中级微观经济学课件-Chapter5-Choice

C-D效用函数图形C-D效用函数图形1中级微观经济学课件-Chapter5_Choice2中级微观经济学课件-Chapter5_Choice3第五章选择第五章选择在分析了消费者选择集及其偏好（可以由效用函数表示）之后，我们现在将两者放在一起考虑并分析消费者如何做出自己的最优选择。在数学方面，这是一个受约束的最优化问题（aconstrainedmaximizationproblem）；在经济学方面，这是一个理性选择问题（arationalchoiceproblem）。在分析了消费者选择集及其偏好（可以由效用函数表示）之后，我们理性约束选择x1x2理性约束选择x1x2理性约束选择效用x1x2可行消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束更受偏好的消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束更受偏好的消费束理性约束选择效用可行消费束x1x2更受偏好消费束理性约束选择效用可行消费束x1x2更受偏好消费束理性约束选择效用x1x2x1*x2*理性约束选择效用x1x2x1*x2*理性约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是消费者最偏好的、可负担得起的商品束。在最优选择点上，无差异曲线不穿过预算线。理性约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是消x1x2x1x2消费束(x1,x2)是无差异曲线和预算线的交点x1x2x1x2消费束(x1,x2)是无差异曲线和预算线的交13x1x2x1x2消费束(x1,x2)是无差异曲线和预算线的交点，则在红色线段上总能够找到比(x1,x2)更好的点x1x2x1x2消费束(x1,x2)是无差异曲线和预算线的交14无差异曲线不穿过预算线是否就意味着相切呢？大多数情况下是如此，但存在例外。第一种例外：折拗的偏好（拐点解）第二种例外：角点解无差异曲线不穿过预算线是否就意味着相切呢？15第一种例外：折拗的偏好x2*x2x1x1*无差异曲线在最优消费点上没有切线第一种例外：折拗的偏好x2*x2x1x1*无差异曲线在最优消16第二种例外：角点解x1x1*x2（,0），无差异曲线与预算线不相切x1*

如果不考虑折拗偏好和角点解，无差异曲线与预算线相切是最优选择的必要条件。第二种例外：角点解x1x1*x2（,0），无差异曲线与17无差异曲线与预算线相切是最优选择的充分条件吗？x2最优消费束非最优消费束三个切点中只有两个最优点。相切是最优的必要、非充分条件。无差异曲线与预算线相切是最优选择的充分条件吗？x2最优消费束18注意：最优商品束可能不是唯一的。如果无差异曲线是严格凸的，那么在每一条预算线上只有一个最优选择。注意：最优商品束可能不是唯一的。如果无差异曲线是严格凸的，195.2消费者需求一定价格和收入水平下的商品1和商品2的最优选择，称为消费者的需求束。需求函数是将最优选择即需求数量与不同的价格和收入值联系起来的函数。

x1(p1,p2,m)，x2(p1,p2,m)不同的偏好下消费者的最优选择不同5.2消费者需求一定价格和收入水平下的商品1和商品2的20理性约束选择效用在给定价格和预算情况下的最受偏好消费束称为消费者的一般需求。我们用x1*(p1,p2,m)和x2*(p1,p2,m)来表示一般需求。理性约束选择效用在给定价格和预算情况下的最受偏好消费束称为消理性的受约束选择效用当x1*>0，x2*>0这样的需求消费束称为内点。假如购买消费束(x1*,x2*)花费$m，那么预算刚好花完。理性的受约束选择效用当x1*>0，x2*>0理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是内点(x1*,x2*)在预算线上理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是内点

(a)(x1*,x2*)在预算线上;p1x1*+p2x2*=m。理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是内点

(b)(x1*,x2*)点的无差异曲线的斜率与预算约束线的斜率相等。理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)最优选择---消费者均衡最优选择(x1*,x2*)满足全部收入都用于消费

