2023高考真题知识总结方法总结题型突破：38 圆锥曲线中的求值与证明问题(学生版)

专题38圆锥曲线中的求值与证明问题【高考真题】1．(2022·北京)已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．2．(2022·新高考Ⅰ)已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．3．(2022·新高考Ⅱ)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【方法总结】证明问题常用方法圆锥曲线中的证明问题主要有两个方面：(1)位置关系方面的(如证明相切、垂直、过定点等)；(2)数量关系方面的(如存在定值、恒成立等)．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接证明，但有时也会用反证法．【题型突破】1．(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|．2．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|．3．已知椭圆C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点．(1)若△F1AB的面积为eq\f(20\r(3),11)，求直线l的方程；(2)若eq\o(BF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2A,\s\up6(→))，求|AB|．4．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>1)的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为eq\f(4π,3)，过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P且垂直于AB的直线与x轴交于点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，0))，求k的值．5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点P(2，1)，且离心率e＝eq\f(\r(3),2)．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为eq\f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|＝eq\r(5)，求直线l的方程．6．(2017·全国Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝eq\f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4．(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．7．(2021·天津)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为eq\f(2\r(5),5)，且|BF|＝eq\r(5)．(1)求椭圆的方程；(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．8．(2020·全国Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(0＜m＜5)的离心率为eq\f(\r(15),4)，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．9．(2020·北京)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b．(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求eq\f(|PB|,|BQ|)的值．10．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为eq\f(\r(3),3)的直线与椭圆C相交于A，B两点，且AB⊥OB，O为坐标原点．(1)求椭圆的离心率e；(2)若b＝1，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；②点M满足2eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求eq\f(|NM|,|NQ|)的值．11．设椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任意一点，且△MF1F2的周长是4＋2eq\r(3).(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若点C满足eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(OC,\s\up6(→))，连接AC交DE于点P，求证：|PD|＝|PE|.12．已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)，其焦点为F.M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l与x轴，y轴分别交于A，B.(1)求抛物线C的方程以及焦点坐标；(2)若△BMF与△ABF的面积相等，求证：直线l是抛物线C的切线．13．如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B．(1)证明：直线BC∥x轴；(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF，证明：||AF|－|BF||＝8．14．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点A(1，0)，B(4，0)，过点A的任意一条直线l与椭圆C交于M，N两点，求证：|MB|·|NA|＝|MA|·|NB|.15．在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P在y轴的右侧运动，且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离，记P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍．16．设椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．17．设椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为eq\f(\r(2),2)，△ABF2的周长为4eq\r(6)．(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．18．在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(－eq\r(6)，0)，A2(eq\r(6)，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝2．(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；(2)过R(3，0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若eq\o(RP,\s\up7(→))＝λeq\o(RQ,\s\up7())(λ＞1)，求证：eq\o(NF,\s\up7())＝λeq\o(FQ,\s\up7())．19．从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN．(1)求椭圆T的方程；(2)求证：PM⊥PN．20．如图，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为其左、右焦点，过F