数字滤波器设计课件

第六讲数字滤波器设计浙江大学光电信息工程学系胡慧珠huhuizhu2000@第六讲浙江大学光电信息工程学系1

预备知识IIR滤波器设计双线性变换低通IIR滤波器设计高通、带通、带阻IIR数字滤波器设计IIR滤波器的谱变换FIR滤波器设计基于加窗傅立叶级数的FIR滤波器设计数字滤波器的计算机辅助设计用Matlab进行数字滤波器设计主要内容预备知识主要内容2确定传输函数G(z)的过程称为数字滤波器设计.在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的传输函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标，而滤波器的相位响应可以通过级联全通滤波器来校正。一种广泛应用的IIR滤波器设计方法是将一个模拟的原型传输函数转换为一个数字的传输函数。FIR滤波器的设计则是基于对指定幅度响应的直接逼近。在设计数字传输函数G(z)之前，有两个关键的问题需要考虑：分析使用数字滤波器的整个系统的需求，确定合理的滤波器频率响应指标。确定所设计的滤波器是FIR还是IIR数字滤波器。7.1预备知识确定传输函数G(z)的过程称为数字滤波器设计.7.1预311+p1-psps低通数字滤波器的典型幅度指标7.1.1数字滤波器指标11+p1-psps4数字滤波器指标通带0p阻带sp:通带截止频率s:阻带截止频率p:通带峰值波纹s:阻带峰值波纹p:峰值通带波纹s:最小阻带衰减数字滤波器指标通带0p阻带s511/Aps归一化的数字低通滤波器幅度响应指标11/Aps归一化的数字低通6最大通带衰减:设FT为采样频率（Hz），Fp和Fs分别为通带和阻带截止频率（Hz），则归一化截止角频率为：最大通带衰减:设FT为采样频率（Hz），Fp和Fs分7两个参数：过渡比或选择性参数分辨参数幅度平方函数与模拟传输函数之间的关系：两个参数：过渡比或选择性参数分辨参数幅度平方函数与模拟传输函8FIR滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。在多数情况下，FIR滤波器的阶数NFIR显著大于具有等效幅度响应的IIR滤波器阶数NIIR。NFIR/NIIR通常为10的量级或更高.IIR滤波器通常计算更简便。在很多应用中，并不要求滤波器具有严格的线性相位，在这些情况下，通常会因计算简便而选择IIR滤波器。7.1.2滤波器类型的选择FIR滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。7.1.9IIR滤波器设计:在设计IIR滤波器时，通常将数字滤波器的设计指标转化成模拟低通原型滤波器的设计指标，从而确定满足这些指标的模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)，然后再将它变换成所需要的数字滤波器传输函数G(z)将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字IIR传输函数G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，从而使数字滤波器能保持模拟滤波器的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下要求：s平面的虚轴（jΩ）必须映射到z平面的单位圆上。

稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。

7.1.3数字滤波器设计的基本方法IIR滤波器设计:7.1.3数字滤波器设计的基本方法10FIR滤波器设计:

FIR滤波器的设计是基于对指定幅度响应的直接逼近，通常还需加上线性相位的条件限制一个N+1阶的FIR滤波器可以通过利用脉冲响应序列或频率响应的N+1个采样点来实现两种直接的FIR滤波器设计方法是加窗傅立叶级数法和频率采样法一些研究者提出了一些先进的方法估计给定性能指标的数字滤波器的阶数FIR滤波器设计:11对通带宽度适中的FIR滤波器对通带宽度较窄的FIR滤波器对通带宽度较宽的FIR滤波器这样设计出来的FIR滤波器的频率响应特性可能满足也可能不满足给定的指标，如果不满足指标，建议逐渐增加滤波器阶数直到满足指标为止。7.1.4滤波器阶数估计对通带宽度适中的FIR滤波器对通带宽度较窄的FIR滤波器对通12IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：1）利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器先设计一个合适的模拟滤波器；然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟的网络综合理论已经发展得很成熟，模拟滤波器具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，另外，还有一些典型的滤波器类型可供使用，设计起来既方便又准确。2）计算机辅助设计——最优化设计法7.2IIR滤波器设计IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点13由模拟滤波器设计数字滤波器步骤：1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器指标；2、模拟低通滤波器设计；（设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，可以选择多种类型的滤波器）3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器G(z)；（利用一定的映射方法，把模拟滤波器系统函数数字化，如双线性变换法和脉冲响应不变法）由模拟滤波器设计数字滤波器步骤：14

