2023年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用1导数的概念及其意义导数的运算练习含解析

导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．知识梳理1．导数的概念函数0

处的导数记作y0

.xx0Δy fx＋Δx－fx)＝lim ＝lim 0 0 .0 Δx→0 ΔxΔx→0 Δx函数f′(x)＝limΔx→0－fxΔx .导数的几何意义处的导数的几何意义就是曲线0 0 0率，相应的切线方程为)．0 0 0基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数f(x)＝c(c为常数)f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f(x)＝sinx且f(x)＝logx(a>0，且a≠1)

′(＝α－11af(x)＝lnx

xlnaf x 1′()＝x导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；1[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；fx

xgx－fxx(g(x)≠0)；gx

′＝

[gx]25．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，yx的导数等于y对u的导数与u对x常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．

x u x2. 1

－f′x′＝

(f(x)≠0)．fx思考辨析

[fx]2判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”))是函数附近的平均变化率．(×)0 0(3)f′(x)＝[f(x)]′.(×)0 0(4)若(－)，则(－)．(×)教材改编题1函数在处的切线方程．答案y＝(e－1)x＋21解析f′(x)＝ex－，2∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.已知函数)ln＋a＋2，若′(e)，则 .1答案－e解析f′(x)＝1＋lnx＋2ax，f a a 1∴′(e)＝2e＋2＝0，∴＝－.e23．若(＝ln()－，则′) .1答案x

－e1－x－1题型一导数的运算例1(1)(多选)(2022·济南质下列求导运算正确的( )A.1′＝－1lnx

ln2xB(e)′2＋ex

C.cos2

－3

－3D.x′1＋1 2答案AD解析

′＝－1

·(lnx)′＝－1，A

ln2x

l2x(e)′2＋)e，故B错误；x

x

，故C错误；cos2

－3

－3－x－

1′＝1＋D ′＝1＋D

π

π(2)函数)的导函数为′(，若＝＋3si，则f6 .π2 2π答案363解析f x

xfco，′()＝2

＋′3f

2π1 ∴′3＝3＋3，2f 4π∴′3＝3，∴f π2 2π6＝36＋3.教师备选1．函数的导数等( )3x

A．2

－4B．cos2x＋sinxC．cos2x－sin2xx

D．2答案A

＋4解析y′＝2cos2x＋2sin2x＝22cosx2－4.2．(2022·济南模)已知函数则等( )A．e2021cos2021 eC.2 D．e答案B解析因为f′(x)＝exsinx＋excosx，＝思维升华(1运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(1)若函数()满足x＝(1＝′(1)′(1)等于( )答案C解析当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数)ln(－3)ae－，若′(2)1，则＝ 答案e21 2解析′)＝x ·(－3)′－＋a·()′＝x ＋ea－，2－3 2－34∴′(2)2＋e－22e－＝2e－1，则e2.题型二导数的几何意义命题点1求切线方程y2(1)(2021·答案5x－y＋2＝0

＝在点(－1，－3)处的切线方程为 ．解析y

2－

2－5＝

所以＝ 5 ＝

2

2

x＝－1

－1＋225，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.(2)已知函数若直线l过并且与曲线相切则直线l的方程为 ．答案解析∵点(0，－1)不在曲线上，x，y)．0 0又f′(x)＝1＋lnx，∴直线l的方程为0y＝xlx，∴0 0 0

x＝1，y＝0.y＋＝＋lxx， 0 00 0 0∴直线l的方程为即23(1)(2022·青岛模拟)直线与曲线相切于点b等( )答案A解析∵直线相切于点将P(1,2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，a∵f(x)＝alnx＋b，∴f′(x)＝x，a由f′(1)＝＝1，1解得a＝1，可得f(x)＝lnx＋b，∵P(1,2)在曲线上，∴f(1)＝ln1＋b＝2，5解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模)过定点作曲线的切线，恰有2条，则实数a的值范围．答案(1，＋∞)a解析由′ex，e0)，a0则切线方程的斜率＝y'| ＝ae0>，xx0a∴切线方程为＝e0(－x1)，a0又P(1，e)在切线上，a∴e0(2x＝e，a0e即＝e(2－x)有两个不同的解，a 0令φ(x)＝ex(2－x)，∴φ′(x)＝(1－x)ex，当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，max又x→－∞时，φ(x)→0；x→＋∞时，φ(x)→－∞，e∴0<a<e，即实数a教师备选1已知曲线)3－3在点P处的切线与直线＋210垂直则P点的坐标( )A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)(－1,3) D．(1，－3)答案C解析设切点，y)，0 0′＝32－，x y 1又直线