能给其带来最高效用水平的消费束

x1x2x1*x2*最优选择---消费者均衡最优选择(x1*,x2*)满足x1x理性的受约束选择(x1*,x2*)满足两个条件:(a)该点在预算线上;

p1x1*+p2x2*=m(b)在点(x1*,x2*)的预算约束的斜率为-p1/p2,与无差异曲线在该点的斜率刚好相等。从几何上看，消费者均衡条件是边际替代率等于预算线的斜率，这表明消费者消费两种商品的边际效用之比必须等于商品的价格之比。理性的受约束选择(x1*,x2*)满足两个条件:计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例假如消费者有一个柯布-道格拉斯的效用函数。计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例假如消费者有一个柯布计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例假如消费者有一个柯布-道格拉斯的效用函数。

那么计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例假如消费者有一个柯布计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为

在(x1*,x2*)点,MRS=-p1/p2

因此计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为

计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为

在(x1*,x2*)点,MRS=-p1/p2

因此(A)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为

计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例(x1*,x2*)点刚好在预算线上(B)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例(x1*,x2*)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)代入计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)代入可得可简化为计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例将x1*代入

便有计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例将x1*代入便有计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例我们得到了柯布-道格拉斯效用函数的消费者最优可行消费束。

为计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例我们得到了柯布-道格计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例x1x2计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例x1x2理性的受约束选择当x1*>0，x2*>0

且(x1*,x2*)在预算线上，

且

无差异曲线没有结点，一般需求可通过解方程(a)p1x1*+p2x2*=y(b)在点(x1*,x2*)预算约束线的斜率为-p1/p2,与在该点的无差异曲线的斜率相等。理性的受约束选择当x1*>0，x2*>0

