中学数学化归方法及应用

目录TOC\o"1-5"\h\z中文摘要、关键词 （ III）绪论 （ 1）\o"CurrentDocument"1、数学化归方法概述 （1）对数学思想方法的理解与认识 （1）\o"CurrentDocument"化归是数学发现的重要策略和方法 （1）\o"CurrentDocument"化归的一般模式 （2）\o"CurrentDocument"2、化归的原则 （3）\o"CurrentDocument"新知识点向已知知识点的转化 （3）\o"CurrentDocument"由难到易 （4）\o"CurrentDocument"由繁到简 （5）\o"CurrentDocument"3、化归的方法 （5）\o"CurrentDocument"整体分析化归法 （5）\o"CurrentDocument"一般情况向特殊情况的转化 （5）\o"CurrentDocument"分割法 （7）映射法 （9）\o"CurrentDocument"求变法 （10）极端化法 （ 11）\o"CurrentDocument"4化归当中应该注意的问题 （14）熟悉化和模型化 （14）\o"CurrentDocument"简单化和具体化 （14）\o"CurrentDocument"特殊化和一般化 （14）\o"CurrentDocument"5小结 （15）\o"CurrentDocument"夯实基础知识 （15）\o"CurrentDocument"培养化归意识 （16）\o"CurrentDocument"掌握化归的一般方法 （16）\o"CurrentDocument"深入教材 （16）参考文献 （ 17）英文摘要、关键词 （IV）中学数学化归方法及应用摘要化归的思想方法是数学中最重要、最基本的思想方法之一，它着眼于揭示联系实现转化，在迁移转化中达到问题的规范化，其覆盖面之广不仅使之成为一种基本的数学解题策略，更是我们在日常生活中的一种重要的思维方法。在化归思想方法指导下，我们常常将不熟悉和难解决的问题转化为熟知的易知的易解的或已经解决的问题； 将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题得以解决。化归思想的教学在初中数学教材中体现得较为宽广，数学中可以实现化归的方法是很多的，本文从整体分析化归法、分割法、映射法、求变法、极端化法方面进行了论述。作者首先对化归的一般模式，化归的方向进行了阐述，又论述了化归的方法和原则及化归思想的核心。通过典型例题对化归方法进行了很好的说明，意在培养化归意识，提高转化能力，掌握化归的方法。关键词化归思想，还原，化归方法，数学思想中学数学化归方法及其应用绪论通过分析当前初中数学教育对数学思想方法的要求，初步了解教师掌握数学思想方法及学生思维发展的现状，我们认为，挖掘数学思想方法培养学生思维能力的课堂教学实践是当前初中数学课堂教学的一个突破点。国外 ,从20世纪60年代起，荷兰就开始了现实数学教育的过程。到90年代初，几乎所有的荷兰中小学都已经在使用根据现实数学教育思想编写的数学课本了。俄罗斯把使学生形成数学思想方法列为数学教育的三大基本任务之一。国内,自93年《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分以来，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法、如何有效地进行数学思想方法教学、如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题。93年初孙朝仁老师就参与了江苏省教育科学规划课题“发展学生数学思想，提高学生数学素养”，历时8年，明确了数学思想与数学方法以及它们之间的区别与联系。探索出数学思想方法的分类以及在教材中的呈现方式、数学思想方法的基本特征及其目标设制、数学思想方法教学的原则和教学基本途径、数学思想方法课堂教学模式除此之外，国内某些学校数学教学中进行数学思想方法的教学也有深入的研究，并且成果显著。但在新的课程理念下，人们对数学思想方法的研究还不够系统和完善，初中数学教学中，许多教师还处于无意无序地渗透一些数学思想方法，还没有把数学思想方法教学列入数学教学目标中，对如何在教学中有意有序地进行渗透，新课程背景下数学思想方法与中学数学教学实践的研究，目前仍缺乏全面深入的探讨与实践，所积累的研究成果甚少。