＋2－1＝0的斜率为－，2∴′x＝32－12，0 0∴2＝1，0∴x＝±1，06又切点，y0 0∴y3－x＋，0 0 0x＝1y＝3；0 0x＝－1y＝3.0 0∴切点P(1,3)或(－1,3)．12．(2022·M是曲线＝l＋2＋(－)x上的任一点，若曲线在M点处2π4

a的取值范围( )A．[2，＋∞)C．(－∞，2]答案C1

B．[4，＋∞)D．(－∞，4]解析因为ln＋2)，2y 1x a M π所以＋＋1－，因为曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于4的锐角，＝1所以y′≥tanπ＝14

x>0恒成立，x a x即x＋＋1－≥1对任意>0恒成立，x1a x1所以＋x≥，又x1

＋x≥2，x当且仅当＝x，即

＝1时，等号成立，所以a2]．思维升华(1数的方程：(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．跟踪训练2(1)(2022·南平模若直线＝＋m与曲线＝e－n相切，( )为定值

12m1 1＋n为定值2n为定值3答案B解析设直线＝＋m与曲线e－2nx，e2n)，0因为′e－2，所以e2n＝，所以x2，07所以切点为(2n,1)，代入直线方程得1 1即m＋n＝.2 2(2)若函数(＝l＋－ax的图象上存在与直线2－0平行的切线则实数a的取值范围．答案[2，＋∞)解析直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，f x 1 xa∴′()＝x＋4－＝2在(0，＋∞)内有解，a x1 x则＝4＋x－2，>0.x1 x1又44x1当且仅当

＝时取“＝”．2∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞)．题型三两曲线的公切线例4(1)(2022·＝l，(＝＋a(Rl与()的图象相切于点若直线l与的图象也相切，则a等( )A．0B．－1C．3D．－1答案D求导得f′(1)＝1＋ln1＝1，于是得函数)在点)处的切线l的方程为因为直线l gx

＝1，

有唯一解，即关于x的一与()的图象也相切，则方程组gx＝＋a，元二次方程21)1＝0因此＝－12－＝，解得＝1或＝，所以a＝－1或a＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线Ca2(>0)与曲线C＝e存在公共切线，则a的取值范1 2围为 ．e2 答案4解析由＝a(>0)，得′a，8由y＝ex，得y′＝ex，曲线C：＝a2>0)与曲线Cex存在公共切线，1 2设公切线与曲线Cx，a2)，1 1 1与曲线C2

xex222则2ax＝ex

x ax2e,2e,11 2 xx2 12x＝x＋2，2 1∴a＝

xe11e2，2x1

x12e2x，e

ex1(x2)24x2 ，2当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．x fx e2∴当＝2时，a

()min＝4e2

.∴的取值范围是4，＋∞延伸探究在本(2)中把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线则a的取值范为 ．e2 答案4解析由本例(2)知，∵两曲线CC1 2

存在两条公共切线，∴a＝

xe1e2

有两个不同的解．2x1∵函数f(x)＝

x12e2xe

在(0,2)上单调递减，fx f e2在(2，＋∞)上单调递增，且

()min

(2)＝4，9ae2∴>4.教师备选若)lnx与＝2ax两个函数的图象有一条与直线＝x平行的公共切线，则等于( )A．1B．2C．3D．3或－1答案Dfx x xy k1解析设在函数