IIR滤波器设计的脉冲响应不变法脉冲响应不变法是设计IIR滤波器最简单的一种近似方法。基本思路：将连续时间滤波器的单位脉冲响应均匀采样，作为离散时间滤波器的单位脉冲响应。即：h[n]=Tdhc(nTd)(7.4)注意，此处的Td是转换离散时间滤波器的采样周期，不必等于信号的采样周期T，尽管经常会取相同的值。证明：离散时间滤波器频响与连续时间滤波器频响之间的关系为：

由于Hc(jΩ)=0,|Ω|≥π/Td

，则有：IIR滤波器设计的脉冲响应不变法脉冲响应不变法是设计IIR15脉冲响应不变法的系统函数转变不失一般性地，假定连续时间滤波器的系统函数为：所对应的时域脉冲响应是：对Tdhc(t)采样得到的离散时间滤波器的脉冲响应是：离散时间滤波器的系统函数为：脉冲响应不变法的系统函数转变不失一般性地，假定连续时间滤波器16脉冲响应不变法的几个要点由脉冲响应不变法的全过程，可以看出除了比例系数Td，其与z变换过程相同，所以这种方法有叫做常规z变换法对比Hc(s)和H(z)可以知道，连续时间滤波器的极点按照的关系映射成z平面的极点，但零点一般需要重新计算脉冲响应不变法，需要满足采样定理来避免混叠。解决的办法是提高技术指标。因此脉冲响应不变法经常适用于带限的窄带滤波器，如低通或带通滤波器，而不常用于通带向高频带延伸太宽的高通和带阻滤波器。脉冲响应不变法的几个要点由脉冲响应不变法的全过程，可以看出17脉冲响应不变法举例利用脉冲响应不变法，设计一个Butteworth离散时间低通滤波器。技术指标：3dB带宽的截止频率ωc=0.2π30dB阻带边界频率ωs=0.5π采样周期Td=10πμs第一步：将给定指标按照Ω=ω/Td转换为相应的连续时间低通指标；得到：第二步：根据连续时间低通指标设计归一化连续时间低通滤波器；得到：脉冲响应不变法举例利用脉冲响应不变法，设计一个Buttewo18例(续)取N=4。四阶归一化Butterworth低通滤波器传递函数为：第三步：利用频率转换求得满足给定指标的实际连续时间低通滤波器；即：第四步：利用脉冲响应不变法求得满足给定技术指标的离散时间滤波器传输函数。得：例(续)取N=4。第三步：利用频率转换求得满足给定指标的实际19将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字IIR传输函数G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，从而使数字滤波器能保持模拟滤波器的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下要求：s平面的虚轴（jΩ）必须映射到z平面的单位圆上。

稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。有很多种变换方法可以将一个模拟传输函数Ha(s)变换成一个数字传输函数G(z)，从而使z域的数字传输函数保留s域的模拟传输函数的基本性质。在这些变换中，更多地使用双线性变换法来设计基于模拟原型滤波器变换的IIR数字滤波器。

7.2.1IIR滤波器设计的双线性变换法

将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字IIR传输函数20双线性变换法(Bilineartransformation

)：是从频域出发，使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换法。双线性变换定义：以上变换是一个一一映射，它将s平面上的一点映射为z平面上的一点，或将z平面上的一点映射为s平面上的一点。数字传输函数G(z)和原型模拟传输函数Ha(s)之间的关系为:双线性变换法(Bilineartransformation21双线性变换是通过应用梯形数值积分方法来从Ha(s)的微分方程得到G(z)的差分方程的一种变换。参数T表示数值积分的步长