1数学化归方法概述对数学思想方法的理解与认识“数学思想”这一术语 ,还未形成精确的定义 ,比较一致的认识是 ,数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,基本看法,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的后果 ,它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学方法是指人们在数学学习,研究,以及利用数学解决实际问题的步骤、程序和格式，是实施有关教学思想的技术手段，由此可以看出数学方法具有过程性、层次性、可操作性特点。化归是数学发现的重要策略和方法数学问题的形式千变万化，结构错综复杂，特别是一些难度较大的综合题（如一些国内外竞赛题），不仅题型新颖，知识覆盖面大，而且技巧性强，个别问题的解法独到别致，寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境，绕过障碍的途径。因此，我们在解决数学问题时，思考的重点就是要把所需要解决的问题转化为已能解决的问题，也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到最终把它化归成一个或若干个熟知的或已能解决的问题，这就是数学思维中重要的特点和方法——化归方法。匈牙利著名数学家 P.路莎指出：“对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的进攻，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经解决的问题。”P.路莎还用以下比喻，十分生动地说明了化归的实质。“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些开水，应当怎么去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放在煤气灶上。”接着路莎又提出了第二个问题：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经放了足够的水，这时你又应当如何去做？”这时，人们往往会很有信心地回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是路莎指出，这一回答并不能使她感到满意。因为，更好的回答应该是这样的：“只有物理学家才会这样去做；而数学家们则会倒去壶中的水，并声称我已经把后一个问题化归成先前的问题了。”“把水倒掉”。多么简洁的回答！罗莎的比喻固然有点夸张，但却道出了化归的根本特征：在解决一个问题时人们的眼光并不落在问题的结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，尽管向前走两步，也许能达到目的，但我们也情愿退一步回到原来的问题上去.虽然这一方法并不是最省时、省工、省料，但这一回答却道出了数学家思考问题与解决问题的一个特点一一与其他科学家相比，数学家特别善于使用化归思想方法。化归的一般模式问题 问题*化归 解答还原 解答*把所要解决的问题经过某些变化，使之归结为另一个问题*,再通过问题*的求解，把解得的结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的思想，我们称之为化归。化归法是一种分析问题解决问题的基本思想方法.在数学中通常的作法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换•…，或平移、旅转、伸缩•…等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本的问题，从而求出解答.如学完一元一次方程、因式分解等知识后，学习一元二次方程我们就是通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的.后来我们学到特殊的一元高次方程时，又是化归为一元一次和一元二次方程来解的.对一元不等式也有类似的作法.又如在平面几何中我们在学习了三角形的内角和、面积计算等有关定理后，对n边形的内角和、面积的计算，也是通过分解、拼合为若干个三角形来加以解决的.再如在解析几何中，当我们学完了最基本、最简单的圆锥曲线知识以后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线 （在新坐标系中）来实现的.其它如几何问题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题化归为锐角三角函数问题来表示的例子就更多了. 所以,掌握化归的思想方法对于数学学习有着重要的意义.