八年级（上）期中数学试卷

第22页（共22页）福建省福州市马尾区八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是（）A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）2．（4分）下列四个著名图案中，其中是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图 B．七巧板 C．斐波那契螺线 D．谢尔宾斯基三角形3．（4分）长方形的外角和等于（）A．180° B．270° C．360° D．720°4．（4分）如图，△ABC中，点D在BC上，△ACD和△ABD面积相等，线段AD是三角形的（）A．高 B．角平分线 C．中线 D．无法确定5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2，则AC长为（）A．4 B．2 C．1 D．6．（4分）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°，则△ABC≌△A′B′C′的根据是（）A．SAS B．AAS C．SSA D．HL7．（4分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，图中所有字母表示的点均在格点上，则到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点8．（4分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AD＝CD，AB＝CB，则下列结论错误的是（）A．△DAO≌△DCO B．△BAO≌△BCO C．OD＝OC D．OA＝OC9．（4分）如图，正五边形ABCDE放入平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，E的坐标分别是（0，a），（b，m），（﹣2，﹣1），（e，m），则点D的坐标是（）A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）10．（4分）在2018，2019，2020，2021这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是．12．（4分）如图，若△ABC≌△ADE，且∠B＝60°，∠C＝30°，则∠DAE＝．13．（4分）计算（6x4﹣8x2y）÷（﹣2x2）的结果是．14．（4分）一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是．15．（4分）两个全等的正十二边形按如图所示的方式摆放，其中两顶点重合，则∠α＝度．16．（4分）如图，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E，F分别是OA，OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于1，则∠AOB＝度．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（8分）计算：8x•x5+（x2）3﹣（3x3）2．18．（8分）求值：x2（x﹣1）﹣x（x2﹣x﹣1），其中x＝．19．（8分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AF＝DE，∠AFB＝∠DEC．求证：∠A＝∠D．20．（8分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多180°，它是几边形？21．（8分）已知x+y＝3，（x+2）（y+2）＝5．（1）求xy的值；（2）求x2+y2的值．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在边BC上求作一点P，使PA＝PB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AP，若∠B＝30°，求证：AP平分∠CAB．23．（10分）证明：等腰三角形的两腰上的中线相等．24．（12分）如图1，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC，BD相交于点E，连接OE．（1）求证：AC＝BD；（2）用含α的式子表示∠AEO的度数；（3）如图2，当α＝60°时，取AC，BD的中点分别为点P，Q，连接OP，OQ，PQ，判断△OPQ的形状，并加以证明．25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），M是线段OA上一动点，N为y轴正半轴上的点，且满足AM＝ON．（1）若∠OMN＝45°，求AM的长；（2）以MN为斜边在第一象限内作等腰直角△MNB，求点B的坐标；（3）在（2）的条件下，点B关于MN的对称点为E，当点E落在y轴上时，求AM的长．

2019-2020学年福建省福州市马尾区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是（）A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解．【解答】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，注意结合图象，进行记忆和解题．2．（4分）下列四个著名图案中，其中是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图 B．七巧板 C．斐波那契螺线 D．谢尔宾斯基三角形【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（4分）长方形的外角和等于（）A．180° B．270° C．360° D．720°【分析】根据长方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，再求出长方形的外角和即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴长方形的外角和是4×180°﹣90°﹣90°﹣90°﹣90°＝360°，故选：C．【点评】本题考查了长方形的性质，能记住长方形的四个角都是直角是解此题的关键．4．（4分）如图，△ABC中，点D在BC上，△ACD和△ABD面积相等，线段AD是三角形的（）A．高 B．角平分线 C．中线 D．无法确定【分析】过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积公式得到S△ACD＝CD•AH，S△ABD＝BD•AH，由于△ACD和△ABD面积相等，于是得到CD•AH＝BD•AH，即可得到结论．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，∵S△ACD＝CD•AH，S△ABD＝BD•AH，∵△ACD和△ABD面积相等，∴CD•AH＝BD•AH，∴CD＝BD，∴线段AD是三角形ABC的中线，故选：C．【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的定义，熟记三角形的面积公式是解题的关键．5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2，则AC长为（）A．4 B．2 C．1 D．