山西省忻州市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理

PAGEPAGE8忻州一中20152016学年度第一学期期末考试高二数学(理科)试题一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分)1.设集合，，则=A.B.C.D.2.已知圆锥底面半径为4，高为3，则该圆锥的表面积为A. B. C. D.3.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为A.B.C.D.34.函数的零点个数为A.4B.3C.2D.15.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.6.设是三个不重合的平面，是两条不重合的直线，下列命题中正确的是A.若则B.若∥，∥，，则C.若，则∥D.若则∥7.下列命题中，真命题是A.B.C.是的必要不充分条件D.设eq\o(a,\s\up6(→)),eq\o(b,\s\up6(→))为向量,则“|eq\o(a,\s\up6(→))eq\o(b,\s\up6(→))|=|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|”是eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))的充要条件8.过圆外一点作该圆的切线，切点为，若,则点的轨迹是A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线9.已知向量，，则函数是A.周期为的偶函数B.周期为的奇函数C.周期为的偶函数D.周期为的奇函数10.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱中最长的是A. B.C. D.511.若点P在抛物线上，点Q在圆上，则|PQ|的最小值是A.B.C.D.12.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为A.B.C.D.二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则_________.14.边长为的正方形的四个顶点在半径为5的球的表面上，则四棱锥的体积是_________.15.是双曲线的两个焦点，B是虚轴的一个端点，若△是一个底角为300的等腰三角形，则该双曲线的离心率是_________.16.将边长为2正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个判断：①②AB与平面BCD所成60角③是等边三角形④若A、B、C、D四点在同一个球面上，则该球的表面积为其中正确判断的序号是_________.三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分)17.(本小题满分12分)在△中，，，△的面积为．（1）求的值；（2）求值.18.(本小题满分12分)在等差数列中，为其前项和，已知;数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列前项和.19.(本小题满分12分)8510080750.010.0690分数950.028510080750.010.0690分数950.020.07第5组：．（1）求图中的值，并估计此次考试成绩的中位数（结果保留一位小数）；（2）在第2、4小组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取2人进行面试，求至少有一人来自第2小组的概率.20.(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2=25,直线：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0(m∈R)（1）证明：直线恒过定点，并判断直线与圆的位置关系；（2）当直线被圆C截得的弦长最短时，求直线的方程及最短弦的长度.21.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，,，,,分别为的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22.(本小题满分12分)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，连接该椭圆的四个顶点所得四边形的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于不同两点，设椭圆位于轴负半轴上的短轴端点为，若三角形是以线段为底边的等腰三角形，求的取值范围；附加题（每小题5分，共15分）23.已知双曲线的左、右焦点分别为，若点关于一条渐近线的对称点为，则=____________.24.在中，角的对边分别为，若，则的最小值为____________.25.设函数满足当时，，则=____________.

忻州一中20152016学年度第一学期期末考试高二数学(理科)参考答案及评分标准一．选择题(每小题5分，共60分)1-5:CDBCC6-10:DDBDB11-12:BA二．填空题(每小题5分，共20分)13.1214.3215.16.①③④三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．（10分）解：(1)∵且∴………2分∵∴………5分(2)由余弦定理得：∴………8分由正弦定理得：得………10分18．（12分）解：（1）设等差数列的公差为.则解得∴………3分∵∴数列是公比为2的等比数列∵得：∴………6分（2）∵∴数列是首项为4，公比为的等比数列………9分∴………12分19．（12分）解：（1）由（0.01+0.02+a+0.06+0.07）×5=1得：a=0.04………3分设此次考试成绩中位数的估计值为x：0.05+0.2+(x-85)×0.07=0.5x≈88.6………6分（2）由频率分布直方图知：第2、5小组中的人数分别为20,30∴从第2、4小组中抽取的人数分别为2,3,分别设为a,b和c,d,e………8分这5人中随机选取2人所有基本事件为：（a,b）,(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10个，………10分其中至少有一个来自第2小组的基本事件为（a,b）,(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)共7个故至少有一人来自第2小组的概率………12分20.(12分)解：（1）直线的方程：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0经整理得：解得即直线恒过定点………4分把D点的坐标代入圆C的方程：，所以点D在圆内直线经过圆C内的一点D，故直线与圆C相交.………6分(2)当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短由所以直线被圆C截得的弦长最短时，直线的斜率为2，此时直线的方程为………9分又所以，最短弦长为所以，直线被圆C截得的弦长最短时，直线的方程为，最短弦长为………12分21．（12分）解:(1)易知AB,AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则：，，，,,,.………3分从而,因为·所以，即………6分(2)，设是平面PCD的一个法向量，则即令，则………9分设直线EF与平面PCD所成角为，则即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为.………12分22.(12分)解：(1)抛物线的焦点为，………1分解得故所求椭圆的方程为………4分（2）由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,3)＋y2＝1))得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)(3m2－3)>0，得m2<3k2＋1，①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN的中点为P(x0，y0)，则x1＋x2＝－eq\f(6mk,3k2＋1)，x1x2＝eq\f(3（m2－1）,3k2＋1)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3mk,3k2＋1)，y0＝kx0＋m＝eq\f(m,3k2＋1)，………8分所以kAP＝eq\f(y0＋1,x0)＝－eq\f(m＋3k2＋1,3mk)∵三角形是以线段为底边的等腰三角形，AP⊥MN，则－eq\f