总之，化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。例：证明：不存在整数a,b,c,满足a2b28c6。思考与分析：由于题目给出的已知条件比较抽象，不便于使用，故我们可考虑命题的结论。如果将a2b28c6转化为两个数的平方和被8除余6,根据整数的性质，我们考虑整数关于模4的剩余类，可得十分巧妙的证法。证明：由于每个整数都具有下列形式之一：4 n,4n±1,4n+2,它们的平方数分别是2 2. 216 n,16n±8n+1,16n+16n+4,它们被8除的余数分别是0,1,4.而这三个余数的任意两数（可以相同）的和都不等于6,所以对任意整数a,b,c,不存在a2b28c6。2化归的原则在用化归方法解决数学问题时，一个必要的条件是，化归变形后的问题必须是能够解决的（即化归后所得到的问题应当是由未知到已知，由复杂到简单，由难到易，由繁到简）。新知识向已知知识点的转化解一元二次方程时有以下四种基本解法：a、如果方程的一边是关于X的完全平方式，另一边是个非负的常数，则根据平方根的意义将形如xm2nn0的方程转化为两个一次方程： xmVn,进而得解%2mVn,此为开平方。b、如果将方程通过配方包等变形，一边化为含未知数的完全平方式，另一边为非负的常数，则其后的求解可由思路一完成，此为配方法。c、如果方程一边为零，一边能分解成两个一次因式之积，就可以得到两个因式分别为零的一次方程，它们的解都是原方程的解，此为因式分解法。d、如果以上三条思路受阻，便可把方程整理为一般形式，直接利用公式求解。纵观以上四种方法，不难发现，方法一即所谓开平方法，它是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程，即由xm2nn0转化为xm品,完成了由“二次”向“一次”的转化。方法二中的“配方”仅完成了方程的恒等变形，把问题转移到“可开方”上来，并未完成“降次转化”这一实质性工作，但已经为“二次”向“一次”转化创造了条件，因而习惯上称之为“配方法”，配方法的实质就是通过转化为开平方来解决的。方法三即因式分解法，其理论依据是“若干个因式之积为零时，则其中至少有一个因式为零”，据此，也顺利地实现了由“二次”转化为“一次”的目的。方法四即所谓公式法，对一般的一元二次方程，通过配方，转化为开平方求得一般结论，即求根公式。公式法以强调结论，应用结果为前提，而省略了公式的探究过程，实际上已将解方程转化成为代数式的求值问题，而公式的得到则是化归思想的典型体现。从以上分析不难看到：将“一元二次”这个新知识点转化为“一元一次”这个已知知识点之际，也就是顺利求解一元二次方程之时。因此，应用化归思想降次转化为一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。而对于高次方程，初中教材中的都是简单的一元高次方程，这类方程根据具体方程的特殊性可以通过一些常规的数学方法把它们转化为一元一次方程或一元二次方程， 即完成从新知识点到已知知识点的降次化归过程，从而使此类方程问题得到解决。由难到易所谓由难到易就是把比较困难的问题转化为比较容易， 易于解决的问题和程序的问题，从而使原问题得到解决。也就是说，化归由难到易目标原则是指化归应朝着目标容易的方向进行，即困难的待解决的问题应向较易解决的问题化归。例：求证：f(n)n33n22n6(nZ)能被6整除。思考与分析：原式可变为fnnn1n26上式表明，f(n)是三个连续整数之积与6之和。而“求证三个连续整数之积能被6整除”，是比较难的问题，如果对它的证明仍感困难，还可将它再转化为容易的问题：“求证三个连续整数之积既能被2整除又能被3整除”，从而使原问题获解。由繁到简所谓由繁到简就是把比较复杂的，高维的问题转化为比较简单的、低维的、易于确定解决问题方向和程序的问题，从而使问题得到解决，也就是说，化归由繁到简目标是指化归应朝着目标简单化的方向进行，即复杂的待解决的应向简单的较易解决的问题化归。这里的简单不仅是指问题结构形式上的简单，而且还指问题处理方式，方法上的简单。而在用这种思维解题过程中，将元素统一和将条件与结论统一是关键，通过化归，将原来比较繁的问题转化为比较简单的问题，使待解决的问题获得解决。其实，回顾一下在中学数学中的教学，很多内容都是这样解决的：如分式的加减运算要统一为同分母的分式加减运算，不同底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的对数来运算，多变元的问题通过消元变为一个变元的问题， 三角诱导公式的重要作用就是实现三角式的和谐统一等。所以，化繁为简对数学化归有着十分重要的意义。例：求函数f(x)-3x26x13,x4x21的最大值。思考与分析：函数结构复杂，无法用常规方法解，设法将其简单化。由根式我们联想到距离，问题的关键是，能否将两个根式内的被开方式化成平方和的形式。 通过拆凑，发现可以，即：f(x)..(x22)2(x3)2..(x21)2x2对其作适当的解释，问题就转化为：求点P(x,x2)到点A3,2与点B0,1距离之差的最大值。进一步将其直观具体化，由点A,B的位置知直线A电交抛物线yx2于第二象限的一点C,由三角形两边之差小于第三边知，点暇于点C寸，f(x)才能取到最

