高中数学(人教A版选修1-2)典型例题：第一章 章末总结

数学·选修1－2(人教A版)回归方程及其应用回归方程及其应用对所抽取的样本数据进行分析，分析两个变量之间的关系——线性关系或非线性关系，并由一个变量的变化去推测另一个变量的变化，这就是对样本进行回归分析．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下对应数据：单位x/元35404550日销售量y/台56412811(1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系？如果有，求出线性回归方程；(方程的斜率保留一个有效数字)(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？分析：作出散点图，根据散点图观察是否具有线性相关关系．解析：(1)散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．点评：判断两个变量之间是否有线性相关关系一般有两种方法：一是计算样本相关系数；二是画散点图．两种方法要结合题目的要求合理选取，也可同时使用，则判断更加准确．测得一个随机样本的数据如下表所示：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，并预报回归模型；(3)利用所得模型预报x＝40时y的值．解析：(1)x与y的散点图如下图，由散点分布猜测样本数据分布在一条曲线的附近，这条曲线接近指数函数曲线y＝c1ec2x，其中c1，c2为常数．(2)对y＝c1ec2x两边取对数得lny＝lnc1＋c2x.令A＝lny，则A＝bx＋a，其中a＝lnc1，b＝c2.将y与x之间的数据转化为A与x之间的数据：x21232527293235A1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784可以求得回归直线方程为eq\o(A,\s\up6(^))＝0.272x－3.849，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.272x－3.849.(3)当x＝40时，y＝e0.272×40－3.849≈1131.点评：根据样本数据描出散点图，由散点图直观地观察散点分布符合的函数模型，再根据有关公式进行计算．某大型超市年底对公司销售人员的销售业绩进行统计，发现10位员工每年的销售额和其销售经验(年)有如下数据：销售经验x/年13446810101113年销售额y/万元809792102103111119123117136分析：利用公式计算即可．解析：(1)由直线eq\o(y,\s\up6(^))＝78＋4.2x，得yi－eq\o(y,\s\up6(^))i的值如下表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i－2.26.4－2.87.2－0.2－0.6－13－7.23.4(3)比较可知，用最小二乘法求出的残差平方和小，所以用回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝80＋4x来拟合较好．当x＝5时，eq\o(y,\s\up6(^))＝80＋4×5＝100(万元)．∴一个有5年销售经验的本公司员工，他的年销售额约为100万元．独立性检验及其应用点评：通过本题可以进一步了解回归直线方程的意义及残差的含义和残差平方和的意义．独立性检验及其应用在日常生活中，分类变量是大量存在的，例如吸烟与患肺癌等，在实际问题中，我们常常关心两个变量之间是否有关系．为观察药物A、B治疗某病的疗效，某医生将100例该病病人随机地分成两组，一组40人，服用A药；另一组60人，服用B药．结果发现：服用A药的40人中有30人治愈，服用B药的60人中有11人治愈，问A、B两药对该病的治愈率之间是否有显著差别？解析：为便于将数据代入公式计算，先列出2×2列联表：治愈未愈总计A药301040B药114960总计4159100由公式得k＝≈31.859.因为31.859>10.828，所以我们在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为A、B两药对该病的治愈率之间有显著差别．点评：独立性检验方法的应用，关键是确定两个变量和列出2×2列联表，只要完成了这两步，下面的计算和判断就迎刃而解了．某推销商为其保健药品做广告，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患疾病A”．经调查发现，在不使用该药品的418人中仅有18人患疾病A.请用所学知识分析该药品对预防疾病A是否有效．解析：将问题中的数据写成2×2列联表：患疾病A未患疾病A总计使用5100105不使用18400418总计23500523由公式得k＝≈0.04145.显然0.041