()＝ln处的切点为(，)，根据导数的几何意义得到＝x＝1，解得＝(1,0)，可求出切线方程为－，此切线和(＝＋ax也相切，故2a－，化简得到＋(－1＋＝0，只需要满足(－1)－0，解得＝1或＝3.x，ex)处的切线与曲线xx1 1＋1)(x－1)等( )2A．－1B．－2C．1D．2答案B解析已知曲线xex

)处的切线方程为

2 2 11ex＝exyex

1xexxex,1 1 1 曲线＝ln在点(，ln)处的切线方程为y x x x曲线＝ln在点(，ln)处的切线方程为

1 11－ln＝－y x 1x－ln＝－

y1x－1＋lnx，)，即＝2 2 2 x 2 x 2)，即＝2 2 11exx,1由题意得1ex1

21ex1

x1lnx1 21得x＝ ，12 ex11ex－exx＝－1＋lnx＝－1＋ln

＝－1－x，11 1 11

ex 1x＋1 1则e1 .又x＝ ，x－11x

2 所以x＝1 ，2 x＋11x－1 －2所以x－1＝1 －1＝ ，2 x＋1 x＋11 1所以(x＋1)(x－1)＝－2.1 2思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线10上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)(2022·(0)＝2＋()若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值( )A．2B．5C．1D．0答案C解析根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由()＝2＋，可得＝4，则切线的斜率为)＝4，gx xx

g x 3

kg a 3由()＝－3ln－，可得′()，则切线的斜率为＝′(a 3

)＝－a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4

＝－a－1，a a 3解得＝1

＝－(舍去)，4又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.(2)已知为自然对数的底直线l是与的公切线，则直线l的方程．答案或解析设直线lx，y)，1 11y＝ex111)＝ex，111xex)，111切线斜率ex，11∴切线方程为y－ex1

＝ex

)，e1e11ex11

·x－x1

x＋ex，①11同理设直线lx，y)，112 2∴y＝lnx＋2，2 2x 1′(g x 1∴′()＝，2 x2x，lnx＋2)，2 211k1切线斜率

＝x，2y

x 1xx∴切线方程为－(ln＋2)＝(－)，2 x 22y1x x即＝x·

＋ln

＋1，②22由题意知，①与②相同，1ex1

1xx

ex,③∴1xex11

1211ex1

lnx2

1,④把③代入④有xexex＝－x＋1，1 1 1 11即(1－xex－1)＝0，11x＝1x＝0，1 1x＝11x＝01综上，直线l的方程为课时精练1．(2022·营口模)下列函数的求导正确的( A(－)′＝xB．(xcosx)′＝cosx－xsinx1C．(ln10)′＝10D．(e2x)′＝2ex答案B解析(－2)′＝2－3，∴A错；(xcosx)′＝cosx－xsinx，∴B对；(ln10)′＝0，∴C错；(e2x)′＝2e2x，∴D错．黑龙江哈师大附中月曲线在处的切线方程( )答案D12解析y′＝－2sinx＋cosx，当x＝π时，k＝－2sinπ＋cosπ＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y＋2＝－1×(x－π)，化简可得x＋y－π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝处的切线，令是的导函数，则g′(3)等( )A．－1B．0C．2D．4答案B

yfx x 1解析由题图可知曲线

＝()在

＝3处切线的斜率等于－，3f 1∴′(3)＝－，3∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，g ＝0.∴′(3)＝1＋3×－3已知点A是函数)2－l＋2图象上的点，点B是直线x上的点，|A的最小值为( )A.2 B．243C.3

16D.3答案A解析当与直线平行的直线与的最f x x1小值．′(x

)＝2x

－x＝1，1解得＝1

＝－(舍去)，2又f(1)＝3，所以切点C(1,3)到直线y＝x的距离即为|AB|的最小值，即|AB|

|1－3|＝ ＝2.min

12＋1213πx和曲线则的值( )A．0B．πC．－2D．3答案D

2＋c在它们的公共点π πx解析2sin 2，∴f′(0)＝a，g′(0)＝0，∴a＝0，又M(0,2)为f(x)与g(x)的公共点，∴f(0)＝b＝2，g(0)＝1＋c＝2，解得c＝1，∴b＋c－a＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P是函数f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为则角α的取值范围( ) 3