且柯布－道格拉斯偏好求：最优选择的需求函数！柯布－道格拉斯偏好求：最优选择的需求函数！其边际替代率为：其边际替代率为：在(x1*,x2*),MRS=-p1/p2

即：(A)(B)加上预算约束：在(x1*,x2*),MRS=-p1/p2即：(A具有柯布－道格拉斯偏好的消费者在每种商品上花费的货币总是他收入的一个固定份额，其大小由柯布－道格拉斯中的指数决定。具有柯布－道格拉斯偏好的消费者在每种商品上花费的货币总是他收Intryingto“dothebestshecangivenhercircumstances”,aconsumerchoosesabundle(x1,x2) tomaximizeutilityu(x1,x2)subjecttothebudgetconstraint.OptimizingMathematicallyForthetypical2-goodconsumerproblem,thisiswrittenformallyaswherethenotation“x1,x2”underneath“max”isreadas“choosethevariablesx1andx2tomaximize”.Thefunctionthatisbeingmaximized–i.e.u(x1,x2)–isoftenreferredtoastheobjectivefunction.Thisisanexampleofaconstrainedoptimizationproblem.BacktoGraphsIntryingto“dothebestshe46BeginningwithanExampleWe’llreturntothisgeneralformulationoftheconsumer’sproblembutbeginwithamoreconcreteexample:Aconsumerfacespricesp1=20andp2=10andhas$200tospendonthegoodsx1andx2.HertastescanberepresentedbytheCobb-Douglasutilityfunction.Wecanthenwritethisconsumer’sconstrainedoptimizationproblemasBeginningwithanExampleWe’ll47SolvingtheProblem:Method1Onewaytoapproachthisisbyconvertingtheconstrainedoptimizationproblemintoanunconstrainedoptimizationproblem.Thisisdonebysolvingtheconstraintforx2=20–2x1andsubstitutingthisintotheobjectivefunctionu(x1,x2)tocreateanewfunctionWehavethereforeeliminatedtheconstraintbymakingitpartoftheobjectivefunction–andwecanthusre-writetheproblemasSolvingtheProblem:Method1O48SolvingtheProblem:Method1Tosolveforthemaximumofasingle-variablefunction,wehavetofindwherethefunctionattainszeroslope–i.e.whereit’sderivativeiszero.Wethereforesetthederivativeoffwithrespecttox1tozeroandsolveforx1togetx1=5.Pluggingx1=5intothebudgetconstraintequationx2=20–2x1andsolvingforx2,wefurthermoregetthatx2=10.Thus,theoptimalbundleforthisconsumeris(x1,x2)=(5,10).SolvingtheProblem:Method1T49SolvingtheProblem:Method2AsecondwaytoapproachthisproblemisthroughtheLagrangeMethod.JustasinMethod1,theLagrangeMethodbeginsbysettingupanewfunctionwhosefirstderivativeswillthenbesettozerotosolvefortheoptimum.ButunlikeinMethod1,theconstraintwillnowbeanexplicitpartofthisLagrangeFunction(x1,x2,l)that (1)beginswiththeobjectivefunction(u(x1,x2))andthen (2)addstheconstraintsettozeroandmultipliedbythenewvariablel (whichiscalledtheLagrangemultiplier).Forourproblem,thisgivesusobjectivefunctionconstraintsettozeroLagrangefunctionLagrangemultiplierSolvingtheProblem:Method2A50SolvingtheProblem:Method2Justaswesetthederivativeofthenewf(x1)functiontozerotofindtheoptimuminMethod1,wenowsetthepartialderivativesoftheLagrangefunction(withrespecttoeachofthevariables)equaltozero:Noticethatthelastoftheseissimplythebudgetconstraint–sowetypicallytakethepartialderivativeswithrespecttothechoicevariables(x1,x2)andsimplyrememberthatthebudgetconstraintisthethirdequation.Theseequationstogetherareknownasthefirstorderconditions.Solvingtheseforx1andx2usuallygivestheoptimum.SolvingtheProblem:Method2J51SolvingtheProblem:Method2Addingtheltermstobothsidesofeachoftheseequations,wegetandanddividingthembyeachother,wegetAnumberoftermscanthenbecancelled……leavinguswithSubtractingexponentsinthedenominatorfromexponentsinthenumeratorthenreducesthisto…orsimply(–MRS)forCobb–Douglasp1p2SothefirsttwofirstorderconditionsreducetothesimplefamiliarconditionthatSolvingtheProblem:Method2A52SolvingtheProblem:Method2Wenowonlyhavecombinethiswiththethirdfirstordercondition–whichisjustthebudgetlineequation–sosolvefortheoptimum.Inparticular,wewritetheresultfromthefirsttwofirstorderconditionswithx1ontheleft-handside;i.e.x2=2x1.Wethensubstitutethisintothebudgetequationandsolveforx1togetx1=5.Substitutingthisbackintox2=2x1thengivesusx2=10.WethereforegetthesameoptimalbundleaswedidusingMethod1;thebundle(x1,x2)=(5,10).SolvingtheProblem:Method2W53SolvingtheProblem:Method3Method1eliminatedtheconstraintbysubstitutingitintotheobjectivefunctionbeforesettingthefirstderivativetozero.Method2–theLagrangeMethod–insteadbeganwiththeLagrangefunctionbeforesettingthefirst(partial)derivativestozero.Bothofthesemethodsusemathematicaltechniqueswithoutappealingtotheeconomicintuitionsfromourgraphicalanalysis.Method3departsfromthisbyemployingeconomicintuitionasashortcut.Thesimpleeconomicintuitionitemploysisthat,atanyinteriorsolution,.SolvingtheProblem:Method3M54SolvingtheProblem:Method3Weknowfromourgraphsthatthisconditionalwaysholdsatanyinteriorsolutionsintheconsumermodel.WecanthereforebeginwithourutilityfunctionandderiveWhenp1=20andp2=10,theintuitivetangencyconditionthenimpliesSolvingtheProblem:Method3W55SolvingtheProblem:Method3ThisispreciselytheequationwederivedintheLagrangeMethodfromthefirst2firstorderconditions.Method3thenproceedspreciselyastheLagrangeMethoddidfromthisstep–by 1.Solvingthisequationforx2=2x1, 2.Substitutingitintothebudgetconstrainttoderivex1=5,andthen 3.Substitutingthisbackintox2=2x1togetx2=10.WecanalsoseetheintuitionforthisbyrecognizingthatourexampleisexactlytheonegraphedinthefirstgraphoftheChapter:OurCobb-Douglastastesarehomothetic,andtherayalongwhichMRS=–2isx2=2x1.Theoptimumoccurswherethisrayintersectsthebudget,whichisexactlywhatwefindinStep2.SolvingtheProblem:Method3T56EquivalencebetweenMethods2and3TheequivalencebetweentheLagrangeMethodandMethod3canbeshownmoregenerallybywritingtheLagrangefunctionasandthefirst2firstorderconditionsasandAddingtheltermstobothsidesofeachequationandthendividingtheequationsbyoneanother,wegetMultiplybothsidesby–1BydefinitionMethod3thereforeuseseconomicintuitiontotakeashort-cutinMethod2.BacktoGraphsEquivalencebetweenMethods257理性的受约束选择假如x1*=0?或者x2*=0，情况会怎么变化?假如x1*=0或者x2*=0,那么在既定约束限制下效用最大化问题的一般需求的解(x1*,x2*)为边角解(角点解)。理性的受约束选择假如x1*=0?用图形找最优选择：绘制出无差异曲线和预算线，然后找出预算线与最高无差异曲线的接触点，该接触点的商品束组合就是最优选择。用图形找最优选择：绘制出无差异曲线和预算线，然后找出预算线与边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1斜率=-p1/p2