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC＝AB＝1．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2，∴AC＝AB＝1．故选：C．【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．6．（4分）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°，则△ABC≌△A′B′C′的根据是（）A．SAS B．AAS C．SSA D．HL【分析】根据全等三角形的判定方法HL可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）．故选：D．【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的五种判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．7．（4分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，图中所有字母表示的点均在格点上，则到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点【分析】根据角平分线的性质得出即可．【解答】解：点Q到∠AOB两边距离相等，理由是：角平分线上的点到角两边的距离相等，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线性质是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．8．（4分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AD＝CD，AB＝CB，则下列结论错误的是（）A．△DAO≌△DCO B．△BAO≌△BCO C．OD＝OC D．OA＝OC【分析】根据全等三角形的性质和判定解答即可．【解答】解：在△ADB和△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS），∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，在△DAO和△DCO中，，∴△DAO≌△CDO（SAS），∴OA＝OC．同理可得△BAO≌△BCO（SAS）．∵DC≠CB，OD≠OB，∴OC≠OD．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．9．（4分）如图，正五边形ABCDE放入平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，E的坐标分别是（0，a），（b，m），（﹣2，﹣1），（e，m），则点D的坐标是（）A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）【分析】根据题意得出y轴位置，进而利用正多边形的性质得出D点坐标．【解答】解：如图所示：∵A（0，a），∴点A在y轴上，∵B，E的坐标分别是（b，m），（e，m），∴B，E点关于y轴对称，∴C，D点关于y轴对称，∵C的坐标是：（﹣2，﹣1），∴点D的坐标是：（2，﹣1）．故选：A．【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，正确得出y轴的位置是解题关键．10．（4分）在2018，2019，2020，2021这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【分析】由a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）可知，两个整数平方差可分解为两个整数的积，且两个因数同为奇数或者偶数，由此进行逐一判断．【解答】解：∵平方差公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），A．2018＝1×2018＝2×1009，（a+b）（a﹣b）的奇偶性相同2018分成两个因数相乘时为一奇一偶所以2018不能表示为两个整数的平方差故选项A符合条件；B．∴10102﹣10092＝（1010+1009）（1010﹣1009），∵（1010+1009）（1010﹣1009）＝2019，∴2019＝10102﹣10092．故选项B不符合条件；C．2020＝5062﹣5042＝（506+504）×（506﹣504），故选项C不符合条件；D．2021＝10112﹣10102＝（1011+1010）×（1011﹣1010），故选项D不符合条件．故选：A．【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，使学生体会到平方差公式中的两个因数同为奇数或者偶数．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是三角形的稳定性．【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．故应填：三角形的稳定性．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．12．（4分）如图，若△ABC≌△ADE，且∠B＝60°，∠C＝30°，则∠DAE＝90°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据全等三角形的性质求出∠DAE＝∠BAC，求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．13．（4分）计算（6x4﹣8x2y）÷（﹣2x2）的结果是﹣3x2+4y．【分析】根据整式的除法法则即可求出答案．【解答】解：原式＝6x4÷（﹣2x2）﹣8x2y÷（﹣2x2）＝﹣3x2+4y．故答案为：﹣3x2+4y．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．14．（4分）一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是10．【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10，综上所述，它的周长是10．故答案为：10．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．15．（4分）两个全等的正十二边形按如图所示的方式摆放，其中两顶点重合，则∠α＝60度．【分析】由图可知：重合的部分是一个六边形，首先求正十二边形每一个内角的度数和六边形的内角和，进一步求得2∠α，再进一步得出答案即可．【解答】解：正十二边形内角为＝150°，六边形的内角和180°×（6﹣2）＝720°，则∠α＝×（720°﹣150°×4）＝60°．故答案为：60．【点评】此题考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的求法是解决问题的关键．16．（4分）如图，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E，F分别是OA，OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于1，则∠AOB＝30度．【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝1可求出∠AOB的度数．