大值，且最大值就是|AB|,故f(X)max|AB|回。3化归的方法化归思想的实质是实现结论向条件，未知向已知的转化。它贯穿于整个教学及每一个问题的解决。所以，运用化归思想解决问题，其一要有转化(化归)的意识，其二要掌握一些常用的转化手段和方法，如整体分析化归法、分割法，映射法，求变法，极端化法等。整体分析化归法将一个式子视为一个整体，从而给问题带来转机，可获得奇妙的整体效果效应，整体分析法的关键在于产生或寻找能给问题带来转机的整体，即换元法解决问题，显得简洁、明快，这就是整体代入法所产生的效应。例如：已知tan,tan是方程x2例如：已知tan,tan是方程x23x30的两跟，・2/sin( )3sin()cos(3cos2()之值。由已知与韦达定理联系得tantantantan联系和角公式有:tan((tantan)/(1tantan)3/4观察式子sin2(3sin()cos(、c2/ 、口•/ 、 /)3cos( )tbsin( )cos(二次齐次式,tantantantan联系和角公式有:tan((tantan)/(1tantan)3/4观察式子sin2(3sin()cos(、c2/ 、口•/ 、 /)3cos( )tbsin( )cos(二次齐次式,又由sin2()cos(1,上式可化为:sin2()3sin()cos()3cos2()/sin2( )cos2(=tan2()3tan(,2tan=-3次问题体现了整体分析化归的思想，通过整体tan()3/4,使较为复杂是问题简单化、明朗化，从而到达求解的目的。般情况向特殊情况的转化

在解决数学问题中除了上述的化归方向外，还有一类化归方向是：先解决特殊条件或特殊情况下的问题，然后通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决，这也是解决新问题获得新知识的一种重要的化归方向。例如九年级下册教材中的圆周角定理的证明，就是先证明圆心在圆周角一条边上的这种特殊情况，对于圆心在圆周角内部和外部的一般情况都是转化成圆心在圆周角一条边上的特殊情况来证明的。我们就以此为例来看看如何实现从一般情况向特奥情况时圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。ly^^0.）已知：在。就，弧BCO寸的圆周角是/BAC B1圆心角是/BOC（如图3-1）,求证：BAC-BOC2图3-1分析：圆周角/BACf圆心O勺位置关系有三种：（1）圆心0在/BAC勺一条边AB（或AQ上（如图3-2）;（2）圆心OS/BAC勺内部（如图3-3）;（3）圆心0^/BAC勺外B图3-3图3-4图3-2B图3-3图3-4图3-2在第一种位置关系中，圆心角/B0蛤为AAOC勺外角，这时很容易得到结论；在第二、三两种位置关系中，我们均可作出过点A勺直径，将问题转化为第一种情况，同样可以证得结论。分割法在解决数学问题中，为了解决某些复杂的问题，往往采用分割法，把某些比较复杂的数学对象作为整体，按照可能和需要分解成若干更易于求解的部分，在求得各部分解

的基础上，通过适当的组合而使得原数学问题得以解决的解题方法。所谓分割法，就是把一个复杂的问题分割成若干个有逻辑联系的、较简单或较熟悉的问题，从而使原问题得以解决。当然，仅有“化整为零”的分解，化归过程未必能完全实现，往往还要通过“积零为整”，将这些小问题的解重新组合起来，才能得到原问题的解，正是分解与组合的相辅相成和有机结合，引起待解决问题关系结构的重新搭配，使我们能在新的关系结构中去寻找化归的途径。在运用分割法实现化归时，对于待处理的问题，有时把问题本身作为分解对象，此时是将整体分解为局部之和；有时把问题看成某一整体的一部分，此时是将局部分解为整体与另一部分的差；有时把问题的条件进行分解，求得满足各部分条件的对象集合，此时问题的解是那些满足各部分条件的对象集合的交。般地说，利用分割法求解问题的过程可以归结如下:问题解答分离基本图Mr问题解答分离基本图Mr-几何教材中的每一个定义、定理、公理、性质等都涉及（，也含）一个图形，我们称这样的图形为基本图形，而任何一个复杂的几何图形都是由几个或若干个基本图形复合而成。