双线性变换的推导（梯形积分）双线性变换是通过应用梯形数值积分方法来从Ha(s)的微分方程22双线性变换主要用在:用反双线性变换来将数字滤波器的性能指标转换为模拟原型滤波器的性能指标用双线性变换来从模拟传输函数得到所希望的数字滤波器的传输函数G(z)参数T对G(z)的表达式没有影响,可以选择T=2来简化设计的过程双线性变换主要用在:230jIm(z)Re(z)-110s域到z域的映射关系：0jIm(z)Re(z)-110s域到z域的映射关系：24令：双线性变换扭曲了数字频率和模拟频率的关系。临界频率预畸变ωΩΩ模拟原型滤波器Ha(s)Ha(s)

G(z)数字滤波器设计思路：令：双线性变换扭曲了数字频率和模拟频率的关系。临界频率预25稳定性不变，但形状发生变化映射高度非线性，由此引起的频率轴失真称为频率畸变稳定性不变，但形状发生变化26例:模拟滤波器传输函数为-3dB频率为2000弧度/秒(318.31Hz)，求对应的数字滤波器传输函数，采样率为1500Hz例:模拟滤波器传输函数为-3dB频率为2000弧度/秒(327数字滤波器设计课件28频率响应之间的差异见上图，数字滤波器的滚降比模拟滤波器要陡，且带宽也不同，这种误差是由于双线性变换的畸变造成的。畸变误差可以通过对-3dB频率的预畸变来克服。频率响应之间的差异见上图，数字滤波器的滚降比模拟滤波器要陡，29二阶模拟带阻滤波器（陷波器）的传输函数为7.2.2IIR低阶滤波器的设计二阶模拟带阻滤波器（陷波器）的传输函数为7.2.2IIR低30令陷波频率0和-3dB陷波带宽Bw与常数和

相关//则令陷波频率0和-3dB陷波带宽Bw与常数和31设计一个低通IIR数字滤波器G(z)，性能指标如下:7.3低通IIR滤波器设计设计一个低通IIR数字滤波器G(z)，性能指标如下:7.332将数字截止频率预畸变为模拟截止频率将数字截止频率预畸变为模拟截止频率33k：过渡比k1：分辨率巴特沃兹逼近的阶数估计：频率解归一化：k：过渡比巴特沃兹逼近的阶数估计：频率解归一化：34三阶归一化低通Butterworth传输函数:三阶归一化低通Butterworth传输函数:35第一种方法分为以下几个步骤：

7.4高通、带通和带阻IIR数字滤波器设计Step1：用式预畸变所求数字滤波器GD(z)的数字频率指标，从而得到一个等价的模拟滤波器HD(s)的频率指标。Step2：选取一种合适的频率变换，将HD(s)的频率指标转换成原型低通滤波器HLP(s)的频率指标。（附录B）Step3:设计模拟低通滤波器HLP(s).（附录A）Step4:

用步骤2中频率变换的逆变换将传输函数HLP(s)转换为HD(s)。（附录B）Step5:对传输函数HD(s)进行双线性变换，从而得到所求的数字IIR传输函数GD(z)第一种方法分为以下几个步骤：7.4高通、带通和带阻IIR36第二种方法分为以下几个步骤：

步骤1：用式预畸变所求数字滤波器GD(z)的数字频率指标，从而得到一个等价的模拟滤波器HD(s)的频率指标。

步骤2：选取一种合适的频率变换，将HD(s)的频率指标转换成原型低通滤波器HLP(s)的频率指标。步骤3：设计模拟低通滤波器HLP(s)。步骤4：对传输函数HLP(s)进行双线性变换，将其转换为IIR数字滤波器的传输函数GLP(z)。步骤5：选取一种合适的谱变换将GLP(z)转换成所求的数字传输函数GD(z)。第二种方法分为以下几个步骤：步骤1：用式37GD(z)的数字频率指标与HD(s)相同类型的模拟滤波器频率指标原型低通滤波器HLP(s)的频率指标DesigningofHLP(s)HD(s)GD(z)GLP(z)GD(z)GD(z)的数字频率指标与HD(s)相同类型的模拟滤波器频率38谱变换可以用来将给定的低通数字IIR传输函数GL(z)转换成另一个低通、高通、带通或带阻滤波器的数字传输函数GD(z).

