【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有C8正方体表面四点共面不能构成四面体有6种，正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有6种，所以可得到的四面体的个数为C8【点评】本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键．3．式子的展开式中，x3yA．3 B．5 C．15 D．20【答案】B【解析】，xx+y5的展开式通项为的展开式通项为Sr=由，可得，因此，式子的展开式中，x3y3的系数为故选B．【点评】求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．4．2x2-x-1A．400 B．120 C．80 D．0【答案】D【解析】∵2x二项展开式(x-1)5的通项为二项展开式的通项式为C5故的通项为(-1)r25-k所以展开式中的系数为(-1)522C【点评】本题考查二项式中制定项系数的求解，涉及通项公式的使用，属基础题．二、填空题．5．一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是_________．【答案】44【解析】根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，当两人在三个空位左侧时：共3×A同理，当两人在三个空位右侧时：共3×A当两人在三个空位异侧时：共4×4×A即共6+6+32=44（种），故答案为44．【点评】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．6．高三年级毕业成人礼活动中，要求A，B，C三个班级各出三人，组成3×3小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为________．【答案】【解析】根据题意，A，B，C三个班级各出三人，组成3×3小方阵，有种安排方法，若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有A3第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；第一行的每个位置的人员安排方法有种，第二行的每个位置的人员安排有2×2×2=8种，第三行的每个位置的人员安排有1×1×1=1种，则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率，故答案为．【点评】本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题．7．某班要从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出4人参加4×100米的接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，丙丁两人如果都参加，他们必须是相邻的两棒，则不同的选派方式有______种．【答案】50【解析】根据题意可分两种情况：1．甲乙都参加．若四人为甲乙丙丁，根据计数原理，则有A2若四人为甲乙丙戊或甲乙丁戊，根据计数原理则有2×(A2．甲乙只有一人参加．若四人为甲丙丁戊，根据计数原理则有A2若四人为乙丙丁戊，根据计数原理则有A2根据分类加法计数原理不