这样，我们在解证几何题的时候，就要善于从复杂的图形中分离出基本图形，完成对问题的解决.几何教材中的每一个定义、定理、公理、性质等都涉及（，也含）一个图形，我们称这样的图形为基本图形，而任何一个复杂的几何图形都是由几个或若干个基本图形复合而成。这样，我们在解证几何题的时候，就要善于从复杂的图形中分离出基本图形，完成对问题的解决.这分析问题，解决问题的方法就是分离基本图形法.例：如图3-5所示,P是半径为2的。Ort一点，OP=W,AB为过P点的弦,CA,C的OO勺切线，/AOB=2（为锐角）”设^点到AC,BC勺距离分别是a,b.求证（1）a,b是关于x的方程x2（4sin2）x2sin2 0的两个根;（2）当（2）当=45时,P点恰好在线段OCt。图3-5分析：设h点到AGBC勺距离为PE=a,PF巾，要证(1)a,b是方程x2(4sin2)x2sin2 0的两个根，须证a+b=4sin2ab=2sin2,连接CQ由切线性质定理可知COLAB,垂足出，所以/AODWBOD=,而由OALCAS而由OALCAS射影定理的基本图形(图3-6)得/CAD=AOD=。在RtAPAE中(图3-7)PE=a=APsin,同理，PF=b=PBsin,所以a+b=APsinab=APBPsin图3-7在RtAPAE中(图3-7)PE=a=APsin,同理，PF=b=PBsin,所以a+b=APsinab=APBPsin图3-72图3-6而为求弦AB,由垂径定理的基本图形（图3-8）得AB=2AD=2OAsin=4sin,所以a+b=4sin2而为了求APBP,联想到相交弦定理的基本图形,过P作直径交。0于H,G两点（图4),得APBP=PGPH=(2-V2)(2+&)=2,所以ab=2sin2图3-8（2）图3-8（2）当二45o时，方程为x2图3-92x10，得两根a=b=1图3-10由角平分线的性质可知，点3-6）、解直角三角形（图P在/ACB的平分线OC3-6）、解直角三角形（图综合以上分析，本题涉及到的基本图形有：射影定理（图3-7）、垂径定理（图3-8）、相交弦定理（图3-9）、切线性质定理（图3-10）等5个基本图形。因此，这是一个综合性强、难度较大的题目，但用分离基本图形法进行化归,就显得容易多了。补集法若待求的对象集合A是某全集I的子集，而全集I和补集A为我们所熟悉或较简单易求时，那么通过I与A的解题方法称为补集法。补集法也是分割法中的一种特殊方法，从思维形式的角度看，它是一种逆向思维，它常可在“顺向”思维受阻时发挥作用。映射法（关系映射反演方法）在化归策略中，有一种思维方法被称为映射观点，即通过映射将问题从未知领域向已知领域转化，为了进一步说明映射观点在化归策略中的重要地位，根据映射观点的不同表现形态阐述通过寻找恰当的映射来实现化归。利用坐标系（点集与数偶集合之间的一种映射）实现数形相互转化是笛卡儿的划时代创造。通过坐标系，可将几何问题转化为代数问题，也可将代数问题转化几何问题，即能发挥代数的优势，开创研究几何的新方法，又可充分利用直观，借助形象思维获得出奇制胜的方法。这是映射观点灵活应用的一种范例。为V3xya0,设该直线与单位圆x2y21交于两点MN,则/XOM=,/XON=,直线73xya0与单位圆有两个不同的交点（点（1,0）除外）的充要条300a 一 L 一件为J 1,且。3Xl+0+aW0,于是|a|<2且aw-J3,故aC（-2,-丁3）1U（-73,2）。设与该直线垂直且过原点的直线和单位圆父于点 P,因为（+-）=ZNOP=/XON/XOP=,屏以（一+）=或二那么~^+=或b——3 22 6 6 3 3上述通过寻找合适的映射实现化归的策略被著名数学方法论专家徐利治先生科学抽象为关系映射反演原则，简称RMI原则（relationshipmappinginversion的缩写），它表述如下：给定一个含有目标原象x的关系结构系统S,如果能找到一个可定影射 （能通过确定的数学万法从映象关系结构系统S中将目标映象确定出来的影射），将S映入或映满S,则可从S通过一定的数学方法把目标映象x=（x）确定出来，从而通过反演即逆

