几何画板迭代详解之：迭代与分形几何

几何画板迭代详解之：迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。.用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。.(A,B,C)n(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射至UD，B映射至UD，C映射至UF,然后添加映射A映射到G，B映射到H,C映射到I,如此类推。【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。著名的510卬皿5协三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割―-随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。【步骤】.在平面上任意画一个三角形人8^取三边中点为D、E、F,连接DEF。.新建参数n=3.顺次选择B,C,A三点和参数n,作深度迭代，(B,C,A)n(D,F,A)。

4.添加新的映射，(B,C,A)n(B,E,D)4.添加新的映射，(B,C,A)n(B,E,D)。第3步第4步.继续添加映射。(B,C,A)n(E,C,F).改变参数n可观察图形变化。第5步 第6步第5步 第6步【Sierpinski地毯】和Sierpinski地毯相似，只是步骤多了一些。取正方形将其9等分，得到9个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围8个小正方形。然后对每个小正方形再9等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。【步骤】.平面上任取线段AB，以线段人8构造正方形ABCD。.以A为缩放中心，B、D缩放为1/3，得到E、F；以D为缩放中心，A、C缩放为1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。连接各点，将正方形九等分；

.并填充中间的正方形MNOP,度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】单击确定。则该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。手==-挚：=:_梦_国_卷鹭齿...!:=榔瑞:;!■■・;;■■;;I'手==-挚：=:_梦_国_卷鹭齿...!:=榔瑞:;!■■・;;■■;;I'一・S5一M.U・aJffi--r=s』=LHa:;9:in-liw:i_g!i_n-li年虫一一25:»:叠_寸_图_逐要无=:□.=:!图①d:iM_J:l!=岳!r!5q!s一■■:;■.■.:!is'・i・::■■E---E:;--'■I;i;.■■■li;;;;■!;;;;--;;■■■二・■■■-=;■!■IZ:■■■':!:!"!■,BI;;=;;;:;--1标-=些_『富J一耳#=『-#-=±耳亶二r三.新建参数n=4,顺次选择A、B两点和参数n,作深度迭代，(A,B)(G,P)；(P,O)；(0,J)；(F,M)；(M,N)；(N,K)；(A,E)；(E,L)；(L,B)。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯(即三角形和四边形的顶点都是自由点)，然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上，(如下图)可以制作空间的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？□□□□□□□□ □□□□□□［口期□□□□□□□□□□□□□□□口口□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□；□□□□□□口口口口QOQQQQ■小・斗沙卜・□□□a□□□iDQ-S□-Q□□□□□□□□ □□□□□□［口期□□□□□□□□□□□□□□□口口□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□；□□□□□□口口口口QOQQQQ■小・斗沙卜・□□□a□□□iDQ-S□-Q【摇曳的PythagoreanTree（毕达哥拉斯树）】毕达哥拉斯学派发现勾股定理（西方叫做毕达哥拉斯定理）闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。【步骤】.在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O,取半圆弧OCD，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。隐藏不必要的对象。.填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。.新建参数n=4,选择A、B和n,作深度迭代，（A,B）（D,E）,（E,C）。第2步 第3步.选择E点，单击【编辑】【操作类按钮】【动画】E点变动，很漂亮的效果。当E点在OCD的中点时，整个树显出对称美。AB

