高考数学试题新亮点类比推理题

PAGEPAGE12高考数学试题新亮点——类比推理题1、实数系与向量系的类比：实数系向量系实数0、单位1数a的相反数－a实数a的绝对值|a|零向量eq\o(0,\s\up5(→))、单位向量eq\o(e,\s\up5(→))向量eq\o(a,\s\up5(→))的相反向量－eq\o(a,\s\up5(→))向量eq\o(a,\s\up5(→))的模|eq\o(a,\s\up5(→))|运算规律：①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(ab)c＝a(bc)③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2(a±b)2＝a2±2ab＋b2⑦|a·b|＝|a|·|b|运算规律：①交换律：eq\o(a,\s\up5(→))＋eq\o(b,\s\up5(→))＝eq\o(b,\s\up5(→))＋eq\o(a,\s\up5(→))②结合律：(eq\o(a,\s\up5(→))＋eq\o(b,\s\up5(→)))＋eq\o(c,\s\up5(→))＝eq\o(a,\s\up5(→))＋(eq\o(b,\s\up5(→))＋eq\o(c,\s\up5(→)))(eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→)))eq\o(c,\s\up5(→))≠eq\o(a,\s\up5(→))(eq\o(b,\s\up5(→))·eq\o(c,\s\up5(→)))（乘法不满足）③分配律：eq\o(a,\s\up5(→))·(eq\o(b,\s\up5(→))＋eq\o(c,\s\up5(→)))＝eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→))＋eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(c,\s\up5(→))④不满足消去律：若eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→))＝eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(c,\s\up5(→))，那么eq\o(b,\s\up5(→))与eq\o(c,\s\up5(→))不一定相等.⑤若eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→))＝0，那么不一定eq\o(a,\s\up5(→))＝eq\o(0,\s\up5(→))或eq\o(b,\s\up5(→))＝0.⑥公式：(eq\o(a,\s\up5(→))＋eq\o(b,\s\up5(→)))·(eq\o(a,\s\up5(→))－eq\o(b,\s\up5(→)))＝eq\o(a,\s\up5(→))2－eq\o(b,\s\up5(→))2(eq\o(a,\s\up5(→))±eq\o(b,\s\up5(→)))2＝eq\o(a,\s\up5(→))2±2eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→))＋eq\o(b,\s\up5(→))2⑦|eq\o(a,\s\up5(→))·eq\o(b,\s\up5(→))|≤|eq\o(a,\s\up5(→))|·|eq\o(b,\s\up5(→))|||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|||eq\o(a,\s\up5(→))|－|eq\o(b,\s\up5(→))||≤|eq\o(a,\s\up5(→))±eq\o(b,\s\up5(→))|≤|eq\o(a,\s\up5(→))|＋|eq\o(b,\s\up5(→))|2、平面几何与立体几何：平面几何立体几何角及角平分线二面角及角平分面线段的垂直平分线线段的垂直平分面三角形的三条边四面体的四个面平行四边形对角线相交一点，并且被平分平行六面体的对角线相交于一点，并且被平分3、圆与球的性质的类比：圆球圆心与弦（非直径）中心的连线垂直于弦球心与截面圆（不经过球心）圆心连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距相等的两个截面圆的面积相等圆的周长C＝d（d为直径）球的表面积S＝d2（d为球直径）圆的面积S＝r2（r为半径）球的体积V＝eq\f(4,3)r3（r为球半径）（这一点不是很好的类比）4、三角形与四面体的性质类比：三角形四面体三角形两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半四面体的中位面（同一顶点发出的三条棱中点确定的截面）平行于第四个面，面积等于第四个面的eq\f(1,4)三角形三边的中垂线交于一点，且这一点是三角形外接圆的圆心（外心）四面体的六条棱的中垂面（经过棱的中点且垂直于棱的平面）交于一点，且这一点是四面体外接球的球心，（或经过各个面三角形外心且垂直该面的垂线交于一点，这一点是四面体外接球的球心）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心（内心）四面体的四个面构成的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心三角形的三条中线相交于一点（重心），这点把每条中线分成2：1.四面体的每个顶点与对面三角形的重心的连线相交于一点（重心），且被该点分成3：1三角形的面积S＝eq\f(1,2)ah四面体的体积V＝eq\f(1,3)Sh5、直角三角形与直角四面体的类比：直角三角形直角四面体（在四面体中，若有一顶点发出的三条棱两两互相垂直，则改四面体成为直角四面体）如图，Rt△CAB中，∠C＝90，OOABcabhH如图，在四面体OABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，O为直角顶点：OOABCHabcAB2＝OA2＋OB2（c2＝a2＋b2）S2△ABC＝S2△OAB＋S2△OBC＋S2△OCAcos2A＋cos2B＝1cos2＋cos2＋cos2＝1（、、是侧面与底面所成的角）eq\f(1,OH2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)eq\f(1,OH2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)外接圆半径R＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)外接球半径R＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)内切圆半径r＝eq\f(a＋b－c,2)＝eq\f(ab,a＋b＋c)内切球半径r＝eq\f(S△OAB＋S△OBC＋S△OCA＋S△ABC,a＋b＋c)6、等差数列与等比数列的类比：等差数列{an}（公差为d）等比数列{bn}（公比为q）通项：an＝a1＋(n－1)d通项：bn＝b1·qn－1am－an＝(m－n)deq\f(bm,bn)＝qm－n若a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as若b1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有bts－1＝bst－1若m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*，则am＋an＝ap＋ar若m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*，则bm·bn＝bp·br若m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，am＋an＝2ap若m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，bm·bn＝bp2Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(n(a1＋an),2)前n项积：Tn＝b1·b2·…·bn＝eq\r((b1·bn)n)若ak＝0，2k＞n＋1，k，n∈N*则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2k－n－1若bk＝1，2k＞n＋1，k，n∈N*则有b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b2k－n－1若cn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)，则数列{cn}也是等差数列若dn＝eq\r(n,b1·b2·…·bn)，则数列{dn}也是等比数列若cn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,1＋2＋3＋…＋n)，则数列{cn}也是等差数列.若dn＝(b1·eqb\o(\s\up1(2),\s\do1(2))·eqb\o(\s\up1(3),\s\do1(3))·…·eqb\o(\s\up1(n),\s\do1(n)))eq\s\up6(\f(1,1＋2＋3＋…＋n))，则数列{dn}也是等比数列.7、椭圆与双曲线的类比：椭圆双曲线xxA1B1B2F1A2F2H2H1OyFF1F2OyxA1A2B2B1H2H1eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）焦半径：|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0焦半径：左支上|PF1|＝－(ex0＋a)，|PF2|＝－(ex0－a)右支上|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a通径：︱H1H2︱＝eq\f(2b2,a)通径：︱H1H2︱＝eq\f(2b2,a)P是椭圆上一点，∠F1PF2＝，则Seq\s\do3(△PF1F2)＝b2taneq\f(,2)P是双曲线上一点，∠F1PF2＝，则Seq\s\do3(△PF1F2)＝b2coteq\f(,2)P是椭圆上一点，F是椭圆的一个焦点，则以PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2内切，如下图：PPFP是双曲线上一点，F是双曲线的一个焦点，则以PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2内切或外切，如下图：PPF1F2过椭圆上一点(x0，y0)的切线方程为：eq\f(\o(x0x),a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1过双曲线上一点(x0，y0)的切线方程为：eq\f(\o(x0x),a2)－eq\f(y0y,b2)＝1若P0(x0，y0)在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.若P0(x0，y0)在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）外，过P0作双曲线的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.椭圆的焦点△PF1F2的旁切圆圆心M的轨迹是过长轴的端点且垂直于长轴的直线.PPF1F2M双曲线的焦点△PF1F2的内切圆圆心M的轨迹是过实轴的端点且垂直于实轴的直线.PPF1F2AB是椭圆的长轴，O是椭圆的中心，F1，F2是椭圆的的焦点，直线AC，BD是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PF1·PF2＝PC·PDAB是双曲线的实轴，O是双曲线的中心，F1，F2是双曲线的的焦点，直线AC，BD是双曲线过A、B的切线，P是双曲线上任意一点，CD是过P的切线，则有PF1·PF2＝PC·PD数列中的类比推理例1（2000年上海卷）在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式成立.分析本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：等差数列用减法定义性质用加法表述（若且则）；等比数列用除法定义性质用乘法表述（若且则）.由此，猜测本题的答案为：事实上，对等差数列，如果，则.所以有：）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立.评注本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列而得到等比数列的新的一般性的结论。例2（2004年北京高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为，这个数列的前项和的计算公式为.分析由等和数列的定义，易知，（=1，2，…），故.当为偶数时，；当为奇数时，.评注本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。例6在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：由此得…相加得类比上述方法，请你计算“”，其结果为