映射x确定出来.用框图表示如下S（关系结构）映射x确定出来.用框图表示如下S（关系结构）x（目标原象） 映象关系结构（定映）反演1 :r x（目标映象）其中“定映”就是要从映射关系结构中确定未定目标映象的属性（数量、形式或某些性质），“反演”就是逆变换或逆映射。关系映射反演原则告诉我们这样一个事实：如果在原象关系结构系统R中不易确定原象目标X,我们可以通过适当的可定映映射，将转化为R,并在R中确定映象目标，再通过反演确定X。如可通过幕级数变换将离散的数列问题化归为连续问题。著名的斐波那挈数列即可用此化归方法解决。求变法求变法也是数学化归中重要方法之一。求变法包括恒等变形法、参数变形法、多步化归法、以及包含“反馈”的化归。在中学数学解题中经常会遇到这些方法。包等变形法在数学解题中，这是最常用的方法，特别是在求解方程或证明一些整除性问题时，利用包等变形法以实现由未知向已知的化归，使我们较容易地求得问题的解。例：求证：f（n）n36n211n12（nN）能被6整除。思考与分析：把原式进行包等变形，得到f（n）n36n211n12=（n+力（n+2（n+3+6,从而，只需证明这三个连续自然数之积能被6整除即可！参数法借助参数进行影射、反演的方法称为参数法。通过引入参数把原象关系结构映射为映象关系结构后，不仅数学对象有所增加，而且数学关系也会发生重新组合，由于参数

,使原问题处于一种“可变”的状态中,可以自由选择，这就增加了原问题的“自由度”,使原问题处于一种“可变”的状态中,使我们能采用更为灵活的方法和手段来处理问题。例：已知椭圆9x216y2144,求这个椭圆上的点的横坐标与纵坐标之和的最大值与最小值。思考与分析：设椭圆上的点的坐标为（x,y）,即求xy的最大值和最小值。由于在原象关系结构中求解，故引入参数b,令b=xy,使之映射为含b的映象关系结构。b的引入使“自由度”增加，处理方法变得灵活。只需将b=xy略加变化为yxb,即可视为一组斜率为-1的直线系方程，b是其纵截距，又由于直线系方程中的x,y必须是椭圆上的点的坐标，因此，求xy的最大值与最小值就映射为求过椭圆上的点作斜率为-1的直线的纵截距的最大值与最小值。又下图可知，应是两条切线11与12,其方程是其实该题若以椭圆的离心角为参数，则x4cos,y3sin,5,y(1)x,16(1)29x5,故b的最大值是其实该题若以椭圆的离心角为参数，则x4cos,y3sin,5,xy4co.s 3sin5sin(—)在含的影象关系结构中确定目标映象更为方便。4在含的影象关系结构中确定目标映象更为方便。极端化法极端化法也是数学化归方法中的一种重要方法。数学中有许多“极端”情况，在解决有些数学问题时，我们常能以问题的“极端”情况的考察中获得有益启示，所谓极端化原则，就是运用极端化位置或状态的特性引出一般位置或状态下的性质，从而获得解决问题的思路。我们先看一个古老的数学问题：“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看足却有一百整，不知多少鸡和兔？”不谈它的方程解法，作为一个算术问题，它曾难倒了很多青少年。G.波利亚对这个问题提出了一个有趣的思路： “如果鸡都缩起了一只脚，而兔图图3-12子都竖起了前腿，仅用两只后腿着地，那又怎样呢？”很显然，那样的话， “看足只剩五十整”了，而对于三十六个头来说：50-36=14那多余的14只脚当然是14只兔子的了。G.波利亚提出的思考方法可谓巧矣，用这个方法去解题，去讲授，一定可以使很多青少年从迷惑中解放出来，分析一下这个思维的过程“当原题不易思考时，我们可以转而研究它的相对地容易解决的极端情况，（当然这个极端情况要有意义，比如在这个问题中，并没有假定兔子也用一只脚着地）。”解决了极端化情况之后，再通过“一定的数学手段”即可通向解决原题之路。极端化方法的模式可简单地归结为：极端化过程新的较易原题的解决一定的教学手段. 极端化过程新的较易原题的解决一定的教学手段. 新问题的解决需要指出的是：1）极端化情况是多种形式的，往往并不在原题中存在，而需要发挥数学想象力，把它构造出来。2）通过“一定的教学手段”求原题的解，可能是简单的数学手段，也可能是较复杂的一系列的教学手段。1.我们通过几个例题进一步探讨极端化法，先看一个策论中的问题。例1：一张圆桌，两个人轮流往上放大小相等的硬币，只许平放，不许重叠，谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就是游戏的胜利者。是先放者取胜,有一种必胜的法则呢？如图（3-12）还是后放者?有没!b桌上放下最后一枚硬币，谁就是游戏的胜利者。是先放者取胜,有一种必胜的法则呢？如图（3-12）还是后放者?有没!b如果请教一位数学家，他可能毫不犹豫地回答： “我当然选择先放，因为我可以假设桌子很小，小到和硬币一样大，我把硬币往桌上一放，我就赢了。 ”太妙了！极端化思想方法已使他对这个问题有了一个或许正确的初步答案。不过，具体解出这个问题还需要一些数学手段，我们再看这个数学家是怎么思考这个问题的。 “然后，我可以想象这张桌子又慢慢大了起来，我那枚硬币就留在了桌子的中央。该别人放了，因为规则是交替放置。我再放时放在“对应”的哪一点呢？事实上应该是一一对应，在圆内这样的对应点显然是以最先放下的硬币为中心的对称点，按这样的对应法则放下去，直到对手不能放为止。”这位数学家用数学手段对应、一一对应、中心对称完成了整个问题例2:某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出两个队，每两队之间至多比赛一场，并且同一城市的两个队之间不进行比赛。比赛若干天后统计，发现除A市甲队外,其他各队已比赛过的场次各不相同，问A市乙队已赛过多少场？十六个城市，32个队，实在无从下手，我们可考虑极端情况，即考察两个城市之间的比赛。但为了更清楚地说明问题，我们选择了三个城市共 6个队来思考：A市 B 市 C 市甲队乙队 甲队乙队 甲队乙队图3-13 图3-14图3-14由于同一城市的两队之间不比赛， 且两队之间只能赛一场，因此一个队最多赛四场,又由于A市甲队（这儿用甲1表示）要除外，且各队比赛场次各不相同，那么这其他五队的比赛场次必为0,1,2,3,4.我们用平面内六个点表示这六个队，用连线表示两队之间比赛了，那么，按照刚才的分析，可得下面的示意图：TOC\o"1-5"\h\z清楚地看到，a和f,e和b,c和d分别是同一城市的队，因为它 ,f们之间没有比赛，那么它们所赛的场次呢，分别为（4和0）,（3和1）,b e（2和2）,那么显然A市甲队赛了2场，因为其他5个队赛过的场数 c不同，当然A市乙队也赛过了2场图3-15已经探索到上述解题方法之后，我们再看十六个城市 32个队，简述如下：一个队最多只能比赛30场，除A市甲队外，其他各队比赛场次各不相同，故场次数为0,1,2,3,29,30.且场次数按同一城市的甲、乙队必做如下搭配：(30,0),(29,1),……(16,14),(15,15).其中比赛场次都为15的必为A市的两个队，故A市乙队已赛过15场。其实，我们已解决了这个问题的更一般情况，即有n个城市，2n个队……。顺便说一下，这道题脱胎于由美国数学家.劳尔森提出的著名的“有三对夫妇参加的晚会的握手问题”。极端化法在初等数学领域中应用的例子是层次不穷的，因为初等数学更有它丰富多彩的一面。其实，我们很多青少年在思考数学问题时(甚至其它领域的问题) ，经常有意识或无意识地想象着：“如果两条直线的夹角越来越小……。””如果这个方程所有的根都是无理根……。如果椭圆的一个焦点移到了无限远的位置……。”这些都是极端化思想的萌芽。熟练运用极端化的化归思想对数学解决具有很大的帮助。4化归当中应该注意的问题我们在运用化归的思想方法解决问题时还要注意一些问题，如：熟悉化和模型化、简单化和具体化、特殊化和一般化等。4.1熟悉化和模型化熟悉化就是把我们感到陌生的问题通过变形化归成比较熟悉的问题， 从而使我们能够充分利用以有的知识和经验使问题得到解决。例：解方程x3(1J2)x220。思考与分析：这是一个以x为未知数的一元三次方程，显然我们对三次方程的解法是比较陌生的，而对一次或二次方程的解法则比较熟悉。因此，我们自然希望能把它化归为若干个一次或二次方程来处理。注意到原方程的特点，可以看出：若把 x看作“已知数”，而把22看作“未知数”，则原方程便可看作关于我的“二次方程”。我们就22解出原方程，也许能得到关于x的一次或二次方程，从而可能将原问题化归为熟悉的问题而得到解决。将陌生问题化归为熟悉问题或某个统一的模式，从而达到解决问题的目的，是一个极其重要的化归原则。但是这一原则并没有成法可依，完全依靠在平时解题时，把已经解过的习题进行分类，归纳，并熟记一些重要题型的具体方法。这样，经过日积月累的长期实践，我们就自然能够掌握这一个原则。简单化和具体化简单化就是把比较复杂的问题转化为比较简单的问题， 把比较复杂的形式转化为比较简单的形式，以便使其中的数量观系和空间形式更加明朗和具体，从而找到问题的突破口。所谓具体化就是将比较抽象的问题，转化为比较具体或直观的问题来解决，很多数学问题是各种信息的高度浓缩和抽象，如果我们继续沿着“抽象化”的路子走下去，往往走入迷宫。如果我们改变方向，从新的角度、新的观念出发，把问题中的各种概念以及概念之间的关系具体明确，亦即对原来的抽象问题进行具体转化，往往会使问题轻而易举地得到解决。特殊化和一般化相对于一般来说，特殊问题的解决是比较容易和简单的。特殊化就是把数学问题中包含的数量、形状、位置关系等加以简单化、具体化、单一化、边缘化。也就是说，当数学问题的一般性不十分明显时，我们从特殊的数、形的数量关系和位置关系入手，由特殊性质推出一般性质，从中找到解题方法或构成解题起点。