3π A.0，4

B.0，2∪

，ππ

3

3π C.2，4答案B

D.0，2∪

，π解析∵f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)，∴f′(x)＝2ex－f′(0)，∴f′(0)＝2－f′(0)，f′(0)＝1，∴f(x)＝2ex－x＋f′(1)，∴f′(x)＝2ex－1>－1.P是曲线上的任意一点，点P∴tanα>－1.∵α∈[0，π)，α

3π

.∴∈0，2∪47.(多)已知函数的图象如图是的导函数，则下列结论正确的( )A．f′(3)>f′(2)B．f′(3)<f′(2)C．f(3)－f(2)>f′(3)14D．f(3)－f(2)<f′(2)答案BCD解析)的几何意义是

处的切线的斜率．由图知f′(2)>f′(3)>0，0 0故A错误，B正确．设A(2，f(2))，B(3，f(3))，f f f3－f

＝k，则

(2)＝

3－2 AB由图知f′(3)<k<f′(2)，AB故C，D8)(2022·()在D′()DD)]′.若在Dfx D

3上是凸函数的( )上恒成立，则称

()在

上为凸函数．以下四个函数在0，4A．f(x)＝－x3＋3x＋4B．f(x)＝lnx＋2xC．f(x)＝sinx＋cosxD．f(x)＝xex答案ABC解析对＝3＋3，x 3)<，故A为凸函数；当∈0，4fx x xf x 1对B，()＝ln＋2

)＝x＋2，f x 1″()＝－，2x 3)<，故B为凸函数；当∈0，4对C，f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)＝cosx－sinx，f x x x

x

，″()＝－sin

－cos

＝－

＋4x 3)<，故C为凸函数；当∈0，4对D，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，15f″(x)＝(x＋2)ex，x 3)>，故D不是凸函数．当∈0，4马鞍ft模若曲线在处的切线与直线平行则实数.答案－1解析因为f′(π)＝cosπ－π·sinπ＝－1，因为函数在x＝π处的切线与直线ax－y＋1＝0平行，所以a＝f′(π)＝－1.110．已知函数若则.－1答案2－ax－1′解析f′(x)＝－a

ax－1

＋excosx－exsinx2＝ax－1

＋excosx－exsinx，2∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，ex2可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则 ，其在(0,1)处的切线方程．2xex2答案

y＝1ex2解析，ex2 2xex2故′＝(2)′ ＝ ，则f′(0)＝0.故曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y＝1.2 已知函数

)存在两条垂直于y轴的切线，3则a的取值范围答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)2 解析因为

a＋1x(a∈R)，32所以′()＝2－a＋＋1，因为曲线＝()存在两条垂直于y轴的切线，3162所以关于x的方程′(＝3－a＋＋10有两个不等的实根，332 3则＝4－1＋>0，即－3>，解得a＞3或a＜－1，a(－∞，－1)∪(3，＋∞)．17一点，使得()－(＝)(－)e1在[0,1]上这样的c点的个数为()A．1B．2C．3D．4答案A解析函数()＝e－，则＝(＋1)e－1，由题意可知，存在点c∈[0,1]，f c f1－f

＝1，)＝

1－0即()e1＝，1 1所以e－1＝ ，∈[0,1]，作出函数＝e－1和＝

c的图象，如图所示，1＋ 1＋由图象可知，函数＝1和＝

1c的图象只有一个交点，1＋ec－1＝

1，∈[0,1]只有一个解，即函数(－1在[0,1c点的个数为1.1＋14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过可以作曲线的两条切线，( A．eb<a B．ea<bC．0<a<eb D．0<b<ea答案Dx，y)，y>0，0 0 00则切线方程为ex0

(x－a)，yex x－a，由0 0 0y＝e000得ex(1－x，则由题意知关于x的方程ex(1－x有两个不同的解．000 0 0设f(x)＝ex(1－x＋a)，18则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，由f′(x)＝0得x＝a，所以当所以max所以f(x)>0，当x→－∞时，f(x)→0，