．解析：类比已知可得：…相加，得函数中的类比推理例3（2003年上海春招高考题）设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为.分析此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算：，，，发现正好是一个定值，，.２．已知函数f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，那么f(1)＋f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋f(4)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝___７／２___３.已知函数的对称中心为M，记函数的导函数为，的导函数为，则有。若函数，则可求得：-8054.二、在函数中的应用例3如图所示，对于函数上任意两点，，线段必在曲线段的上方，设点分向量的比为，则由图象中点在点的上方可得不等式。请分析函数的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是

．解析：首先弄清不等式的来历，由图象知的图象，在上图象下凹知，，，所以点的纵坐标是，而与的横坐标都是，而点在曲线上，点在曲线上方，所以>而如图所示函数，在上图像上凸，所以，即：三、排列组合中的类比推理例5（2002年上海高考题）规定：，其中，是正整数，且，这是组合数是正整数，且的一种推广.求的值；组合数的两个性质（）是否都能推广到（是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（3）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，.分析本题“新的规定（是正整数）”是组合数（是正整数，且）的一种推广.这个结论是中学数学教学内容中没有的，目的是考查考生对相关的数学思想方法的自觉运用以及创新思维能力.解：（1）根据新规定直接进行演算即可（2）性质①不能推广.反例：当时，有意义，但无意义.性质②能推广，且推广形式不变：是正整数）.证明如下：===（3）需要就与的大小作出逻辑划分并进行严密的论证.当时，都是正整数，就是组合数，结论显然成立；当时，，结论也成立；当时，，是正整数，故.综上所述，当，是正整数时，.例6（2003年上海高考题）已知数列（为正整数）的首项为，公比为的等比数列.求和：；.由（1）的结果，归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明.分析本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：（1）=，.（2）归纳概括的结论为：若数列是首项为，公比为的等比数列，则.（证明略）解析几何中的类比推理例10（2001年上海高考题）已知两个圆：，①与②则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为.分析将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况：设圆的方程为，③与④其中或，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程.评注本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。例11（2003年上海春招题）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，