7.5IIR滤波器的谱变换谱变换可以用来将给定的低通数字IIR传输函数GL(z)转换39为了把一个有理的GL(z)变换成一个有理的，必须为的一个有理函数

另外，为了保证的稳定性，应该将z平面单位圆的内部映射到平面的单位圆的内部.为了保证将低通幅度响应映射成四种基本类型的幅度响应之一，z平面单位圆上的点必须映射成平面单位圆上的点.为稳定的全通函数实数或是以复共轭对的形式出现，并且以保持传输函数的稳定为了把一个有理的GL(z)变换成一个有理的40要把一个截止频率为ωc的原型低通滤波器GL(z)变换成另一个截止频率为的低通滤波器，我们会用到变换

为实数=-0.6=0=+低通滤波器到低通滤波器的变换要把一个截止频率为ωc的原型低通滤波器GL(z)变换成另一41利用低通滤波器到低通滤波器的变换同样可以：把截止频率为ωc的高通滤波器变换成截止频率为的另一个高通滤波器把中心频率为ω0的带通滤波器变换成另一个中心频率为的带通滤波器把中心频率为ω0的带阻滤波器变换成另一个中心频率为的带阻滤波器

利用低通滤波器到低通滤波器的变换同样可以：42谱变换表滤波器类型

变换设计参数低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器7.5.2其他谱变换谱变换表滤波器类型43当低通原型滤波器的带宽与变换后带通滤波器带宽相同，即将这个限制条件加到表9.1中的频谱变换，可以得到修正的频谱变换为当低通原型滤波器的带宽与变换后带通滤波器带宽相同，即44一种直观的设计方法是基于对指定频率响应的傅立叶级数进行截短来设计——加窗傅立叶级数法N点离散傅立叶变换由其频率响应的N个等间隔的不同频率样本组成，因此该数字滤波器的冲激响应序列可以利用它的频率样本上的离散傅立叶逆变换来计算——频率抽样法基于计算机的辅助设计方法7.6FIR滤波器设计一种直观的设计方法是基于对指定频率响应的傅立叶级数进行截短45Kaiser方程Bellanger方程Hermann方程δp、δs

较小时，三个方程都比较准确δp、δs较大时，Hermann方程更准确FIR阶数的估计Kaiser方程FIR阶数的估计46表示要求的频率响应函数恰好是相应的冲激响应样本给定一个频率响应指标Hd(ej),可以利用上式计算hd(n),从而确定传输函数Hd(z)。然而在大多数实际应用中，要求的频率响应是分段的常数，并且各个频带之间有陡峭的过渡带，在这种情况下，相应的冲激响应序列是无限长并且非因果的。我们的目标是找一个长度为2M+1的有限冲激响应序列{ht[n]}，它的离散时间傅立叶变换Ht(ej)在某种程度上逼近所求的Hd(ej)

。7.7.1FIR滤波器的最小积分平方误差设计7.7加窗傅立叶级数法设计FIR滤波器表示要求的频率响应函数恰好是相应的冲激响应47

一种常用的逼近准则是最小积分平方误差Parseval’s关系当-MnM时，ht[n]=hd[n]，则积分平方误差最小，或者换句话来说，在均方误差准则下，理想无限长冲激响应的最佳和最简单的有限长逼近是通过截短来得到的冲激响应为h[n]的因果FIR可以通过将ht[n]延时M个样本后得到:一种常用的逼近准则是最小积分平方误差Parseval’s487.7.2理想滤波器的冲激响应7.7.2理想滤波器的冲激响应49