且p1>p2.边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1斜率边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1斜率=-p1/p2

且p1>p2.边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1斜率边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1斜率=-p1/p2

且p1>p2.边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1斜率边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1斜率=-p1/p2

且p1<p2.边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1斜率边角解的例子–完全替代品的情况当效用函数为U(x1,x2)=x1+x2,最优可行消费束为(x1*,x2*)

在该点且如果p1<p2如果p1>p2.边角解的例子–完全替代品的情况当效用函数为U(x1,x2)边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1斜率=-p1/p2

且p1=p2.边角解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-1斜率边角解的例子–完全替代品的情况x1x2当p1=p2，预算约束线上的所有消费束都是受到同等最优偏好的可行消费束。边角解的例子–完全替代品的情况x1x2当p1=p2，预当p1＜p2介于0和m/P1之间的任何数量当p1＝p2当p1＞p20当p1＜p2介于0和m/P1之间的任何数量当p1＝p2当68

（二）完全替代品（角点解）x2无差异曲线预算线x1x2无差异曲线预算线x1x2无差异曲线预算线x1x2无差异曲线预算线x1无差异曲线预算线小结当边际替代率的绝对值大于预算线的斜率的绝对值时，最优选择位于横轴；反之，最优选择处于纵轴。如果边际替代率的斜率等于预算线的斜率，将不存在唯一的最优选择。

无差异曲线预算线小结70边角解的例子–非凸性偏好的情况x1x2更好边角解的例子–非凸性偏好的情况x1x2更好边角解的例子–非凸性偏好的情况x1x2边角解的例子–非凸性偏好的情况x1x2边角解的例子–非凸性偏好的情况x1x2哪点是最优可行消费束？边角解的例子–非凸性偏好的情况x1x2哪点是最优可行消费边角解的例子–非凸性偏好的情况x1x2最优可行消费束边角解的例子–非凸性偏好的情况x1x2最优可行消费束x1x2最优选择ZX注意：切点不是最优偏好可行消费束x1x2最优选择ZX注意：切点不是最优偏好可行消费束75拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=0U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=0U(x拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-¥MRS=0U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-¥MR拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-¥MRS=0MRS在该点没有定义U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2MRS=-¥MR拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1哪点是最优可行消费束?拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1最优可行消费束拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1x1*x2*拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1x1*x2*(a)p1x1*+p2x2*=m拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1x1*x2*(a)p1x1*+p2x2*=m

(b)x2*=ax1*拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=拐点解的例子–完全替代品的情况(a)p1x1*+p2x2*=m;(b)x2*=ax1*.拐点解的例子–完全替代品的情况(a)p1x1*+p2拐点解的例子–完全替代品的情况(a)p1x1*+p2x2*=m;(b)x2*=ax1*.将(b)中的x2*代入(a)式中得p1x1*+p2ax1*=m拐点解的例子–完全替代品的情况(a)p1x1*+p2拐点解的例子–完全替代品的情况(a)p1x1*+p2x2*=m;(b)x2*=ax1*.将(b)中的x2*代入(a)式中得p1x1*+p2ax1*=m