在解题过程中，对于一时难以入手的一般问题，一个使用最普遍而又较为简单易行的化归途径，乃是把它向特殊的形式转化，这就是特殊化法。由于特殊的事物与简单的事物有着自然的联系，所以这种方法有两种类型：一是从简单情形入手，作为解决一般问题的突破口；二是从特殊对象考察（包括着眼于极端情形） ，为求解一般问题奠定基础。总之,数学问题的特殊化,可以通过数目的减少 ,数值范围的缩小,维数的降低 ,元数的减少,任意图形转化为特殊图形等手段来实施 .而特殊元素的选择 ,往往是中点、端点、定值、零值、垂直、平行、特殊的数和形等。与特殊化的途径相反，在对一般形式问题比较熟悉的情况下，将特殊形式的问题转化为一般形式的问题，这就是一般化法。这种方法是通过找出特殊问题的一般原理，把特殊问题从原有范围扩展到包含该问题的更大范围来进行考察，从而使得我们能够在更一般、更广阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径。例如，在研究数的问题时，可以用一般化法把它化归为式的问题来研究；在研究方程和不等式时，也可以用一般化法把它们置身于函数之中来处理。特殊化和一般化是两种相辅相成的思维方法。解题中使用特殊化是为了探求一般性结论，使用一般化是为了通过一般性结论的成立说明其特殊情形成立或推广命题。因此，当一般性的问题很难立刻找到解题方法时，不妨将其向特殊方向转化，而当有些特殊的问题涉及过多无关宏旨的枝节，掩盖着问题的本质时，往往转化为一般的情形更容易解决。特殊化和一般化反映了人类的两种认识过程，即由特殊到一般和由一般到特殊，这两种过程循环往复，每一次循环都可使人类的认识提高一步。数学也是在这一循环往复中发展并丰富其内容的。如平面几何先深入研究了三角形，再研究一般的多边形，在研究中常返归到三角形问题。又如解方程问题，从一元一次方程开始逐渐复杂化，而复杂的方程又常转化为简单的方程来解。5小结从上面的分析中，我们不难发现初中数学教材中有很多问题都是需要用化归思想来解决的，化归思想在初中数学的学习中有着举足轻重的作用，是一种非常重要的数学思想。那么如何在日常教学中更好的渗透和落实化归思想呢？夯实基础知识拥有扎实的基础知识、掌握完整的知识结构是实现化归的基础。教学实践告诉我们，教学过程数学优等生与差生区分的第一标准就是基础知识及知识结构掌握的程度不同,中，夯实基础、完善知识结构应做到：教学过程重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基础。从某种意义上说，中学数学教学实际上是数学模型的教学，建立数学模型是实现问题的规范化和程序化，运用模型的过程即是转化与化归的过程。养成整理、总结数学方法的习惯，为寻求化归方法奠定基础。差生之所以拿到基本题没有思路，其根本原因是其知识结构残缺不全。完善知识结构，为寻求化归方向奠定基础。在平时教学中帮助学生完善知识结构，例如做好单元小结，其中画知识结构图或列知识表是完善知识结构使知识系统化、板块化的有效方法之一。通过表格或网络图，知识之间的相互联系、依存关系一目了然，为问题的转化提供了准确的方向。培养化归意识数学是一个有机整体，它的各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，使之构成了纵横交错的立体空间，我们在研究数学问题的过程中，常需要利用这些联系对问题进行适当转化，使之达到简单化、熟悉化的目的。要实施转化，首先须明确转化的一股原理，掌握基本的化归思想和方法，并通过典型的问题加以巩固和练习。因此，在平时的教学中，我们不断教会学生解题，通过仔细的观察、分析，由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想方法、规律以及熟知的相关问题解法，由此不断转化，建立条件和结论之间的桥梁，从而找到解题的思路和方法。掌握化归的一般方法树立了化归意识后，接下来的工作是探求化归的方法。化归的实质是不断变更问题,因此，可以从变形的成分这个方面去考虑，也可以从实现化归的常用方法直接去考虑。在实际运用中，这两个方面又是互相渗透、互相补充的。初中阶段常用的化归方法有恒等变换法，具体包括分解法、配方法、待定系数法等：其次是映射反演法，具体包括换元法、坐标法等。深入教材在数学教学中，要善于挖掘教材中蕴含的化归思想方法，注意不断总结化归法解题的一般原理、提炼蕴含其中的思想方法，把化归思想方法的教学融于各个环节之中，让学生切实感受到化归思想方法的存在形式及其发挥的作用。在概念形成、运用的过程中渗透化归思想；在定理、公式的探究和发现过程中深化化归思想方法；在问题解决过程中领悟化归思想方法；在知识的归纳总结过程中概括化归