理想L带数字滤波器HML(z)的零相位频率响应:1234A1A2A3A4A5理想L带数字滤波器HML(z)的零相位频率响应:1250理想Hilbert变换器，也称为90度相移器理想的离散时间差分器，用于在离散时间域上对连续时间信号的抽样值进行差分运算理想Hilbert变换器，也称为90度相移器理想的离散时间差51对于给定的理想滤波器的冲激响应系数进行简单截短，得到的因果FIR滤波器的幅度响应呈现振动的现象，通常称为Gibbs现象随着滤波器长度的增加，通带和阻带的波纹数增加，而波纹的宽度相应减小，但是在截止频率两边出现的最大波纹的高度仍然保持不变，它与滤波器的长度无关，并且近似等于理想滤波器通带和阻带幅度差的11%在其他类型的理想滤波器冲激响应的截短频率响应中，同样可以观察到类似的现象产生Gibbs现象的原因可以解释为：截短运算可以认为是将无限长冲激响应系数与一个有限长的窗序列w[n]相乘的结果7.7.3Gibbs现象对于给定的理想滤波器的冲激响应系数进行简单截短，得到的因果52Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/滤波器长度21滤波器长度61Normalizedfrequency/Normaliz53Normalizedfrequency/w[n],N=21矩形窗Normalizedfrequency/w[n],N=54数字滤波器设计课件55-0.40.4*Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/N=21-0.40.4*Normalizedfrequency56-0.40.4*N=61Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/-0.40.4*N=61Normalizedfrequ57Normalizedfrequency/矩形窗的频率响应：Normalizedfrequency/矩形窗的频率响应58

主瓣宽度定义为中心频率点=0两侧的两个最近的零值点之间的距离：4/(2M+1)，它决定了主瓣的性质。频率响应中的其他波纹成为旁瓣随着M的增大，主瓣和旁瓣的宽度都随之减小。但是主瓣和旁瓣下的面积都保持不变。这表明随着M的增加，波纹的振幅没有减小当M增加到某一程度，主瓣非常窄，Ht(ej)将会很接近Hd(ej)，但这会增加运算的复杂度矩形窗在-MnM以外的范围有陡峭的下降沿，它是加窗理想滤波器冲激响应序列出现Gibbs现象的原因Gibbs现象可以通过采用两边都逐渐平滑减少到零的窗函数，或从通带到阻带有平滑的过渡带的方法来减少。使用渐变的窗函数可以使旁瓣的高度减小，但使主瓣的宽度相应地增加，结果在不连续点间出现了更宽的过渡带矩形窗的频率响应的最小零值点：主瓣宽度定义为中心频率点=0两侧的两个最近的零值点之间59Hann:7.7.4固定窗函数Hann:7.7.4固定窗函数60Hamming:Hamming:61Blackman:Blackman:62Rectangular:Rectangular:63一个窗函数的性能主要取决于它的两个参数，即主瓣宽度和相对旁瓣级。相对旁瓣级是最大旁瓣与主瓣以dB为单位的幅度差值。最大通带偏移和最小阻带值之间的距离近似等于窗的主瓣宽度，过渡带宽小于主瓣宽度。为了保证从通带快速过渡到阻带，窗函数应该有一个非常小的主瓣宽度，另一方面，为了减小通带和阻带波纹，旁瓣下的面积也要求非常小。遗憾的是，这两个要求是相互矛盾的。矩形窗、Hann窗、Hamming窗的波纹与滤波器长度和截止频率无关，为一常数。过渡带宽近似为：c为一常数一个窗函数的性能主要取决于它的两个参数，即主瓣宽度和相对旁64数字滤波器设计课件65RectangularWindowHammingWindowht(n)Ht(ejw)RectangularWindowHammingWind66HanningWindowBlackmanWindowht(n)Ht(ejw)HanningWindowBlackmanWindowh67TypeofwindowsMainlobewidthRelativesidelobelevelMinimumstopbandattenuationTransitionbandwidthRectangular4/(2M+1)13.3dB20.9dB0.92/MHann8/(2M+1)31.5dB43.9dB3.11/MHamming8/(2M+1)42.7dB54.5dB3.32/MBlackman12/(2M+1)58.1dB75.3dB5.56/M固定窗函数的特性TypeofwindowsMainlobewidth68固定窗函数设计的滤波器的波纹是固定的一些可变窗函数提供了额外的参数以控制波纹多尔夫-切比雪夫窗凯泽窗——使用最广泛Tk(x)为k阶切比雪夫多项式I(x)为修正0阶贝塞尔函数7.7.5可调窗函数固定窗函数设计的滤波器的波纹是固定的多尔夫-切比雪夫窗凯泽窗69另一种消除Gibbs现象的方法是修正数字滤波器的频率响应的指标，从而使该滤波器在通带和阻带之间出现一个过渡带，使各频带之间平滑过渡0-ps-p-s7.7.6具有平滑过渡带的FIR滤波器的冲激响应另一种消除Gibbs现象的方法是修正数字滤波器的频率响应的指70数字滤波器设计课件71h[n]的N点DFT可由其DTFT进行等间隔的N点抽样得到数字滤波器的冲激响应序列h[n]可以利用它的频率样本上的IDFT来计算——频率抽样法7.8频率抽样法h[n]的N点DFT可由其DTFT进行等间隔的N点抽样得到72由于用来使计算机设计的滤波器与要求的频率响应之间的误差最小化的迭代最优化技术的提出，出现了很多基于该最优化技术的滤波器设计方法需设计的滤波器传输函数期望的频率响应某种准则下的逼近7.9数字滤波器的计算机辅助设计在商业上有很多可供选择的软件包，它们使得数字滤波器的计算机设计相当简单——FDATools@Matlab由于用来使计算机设计的滤波器与要求的频率响应之间的误差最小73第六讲数字滤波器设计浙江大学光电信息工程学系胡慧珠huhuizhu2000@第六讲浙江大学光电信息工程学系74