从而可得拐点解的例子–完全替代品的情况(a)p1x1*+p2拐点解的例子–完全替代品的情况(a)p1x1*+p2x2*=m;(b)x2*=ax1*.将(b)中的x2*代入(a)式中得p1x1*+p2ax1*=m

从而可得拐点解的例子–完全替代品的情况(a)p1x1*+p2拐点解的例子–完全替代品的情况(a)p1x1*+p2x2*=m;(b)x2*=ax1*.将(b)中的x2*代入(a)式中得p1x1*+p2ax1*=m

从而可得一个包含一个单位商品1和一个单位商品2的消费束的成本为p1+ap2;

m/(p1+ap2)这样的消费束是消费者可承受的。拐点解的例子–完全替代品的情况(a)p1x1*+p2拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1拐点解的例子–完全替代品的情况x1x2U(x1,x2)=中性物品好商品中性商品x2*x1*x1*（，）=（m/P1,0）中性物品好商品中性商品x2*x1*x1*（，）=（m/好商品中性商品x1*（，）=（0,

m/P2）x2*x1*好商品中性商品x1*（，）=（0,m/P2）x2*x劣等品x1x2x2*x1*x1*（，）=（m/P1,0）劣等品x1x2x2*x1*x1*（，）=（m/P1,0离散商品X2X101234最优选择预算线需求零单位离散商品X2X101234最优选择预算线需求零单位离散商品X2X101234最优选择需求1单位离散商品X2X101234最优选择需求1单位x1x2Better凹形偏好x1x2Better凹形偏好x1x2x1x2x1x2哪个是最优消费束？x1x2哪个是最x1x2最优选择注意：切点解X不是最优消费点XZx1x2最优选择注意：切点解X不是最优消费点XZ中级微观经济学课件-Chapter5_Choice中级微观经济学课件-Chapter5_ChoicePitfall1:ExampleSupposeourconsumerwhofacespricesp1=20andp2=10andhas$200tospendnowhasquasilineartastesthatcanbedescribedbythefunctionPitfall1:ExampleSupposeour103Pitfall1:ExampleSupposeourconsumerwhofacespricesp1=20andp2=10andhas$200tospendnowhasquasilineartastesthatcanbedescribedbythefunctionTheMRSforthisutilityfunctionis–a/x1,and,usingourMethod3,wecanthenconcludethatwhichwecansolveforx1=a/2.Pluggingthisintothebudgetconstraintandsolvingforx2,wefurthermoregetPitfall1:ExampleSupposeour104Ifa<20,thisimpliesx1>0andx2>0,andweareataninteriorsolution.Butifa>20,x2<0whichiseconomicallynotameaningfulquantity.Thus,ifa>20,thetrue“bestbundle”liesatthecornerofthebudgetwherex2=0(andx1=10).

Ifa<20,thisimpliesx1>0105Pitfall1:ExampleWhena=10,forinstance,oursolutionmethodsthenfindtheoptimalbundletobex1=5andx2=10,aninteriorsolutionproperlypickedupbythemathematicaltechnique.Pitfall1:ExampleWhena=10,106Pitfall1:ExampleButwhena=25,thesolutionmethodprovidesthemathematicallymeaningful“interiorsolution”B:x1=12.5andx2=–5.Theeconomicsllymeaningful“bestbundle”,however,isthecornersolutionA:x1=10andx2=0.Pitfall1:ExampleButwhena=107ChoosingTaxes

（税收类型的选择）两种类型的税收：从量税（aquantitytax）和所得税（anincometax）。如果政府想增加一定数量的财政收入，是征收从量税较好还是征收所得税较好呢？ChoosingTaxes

（税收类型的选择）两种类型的税108征收从量税征税前的预算约束：如果对商品1的消费征收税率为t的从量税，那么新的预算约束为：因此对某商品征收从量税会提高该商品的价格。征收从量税征税前的预算约束：109征收从量税最优选择必须满足预算约束征税所获得的财政收入为征收从量税最优选择必须满足110所得税现在考虑使政府增加相同数量收入的所得税的情况。此时的预算约束为

