134最短路径问题课件

13.4课题学习最短路径问题13.4课题学习最短路径问题复习回顾如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？依据：两点之间，线段最短。复习回顾如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？依据：两点之复习回顾如图，点A是直线

l

外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？依据：垂线段最短。复习回顾如图，点A是直线l外一点，点A到直线的所有线路中复习回顾如图，点A，点B是直线l两侧的点，请在直线l上找一点C,使AC+BC最短。复习回顾如图，点A，点B是直线l两侧的点，请在直线l上找一点新知探究

问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl新知探究问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有新知探究精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl新知探究精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答新知探究追问1

这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al新知探究追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？新知探究追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？BAlC如图，在直线l上找一点C，使AC+BC最短。新知探究追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，B新知探究问题转化

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·新知探究问题转化如图，点A，B在直线l的同侧，点新知探究作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C新知探究作法：问题2如图，点A，B在直线l的新知探究追问3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C新知探究追问3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？新知探究若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′追问4

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？新知探究若直线l上任意一点（与点B·lA·B′CC′运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山新课推进问题2如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA新课推进问题2如图，A和B两地在一条河的两新课推进BA追问1如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ追问2利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？如何解决？新课推进BA追问1如图假定任选位置造桥新课推进BAA1MN解：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN新课推进BAA1MN解：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽归纳小结在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。归纳小结在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换13.4课题学习最短路径问题13.4课题学习最短路径问题复习回顾如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？依据：两点之间，线段最短。复习回顾如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？依据：两点之复习回顾如图，点A是直线

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外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？依据：垂线段最短。复习回顾如图，点A是直线l外一点，点A到直线的所有线路中复习回顾如图，点A，点B是直线l两侧的点，请在直线l上找一点C,使AC+BC最短。复习回顾如图，点A，点B是直线l两侧的点，请在直线l上找一点新知探究

问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl新知探究问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有新知探究精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl新知探究精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答新知探究追问1

这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al新知探究追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？新知探究追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？BAlC如图，在直线l上找一点C，使AC+BC最短。新知探究追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，B新知探究问题转化

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·新知探究问题转化如图，点A，B在直线l的同侧，点新知探究作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C新知探究作法：问题2如图，点A，B在直线l的新知探究追问3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C新知探究追问3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？新知探究若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′追问4

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？新知探究若直线l上任意一点（与点B·lA·B′CC′运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山新课推进问题2如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA新课推进问题2如图，A和B两地在一条河的两新课推进BA追问1如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ追问2利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？如何解决？新课推进BA追问1如图假定任选位置造桥新课推进BAA1MN解：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