【分形树】【分析】和毕达哥拉斯树类似，树枝按一定的规律生长。【过程】.在垂直方向上画线段AB,在人8左上区域任取一点C。.度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量/CBA的大小。.双击C点作为旋转中心，旋转角度为ZCBA，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。.双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。mZCBA=1150.23°mCB=0.86mZCBA=1150.23°mCB=0.86厘米mBA=11.24座米rnCB———=0.69mBACBBAmZCBA=153.6SD=。厘米mBA=1.44用来.新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C)n(B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。Am/CBA=153.6S"mCB=1.10Am/CBA=153.6S"mCB=1.10匣米mBA=1.44厘米mCB—==OJfimBAn=3.00.移动C点的位置，改变树枝的形状。【KOCH曲线】瑞典数学家柯赫于1904年构造了如今称之为“柯赫曲线”(Kochcurve)的几何对象，这一年他一共发表了两篇论文描述这种曲线，他画出了此曲线的图形，给出了生成步骤。它的构造过程如下：取一条长度为L的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两侧的两段，将中间的一段改成夹角为60o的两个等长的直线，每段长度均为L/3,这是n=1的第一次操作。类似地，第二次操作是将上次所得的四段边长为L/3的线段都进行三等分，现在每段长度为L/9,并将它们中间的一段改成夹角为60o的两个长度为L/9的直线。如果将上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。【步骤】.画线段AB，以A为缩放中心，B缩短为1/3，得到C点；同理以B为缩放中心，A缩短为1/3,得到D点。以C点为旋转中心，D点顺时针旋转60度，得到E点。.隐藏线段AB，连接线段AC、CE、ED、DB。.新建参数n=3,顺次选择A、B两点和n,作深度迭代。(A,B)(A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。(如下图所示)Il=3.004.单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代。隐藏线段AC、CE、Il=3.004.单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代。隐藏线段AC、CE、ED、DB(如下图所示)。【KOCH雪花】因为它酷似雪花，所以叫“雪花曲线”(snowflakecurve)，也很像海岸线。柯赫曲线的生成过程很简单，以一个三角形作为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的1/3,然后按科赫曲线的规则产生生成元。从源多边形开始，第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的12条边然后按科赫曲线的生成规则进行同样的操作得48条边星形，如图4-5,以后依此进行同样得操作，直至无穷，生成称为科赫雪花的图形。在极限的情况下，科赫雪花的上的折线演变成为曲线。由于科赫曲线生成中的每一步操作都会使折线的长度增加，所以在极限的情况下，科赫雪花边的总长度将趋于无穷。柯赫曲线是很复杂的，首先它有许多折点，到处都是“尖端”，用数学的语言讲，曲线虽然连续，但处处不可微，即没有切线。【步骤】.在平面上取AB做一个KOCH曲线，然后在A的左端任取一点G，在B的右边任取一点F,分别在AG和BF上做KOCH雪花，注意三个迭代深度都必须为n。.以B点为旋转中心，人顺时针旋转60度得到H点。选择G，H两点，单击【编辑】【合并点】，则G点与H点合并。同理，再合并H、F两点。KOCH雪花完成了。【数学之美】【步骤】.任取两点A、B，并作正方形ABCD。.在AB上任取一点E,连接BE，度量线段BE的长度并计算BE/AB。.双击A点作为缩放中心，选择D点，单击【变换】【缩放】以计算结果‘AE/AB’为比例缩放，得到点F；同理以D点为中心，缩放C点得到点G；以C点为缩放中心，缩放B点得到点H。连接正方形EFGH。

mEBmAB=0.35mEB=1.63属米mEBmAB=0.35mEB=1.63属米mAB=4-.63J^^C.新建参数n=5,顺次选择A、B两点，和参数必按下shift键不放，作深度迭代，(A,B)(F,E)。如下图所示:rnABn=a.oomEBrnABn=a.oomEB=1.63厘米m庙=4.63厘米.选择E点，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】。E点变动，产生梦幻般的效果。般的效果。【H迭代】【步骤】.在水平直线上取两点A和B，连接AB。以A点为旋转中心，B点顺时针旋转90度，得到C点，再取AC中点D。.以D为旋转中心，C点顺时针旋转90度得到E点，取DE中点F。以D为旋转中心，F点再旋转180度得到G点。连接FG。.同理再画出H、I两点。以AB为标记镜面，得到F、G、H、I关于AB的对称点J、K、L、M,连接线段JK,LM。(如下图所示).隐藏不必要的点，新建参数n=4。顺次选择A、B两点、参数n,作深度迭代，(A,B)n(F,G),(H,I),(J,K),(L,M)n=4.00(A,B)n(F,G),(H,I),(J,K),(L,M)n=4.00.单击迭代，隐藏各点的标签。【蜂巢】蜜蜂地巢你观察过没有？是什么形状呢？聪明的蜜蜂选择了正六边形，因为这