或所得税现在考虑使政府增加相同数量收入的所得税的情况。111所得税可以证明，包含所得税的预算线必定经过点。因为有所得税可以证明，包含所得税的预算线必定经过点112所得税和从量税初始选择含所得税的最优选择含从量税的最优选择x2*X1*所得税和从量税初始含所得税的含从量税的最优选择x2*X1*113所得税和从量税因此，在政府向消费者征收相同数量的税收的条件下，消费者在课征所得税的境况，好于他在课征从量税时的情况。

所得税和从量税因此，在政府向消费者征收相同数量的税收的条件下114Summary（小结）:

求消费者最优选择的三个步骤：Step1:画出预算集；Step2:画出无差异曲线；Step3:找出最优选择的点，并计算求解。Summary（小结）:

求消费者最优选择的三个步骤：St115C-D效用函数图形C-D效用函数图形116中级微观经济学课件-Chapter5_Choice117中级微观经济学课件-Chapter5_Choice118第五章选择第五章选择在分析了消费者选择集及其偏好（可以由效用函数表示）之后，我们现在将两者放在一起考虑并分析消费者如何做出自己的最优选择。在数学方面，这是一个受约束的最优化问题（aconstrainedmaximizationproblem）；在经济学方面，这是一个理性选择问题（arationalchoiceproblem）。在分析了消费者选择集及其偏好（可以由效用函数表示）之后，我们理性约束选择x1x2理性约束选择x1x2理性约束选择效用x1x2可行消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束更受偏好的消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束更受偏好的消费束理性约束选择效用可行消费束x1x2更受偏好消费束理性约束选择效用可行消费束x1x2更受偏好消费束理性约束选择效用x1x2x1*x2*理性约束选择效用x1x2x1*x2*理性约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是消费者最偏好的、可负担得起的商品束。在最优选择点上，无差异曲线不穿过预算线。理性约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是消x1x2x1x2消费束(x1,x2)是无差异曲线和预算线的交点x1x2x1x2消费束(x1,x2)是无差异曲线和预算线的交128x1x2x1x2消费束(x1,x2)是无差异曲线和预算线的交点，则在红色线段上总能够找到比(x1,x2)更好的点x1x2x1x2消费束(x1,x2)是无差异曲线和预算线的交129无差异曲线不穿过预算线是否就意味着相切呢？大多数情况下是如此，但存在例外。第一种例外：折拗的偏好（拐点解）第二种例外：角点解无差异曲线不穿过预算线是否就意味着相切呢？130第一种例外：折拗的偏好x2*x2x1x1*无差异曲线在最优消费点上没有切线第一种例外：折拗的偏好x2*x2x1x1*无差异曲线在最优消131第二种例外：角点解x1x1*x2（,0），无差异曲线与预算线不相切x1*

如果不考虑折拗偏好和角点解，无差异曲线与预算线相切是最优选择的必要条件。第二种例外：角点解x1x1*x2（,0），无差异曲线与132无差异曲线与预算线相切是最优选择的充分条件吗？x2最优消费束非最优消费束三个切点中只有两个最优点。相切是最优的必要、非充分条件。无差异曲线与预算线相切是最优选择的充分条件吗？x2最优消费束133注意：最优商品束可能不是唯一的。如果无差异曲线是严格凸的，那么在每一条预算线上只有一个最优选择。注意：最优商品束可能不是唯一的。如果无差异曲线是严格凸的，1345.2消费者需求一定价格和收入水平下的商品1和商品2的最优选择，称为消费者的需求束。需求函数是将最优选择即需求数量与不同的价格和收入值联系起来的函数。

x1(p1,p2,m)，x2(p1,p2,m)不同的偏好下消费者的最优选择不同5.2消费者需求一定价格和收入水平下的商品1和商品2的135理性约束选择效用在给定价格和预算情况下的最受偏好消费束称为消费者的一般需求。我们用x1*(p1,p2,m)和x2*(p1,p2,m)来表示一般需求。理性约束选择效用在给定价格和预算情况下的最受偏好消费束称为消理性的受约束选择效用当x1*>0，x2*>0这样的需求消费束称为内点。假如购买消费束(x1*,x2*)花费$m，那么预算刚好花完。理性的受约束选择效用当x1*>0，x2*>0理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是内点(x1*,x2*)在预算线上理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是内点