预备知识IIR滤波器设计双线性变换低通IIR滤波器设计高通、带通、带阻IIR数字滤波器设计IIR滤波器的谱变换FIR滤波器设计基于加窗傅立叶级数的FIR滤波器设计数字滤波器的计算机辅助设计用Matlab进行数字滤波器设计主要内容预备知识主要内容75确定传输函数G(z)的过程称为数字滤波器设计.在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的传输函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标，而滤波器的相位响应可以通过级联全通滤波器来校正。一种广泛应用的IIR滤波器设计方法是将一个模拟的原型传输函数转换为一个数字的传输函数。FIR滤波器的设计则是基于对指定幅度响应的直接逼近。在设计数字传输函数G(z)之前，有两个关键的问题需要考虑：分析使用数字滤波器的整个系统的需求，确定合理的滤波器频率响应指标。确定所设计的滤波器是FIR还是IIR数字滤波器。7.1预备知识确定传输函数G(z)的过程称为数字滤波器设计.7.1预7611+p1-psps低通数字滤波器的典型幅度指标7.1.1数字滤波器指标11+p1-psps77数字滤波器指标通带0p阻带sp:通带截止频率s:阻带截止频率p:通带峰值波纹s:阻带峰值波纹p:峰值通带波纹s:最小阻带衰减数字滤波器指标通带0p阻带s7811/Aps归一化的数字低通滤波器幅度响应指标11/Aps归一化的数字低通79最大通带衰减:设FT为采样频率（Hz），Fp和Fs分别为通带和阻带截止频率（Hz），则归一化截止角频率为：最大通带衰减:设FT为采样频率（Hz），Fp和Fs分80两个参数：过渡比或选择性参数分辨参数幅度平方函数与模拟传输函数之间的关系：两个参数：过渡比或选择性参数分辨参数幅度平方函数与模拟传输函81FIR滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。在多数情况下，FIR滤波器的阶数NFIR显著大于具有等效幅度响应的IIR滤波器阶数NIIR。NFIR/NIIR通常为10的量级或更高.IIR滤波器通常计算更简便。在很多应用中，并不要求滤波器具有严格的线性相位，在这些情况下，通常会因计算简便而选择IIR滤波器。7.1.2滤波器类型的选择FIR滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。7.1.82IIR滤波器设计:在设计IIR滤波器时，通常将数字滤波器的设计指标转化成模拟低通原型滤波器的设计指标，从而确定满足这些指标的模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)，然后再将它变换成所需要的数字滤波器传输函数G(z)将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字IIR传输函数G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，从而使数字滤波器能保持模拟滤波器的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下要求：s平面的虚轴（jΩ）必须映射到z平面的单位圆上。

稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。

7.1.3数字滤波器设计的基本方法IIR滤波器设计:7.1.3数字滤波器设计的基本方法83FIR滤波器设计:

FIR滤波器的设计是基于对指定幅度响应的直接逼近，通常还需加上线性相位的条件限制一个N+1阶的FIR滤波器可以通过利用脉冲响应序列或频率响应的N+1个采样点来实现两种直接的FIR滤波器设计方法是加窗傅立叶级数法和频率采样法一些研究者提出了一些先进的方法估计给定性能指标的数字滤波器的阶数FIR滤波器设计:84对通带宽度适中的FIR滤波器对通带宽度较窄的FIR滤波器对通带宽度较宽的FIR滤波器这样设计出来的FIR滤波器的频率响应特性可能满足也可能不满足给定的指标，如果不满足指标，建议逐渐增加滤波器阶数直到满足指标为止。7.1.4滤波器阶数估计对通带宽度适中的FIR滤波器对通带宽度较窄的FIR滤波器对通85IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：1）利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器先设计一个合适的模拟滤波器；然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟的网络综合理论已经发展得很成熟，模拟滤波器具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，另外，还有一些典型的滤波器类型可供使用，设计起来既方便又准确。2）计算机辅助设计——最优化设计法7.2IIR滤波器设计IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点86由模拟滤波器设计数字滤波器步骤：1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器指标；2、模拟低通滤波器设计；（设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，可以选择多种类型的滤波器）3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器G(z)；（利用一定的映射方法，把模拟滤波器系统函数数字化，如双线性变换法和脉冲响应不变法）由模拟滤波器设计数字滤波器步骤：87

IIR滤波器设计的脉冲响应不变法脉冲响应不变法是设计IIR滤波器最简单的一种近似方法。基本思路：将连续时间滤波器的单位脉冲响应均匀采样，作为离散时间滤波器的单位脉冲响应。即：h[n]=Tdhc(nTd)(7.4)注意，此处的Td是转换离散时间滤波器的采样周期，不必等于信号的采样周期T，尽管经常会取相同的值。证明：离散时间滤波器频响与连续时间滤波器频响之间的关系为：

