高中数学选修2-1同步练习 233直线与双曲线的位置关系(含答案)

2.3.3直线与双曲线的位置关系一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知双曲线方程为x2－eq\f(y2,4)＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A．4 B．3C．2 D．1解析：数形结合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．答案：B2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3)＋1,2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)解析：设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－eq\f(b,c).又渐近线的斜率为±eq\f(b,a)，所以由直线垂直关系得－eq\f(b,c)·eq\f(b,a)＝－1(－eq\f(b,a)显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍)．答案：D3．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A．(1,2] B．(1,2)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)解析：根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(b,a)≥eq\r(3)，则eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(e2－1)≥eq\r(3)，故有e2≥4，e≥2.故选C.答案：C4．P是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A．6 B．7C．8 D．9解析：设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．解析：∵∠AOB＝120°⇒∠AOF＝60°⇒∠AFO＝30°⇒c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝2.答案：26．已知双曲线eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．解析：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．解析：∵a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，又直线l过点F2(2,0)，且斜率k＝tan45°＝1，∴l的方程为y＝x－2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2,3x2－y2＝3))消去y并整理得2x2＋4x－7＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－eq\f(7,2)<0，∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－eq\f(7,2)，∴|AB|＝eq\r(1＋12)|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(－22－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2))))＝6.8．已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4的对称点，求实数k的取值范围．解析：①当k＝0时，显然不成立．②当k≠0时，在双曲线上任意取两点A，B，设AB的中点M的坐标为M(x0，y0)，由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－eq\f(1,k)x＋b，将其代入3x2－y2＝3中，得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.显然3k2－1≠0，即k2b2＋3k2－1>0.①由根与系数的关系得AB的中点M的坐标为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(－kb,3k2－1)，②,y0＝\f(3k2b,3k2－1).③))因为M平分AB，所以M(x0，y0)在直线l上，从而有eq\f(3k2b,3k2－1)＝eq\f(－k2b,3k2－1)＋4，即k2b＝3k2－1，④将④代入①得k2b2＋k2b>0，∴b>0或b<－1，即eq\f(3k2－1,k2)>0或eq\f(3k2－1,k)<－1，∴|k|>eq\f(\r(3),3)或|k|<eq\f(1,2)，且k≠0，∴k>eq\f(\r(3),3)或k<－eq\f(\r(3),3)或－eq\f(1,2)<k<eq\f(1,2)，且k≠0.尖子生题库☆☆☆9．(10分)设圆C与两圆(x＋eq\r(5))2＋y2＝4，(x－eq\r(5))2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)，\f(4\r(5),5)))，F(eq\r(5)，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．解析：(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.圆(x＋eq\r(5))2＋y2＝4的圆心为F1(－eq\r(5)，0)，半径为2，圆(x－eq\r(5))2＋y2＝4的圆心为F(eq\r(5)，0)，半径为2.由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CF1|＝r＋2，,|CF|＝r－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CF1|＝r－2，,|CF|＝r＋2，))∴||CF1|－|CF||＝4.∵|F1F|＝2eq\r(5)>4，∴圆C的圆心轨迹是以F1(－eq\r(5)，0)，F(eq\r(5)，0)为焦点的双曲线，其方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)－\r(5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)－0))2)＝2.直线MF的方程为y＝－2x＋2eq\r(5)，与双曲线方程联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋2\r(5)，,\f(x2,4)－y2＝1，))整理得