(a)(x1*,x2*)在预算线上;p1x1*+p2x2*=m。理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是内点

(b)(x1*,x2*)点的无差异曲线的斜率与预算约束线的斜率相等。理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)最优选择---消费者均衡最优选择(x1*,x2*)满足全部收入都用于消费

能给其带来最高效用水平的消费束

x1x2x1*x2*最优选择---消费者均衡最优选择(x1*,x2*)满足x1x理性的受约束选择(x1*,x2*)满足两个条件:(a)该点在预算线上;

p1x1*+p2x2*=m(b)在点(x1*,x2*)的预算约束的斜率为-p1/p2,与无差异曲线在该点的斜率刚好相等。从几何上看，消费者均衡条件是边际替代率等于预算线的斜率，这表明消费者消费两种商品的边际效用之比必须等于商品的价格之比。理性的受约束选择(x1*,x2*)满足两个条件:计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例假如消费者有一个柯布-道格拉斯的效用函数。计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例假如消费者有一个柯布计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例假如消费者有一个柯布-道格拉斯的效用函数。

那么计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例假如消费者有一个柯布计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为

在(x1*,x2*)点,MRS=-p1/p2

因此计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为

计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为

在(x1*,x2*)点,MRS=-p1/p2

因此(A)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此MRS为

计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例(x1*,x2*)点刚好在预算线上(B)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例(x1*,x2*)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)代入计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)代入可得可简化为计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例因此可知(A)(B)计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例将x1*代入

便有计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例将x1*代入便有计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例我们得到了柯布-道格拉斯效用函数的消费者最优可行消费束。

为计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例我们得到了柯布-道格计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例x1x2计算一般需求-以柯布-道格拉斯函数为例x1x2理性的受约束选择当x1*>0，x2*>0

且(x1*,x2*)在预算线上，

且

无差异曲线没有结点，一般需求可通过解方程(a)p1x1*+p2x2*=y(b)在点(x1*,x2*)预算约束线的斜率为-p1/p2,与在该点的无差异曲线的斜率相等。理性的受约束选择当x1*>0，x2*>0