【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB，OC＝OD＝OP＝1，∴∠COD＝2∠OAB，又∵△PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝1，∴OC＝OD＝CD＝1，∴△COD是等边三角形，∴2∠AOB＝60°，∴∠AOB＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查轴对称最短问题，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（8分）计算：8x•x5+（x2）3﹣（3x3）2．【分析】先依据单项式乘单项式和幂的乘方与积的乘方法则进行计算，再根据合并同类项法则进行计算即可．【解答】解：原式＝8x6+x6﹣9x6＝9x6﹣9x6＝0．【点评】本题主要考查了单项式乘单项式和幂的乘方与积的乘方法则，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．18．（8分）求值：x2（x﹣1）﹣x（x2﹣x﹣1），其中x＝．【分析】先根据单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，再求出答案即可．【解答】解：原式＝x3﹣x2﹣x3+x2+x＝x，当时，原式＝．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．19．（8分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AF＝DE，∠AFB＝∠DEC．求证：∠A＝∠D．【分析】由“SAS”可证△ABF≌△DCE，可得结论．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．20．（8分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多180°，它是几边形？【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可求解．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°﹣2×360°＝180°，解得n＝7．答：它是七边形．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理列出方程是解题的关键．21．（8分）已知x+y＝3，（x+2）（y+2）＝5．（1）求xy的值；（2）求x2+y2的值．【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则可得xy+2x+2y+4＝5，即xy+2x+2y+4＝5，再把x+y＝3代入求解即可；（2）根据完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）∵（x+2）（y+2）＝5，∴xy+2x+2y+4＝5，即xy+2（x+y）＝1，∵x+y＝3∴xy＝1﹣2×3＝﹣5；（2）∵x+y＝3，xy＝﹣5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×（﹣5）＝19．【点评】本题主要考查了整式的乘法以及完全平方公式，熟记多项式乘以多项式的法则以及完全平方公式是解答本题的关键．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在边BC上求作一点P，使PA＝PB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AP，若∠B＝30°，求证：AP平分∠CAB．【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交BC于点P即可；（2）根据线段垂直平分线的性质可得PA＝PB，再根据含30度角的直角三角形即可得结论．【解答】（1）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，交BC于点P，点P即为所求；（2）证明：∵PD是线段AB的垂直平分线，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠B＝30o，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAP＝∠BAC﹣∠PAB＝60°﹣30o＝30o，∴∠CAP＝∠PAB，∴AP平分∠CAB．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、线段垂直平分线、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和性质．23．（10分）证明：等腰三角形的两腰上的中线相等．【分析】先根据题意作图，结合图形写出已知，求证，然后再根据已知和图形进行证明．可根据等腰三角形的性质得出相关的等角或相等的线段：DC＝BE，∠DCB＝∠EBC，BC＝CB，可证明△BDC≌△CEB，所以BD＝CE，即等腰三角形的两腰上的中线相等．【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，求证：BD＝CE．证明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB（SAS）．∴BD＝CE．即等腰三角形的两腰上的中线相等．【点评】主要考查了等腰三角形的性质和文字证明题的相关步骤．要注意文字证明题的一般步骤是：①根据题意作图，②根据图形写出已知、求证，③证明．24．（12分）如图1，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC，BD相交于点E，连接OE．（1）求证：AC＝BD；（2）用含α的式子表示∠AEO的度数；（3）如图2，当α＝60°时，取AC，BD的中点分别为点P，Q，连接OP，OQ，PQ，判断△OPQ的形状，并加以证明．【分析】（1）由“SAS”可证△AOC≌△BOD，可得AC＝BD；（2）过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，由全等三角形的性质可得∠OAC＝∠OBD，OM＝ON，由三角形内角和定理可得∠AEB＝∠AOB＝α，由角平分线的判定可求解；（3）由“SAS”可证△AOP≌△BOQ，可得OP＝OQ，∠AOP＝∠BOQ，由等边三角形的判定可得结论．【解答】证明：（1）∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；（2）如图1，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设AC，BO交于点F，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，OM＝ON，∵∠AFO＝∠BFE，∴∠AEB＝∠AOB＝α，∵OM⊥AC，ON⊥BD，OM＝ON，∴；（3）△OPQ为等边三角形，理由如下：∵P，Q分别为AC，BD的中点，AC＝BD，∴AP＝BQ，∵OA＝OB，∠OAC＝∠OBD，∴△AOP≌△BOQ（SAS），∴OP＝OQ，∠AOP＝∠BOQ，∵∠AOB＝α＝60°，∴∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠BOQ+∠BOP＝60°，即∠POQ＝6