最新数学华师版初中九年级下册2712-第2课时-垂径定理课件

27.2圆的对称性

导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.圆的对称性第2课时垂径定理27.2圆的对称性导入新课讲授新课当1.进一步认识圆，了解圆的对称性.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标1.进一步认识圆，了解圆的对称性.学习目标问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课问题引入问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的讲授新课垂径定理一做一做：剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？⌒⌒·OABDP互动探究讲授新课垂径定理一做一做：剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDPC想一想：能不能用所学过的知识证明你的结论？线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理·OABDCP试一试已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP，⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP.又∵CP=CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC，∴AC=BC，⌒⌒∴AC=BC.（同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等）⌒⌒AD=BD.由此易得·OABDCP试一试已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，A垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是直径，CD⊥AB，∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.归纳总结推导格式：垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE议一议下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABODCA数学优秀课件初中数学优秀课件初中·OABDCP1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点.求证：AB⊥CD，⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.试一试证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵P是AB的中点，∴AB⊥CD.即AP=BP，∵CD是直径，CD⊥AB，∴⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.（垂径定理）·OABDCP1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是·OABDCP2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，求证：CD垂直平分AB.⌒⌒AC=BC,证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.⌒⌒AC=BC,∵∴AC=AB.（在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦相等.）∵OC=OC，∴△AOC≌△BOC，∴∠AOC=∠BOC，即OC是∠AOB的角平分线.∴CD垂直平分AB.·OABDCP2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，⌒⌒思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.例1如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一垂径定理及其推论的计算二∴cm.典例精析例1如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=例2如图，☉O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，例2如图，☉O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，D你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?试一试你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?试一ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2∵解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=1如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm练一练如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrdd+h=rOABC·在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.5cm2.☉O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.103cm3.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.14cm或2cm当堂练习1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则

4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF┗设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点拓展提升：如图，☉O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围.3cm≤OP≤5cmBAOP拓展提升：3cm≤OP≤5cmBAOP垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;见《》本课时练习课堂作业见《》本课时练习课堂作业同学们,加油！同学们,加油！谢谢同学们的合作再见!谢谢同学们的合作再见!数学优秀课件初中数学优秀课件初中27.2圆的对称性

导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.圆的对称性第2课时垂径定理27.2圆的对称性导入新课讲授新课当1.进一步认识圆，了解圆的对称性.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标1.进一步认识圆，了解圆的对称性.学习目标问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课问题引入问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的讲授新课垂径定理一做一做：剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？⌒⌒·OABDP互动探究讲授新课垂径定理一做一做：剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDPC想一想：能不能用所学过的知识证明你的结论？线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理·OABDCP试一试已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP，⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP.又∵CP=CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC，∴AC=BC，⌒⌒∴AC=BC.（同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等）⌒⌒AD=BD.由此易得·OABDCP试一试已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，A垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是直径，CD⊥AB，∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.归纳总结推导格式：垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE议一议下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABODCA数学优秀课件初中数学优秀课件初中·OABDCP1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点.求证：AB⊥CD，⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.试一试证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵P是AB的中点，∴AB⊥CD.即AP=BP，∵CD是直径，CD⊥AB，∴⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.（垂径定理）·OABDCP1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是·OABDCP2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，求证：CD垂直平分AB.⌒⌒AC=BC,证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.⌒⌒AC=BC,∵∴AC=AB.（在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦相等.）∵OC=OC，∴△AOC≌△BOC，∴∠AOC=∠BOC，即OC是∠AOB的角平分线.∴CD垂直平分AB.·OABDCP2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，⌒⌒思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.例1如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一垂径定理及其推论的计算二∴cm.典例精析例1如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=例2如图，☉O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，例2如图，☉O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，D你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?试一试你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?试一ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2∵解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=1如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm练一练如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrdd+h=rOABC·在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.5cm2.☉O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