且柯布－道格拉斯偏好求：最优选择的需求函数！柯布－道格拉斯偏好求：最优选择的需求函数！其边际替代率为：其边际替代率为：在(x1*,x2*),MRS=-p1/p2

即：(A)(B)加上预算约束：在(x1*,x2*),MRS=-p1/p2即：(A具有柯布－道格拉斯偏好的消费者在每种商品上花费的货币总是他收入的一个固定份额，其大小由柯布－道格拉斯中的指数决定。具有柯布－道格拉斯偏好的消费者在每种商品上花费的货币总是他收Intryingto“dothebestshecangivenhercircumstances”,aconsumerchoosesabundle(x1,x2) tomaximizeutilityu(x1,x2)subjecttothebudgetconstraint.OptimizingMathematicallyForthetypical2-goodconsumerproblem,thisiswrittenformallyaswherethenotation“x1,x2”underneath“max”isreadas“choosethevariablesx1andx2tomaximize”.Thefunctionthatisbeingmaximized–i.e.u(x1,x2)–isoftenreferredtoastheobjectivefunction.Thisisanexampleofaconstrainedoptimizationproblem.BacktoGraphsIntryingto“dothebestshe161BeginningwithanExampleWe’llreturntothisgeneralformulationoftheconsumer’sproblembutbeginwithamoreconcreteexample:Aconsumerfacespricesp1=20andp2=10andhas$200tospendonthegoodsx1andx2.HertastescanberepresentedbytheCobb-Douglasutilityfunction.Wecanthenwritethisconsumer’sconstrainedoptimizationproblemasBeginningwithanExampleWe’ll162SolvingtheProblem:Method1Onewaytoapproachthisisbyconvertingtheconstrainedoptimizationproblemintoanunconstrainedoptimizationproblem.Thisisdonebysolvingtheconstraintforx2=20–2x1andsubstitutingthisintotheobjectivefunctionu(x1,x2)tocreateanewfunctionWehavethereforeeliminatedtheconstraintbymakingitpartoftheobjectivefunction–andwecanthusre-writetheproblemasSolvingtheProblem:Method1O163SolvingtheProblem:Method1Tosolveforthemaximumofasingle-variablefunction,wehavetofindwherethefunctionattainszeroslope–i.e.whereit’sderivativeiszero.Wethereforesetthederivativeoffwithrespecttox1tozeroandsolveforx1togetx1=5.Pluggingx1=5intothebudgetconstraintequationx2=20–2x1andsolvingforx2,wefurthermoregetthatx2=10.Thus,theoptimalbundleforthisconsumeris(x1,x2)=(5,10).SolvingtheProblem:Method1T164SolvingtheProblem:Method2AsecondwaytoapproachthisproblemisthroughtheLagrangeMethod.JustasinMethod1,theLagrangeMethodbeginsbysettingupanewfunctionwhosefirstderivativeswillthenbesettozerotosolvefortheoptimum.ButunlikeinMethod1,theconstraintwillnowbeanexplicitpartofthisLagrangeFunction(x1,x2,l)that (1)beginswiththeobjectivefunction(u(x1,x2))andthen (2)addstheconstraintsettozeroandmultipliedbythenewvariablel (whichiscalledtheLagrangemultiplier).Forourproblem,thisgivesusobjectivefunctionconstraintsettozeroLagrangefunctionLagrangemultiplierSolvingtheProblem:Method2A165SolvingtheProblem:Method2Justaswesetthederivativeofthenewf(x1)functiontozerotofindtheoptimuminMethod1,wenowsetthepartialderivativesoftheLagrangefunction(withrespecttoeachofthevariables)equaltozero:Noticethatthelastoftheseissimplythebudgetconstraint–sowetypicallytakethepartialderivativeswithrespecttothechoicevariables(x1,x2)andsimplyrememberthatthebudgetconstraintisthethirdequation.Theseequationstogetherareknownasthefirstorderconditions.Solvingtheseforx1andx2usuallygivestheoptimum.SolvingtheProblem:Method2J166SolvingtheProblem:Method2Addingtheltermstobothsidesofeachoftheseequations,wegetandanddividingthembyeachother,wegetAnumberoftermscanthenbecancelled……leavinguswithSubtractingexponentsinthedenominatorfromexponentsinthenumeratorthenreducesthisto…orsimply(–MRS)forCobb–Douglasp1p2SothefirsttwofirstorderconditionsreducetothesimplefamiliarconditionthatSolvingtheProblem:Method2A167SolvingtheProblem:Method2Wenowonlyhavecombinethiswiththethirdfirstordercondition–whichisjustthebudgetlineequation–sosolvefortheoptimum.Inparticular,wewritetheresultfromthefirsttwofirstorderconditionswithx1ontheleft-handside;i.e.x2=2x1.Wethensubstitutethisintothebudgetequationandsolveforx1togetx1=5.Substitutingthisbackintox2=2x1thengivesusx2=10.WethereforegetthesameoptimalbundleaswedidusingMethod1;thebundle(x1,x2)=(5,10).SolvingtheProblem:Method2W168SolvingtheProblem:Method3Method1eliminatedtheconstraintbysubstitutingitintotheobjectivefunctionbeforesettingthefirstderivativetozero.Method2–theLagrangeMethod–insteadbeganwiththeLagrangefunctionbeforesettingthefirst(partial)derivativestozero.Bothofthesemethodsusemathematicaltechniqueswithoutappealingtotheeconomicintuitionsfromourgraphicalanalysis.Method3departsfromthisbyemployingeconomicintuitionasashortcut.Thesimpleeconomicintuitionitemploysisthat,atanyinteriorsolution,.SolvingtheProblem:Method3M169SolvingtheProblem:Method3Weknowfromourgraphsthatthisconditionalwaysholdsatanyinteriorsolutionsintheconsumermodel.Wecanthereforebeginwithourutilityfunction