由于Hc(jΩ)=0,|Ω|≥π/Td

，则有：IIR滤波器设计的脉冲响应不变法脉冲响应不变法是设计IIR88脉冲响应不变法的系统函数转变不失一般性地，假定连续时间滤波器的系统函数为：所对应的时域脉冲响应是：对Tdhc(t)采样得到的离散时间滤波器的脉冲响应是：离散时间滤波器的系统函数为：脉冲响应不变法的系统函数转变不失一般性地，假定连续时间滤波器89脉冲响应不变法的几个要点由脉冲响应不变法的全过程，可以看出除了比例系数Td，其与z变换过程相同，所以这种方法有叫做常规z变换法对比Hc(s)和H(z)可以知道，连续时间滤波器的极点按照的关系映射成z平面的极点，但零点一般需要重新计算脉冲响应不变法，需要满足采样定理来避免混叠。解决的办法是提高技术指标。因此脉冲响应不变法经常适用于带限的窄带滤波器，如低通或带通滤波器，而不常用于通带向高频带延伸太宽的高通和带阻滤波器。脉冲响应不变法的几个要点由脉冲响应不变法的全过程，可以看出90脉冲响应不变法举例利用脉冲响应不变法，设计一个Butteworth离散时间低通滤波器。技术指标：3dB带宽的截止频率ωc=0.2π30dB阻带边界频率ωs=0.5π采样周期Td=10πμs第一步：将给定指标按照Ω=ω/Td转换为相应的连续时间低通指标；得到：第二步：根据连续时间低通指标设计归一化连续时间低通滤波器；得到：脉冲响应不变法举例利用脉冲响应不变法，设计一个Buttewo91例(续)取N=4。四阶归一化Butterworth低通滤波器传递函数为：第三步：利用频率转换求得满足给定指标的实际连续时间低通滤波器；即：第四步：利用脉冲响应不变法求得满足给定技术指标的离散时间滤波器传输函数。得：例(续)取N=4。第三步：利用频率转换求得满足给定指标的实际92将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字IIR传输函数G(z)的基本思路就是要把s域映射到z域，从而使数字滤波器能保持模拟滤波器的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下要求：s平面的虚轴（jΩ）必须映射到z平面的单位圆上。

稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。有很多种变换方法可以将一个模拟传输函数Ha(s)变换成一个数字传输函数G(z)，从而使z域的数字传输函数保留s域的模拟传输函数的基本性质。在这些变换中，更多地使用双线性变换法来设计基于模拟原型滤波器变换的IIR数字滤波器。

7.2.1IIR滤波器设计的双线性变换法

将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字IIR传输函数93双线性变换法(Bilineartransformation

)：是从频域出发，使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换法。双线性变换定义：以上变换是一个一一映射，它将s平面上的一点映射为z平面上的一点，或将z平面上的一点映射为s平面上的一点。数字传输函数G(z)和原型模拟传输函数Ha(s)之间的关系为:双线性变换法(Bilineartransformation94双线性变换是通过应用梯形数值积分方法来从Ha(s)的微分方程得到G(z)的差分方程的一种变换。参数T表示数值积分的步长

双线性变换的推导（梯形积分）双线性变换是通过应用梯形数值积分方法来从Ha(s)的微分方程95双线性变换主要用在:用反双线性变换来将数字滤波器的性能指标转换为模拟原型滤波器的性能指标用双线性变换来从模拟传输函数得到所希望的数字滤波器的传输函数G(z)参数T对G(z)的表达式没有影响,可以选择T=2来简化设计的过程双线性变换主要用在:960jIm(z)Re(z)-110s域到z域的映射关系：0jIm(z)Re(z)-110s域到z域的映射关系：97令：双线性变换扭曲了数字频率和模拟频率的关系。临界频率预畸变ωΩΩ模拟原型滤波器Ha(s)Ha(s)

G(z)数字滤波器设计思路：令：双线性变换扭曲了数字频率和模拟频率的关系。临界频率预98稳定性不变，但形状发生变化映射高度非线性，由此引起的频率轴失真称为频率畸变稳定性不变，但形状发生变化99例:模拟滤波器传输函数为-3dB频率为2000弧度/秒(318.31Hz)，求对应的数字滤波器传输函数，采样率为1500Hz例:模拟滤波器传输函数为-3dB频率为2000弧度/秒(3100数字滤波器设计课件101频率响应之间的差异见上图，数字滤波器的滚降比模拟滤波器要陡，且带宽也不同，这种误差是由于双线性变换的畸变造成的。畸变误差可以通过对-3dB频率的预畸变来克服。频率响应之间的差异见上图，数字滤波器的滚降比模拟滤波器要陡，102二阶模拟带阻滤波器（陷波器）的传输函数为7.2.2IIR低阶滤波器的设计二阶模拟带阻滤波器（陷波器）的传输函数为7.2.2IIR低103令陷波频率0和-3dB陷波带宽Bw与常数和

相关//则令陷波频率0和-3dB陷波带宽Bw与常数和104设计一个低通IIR数字滤波器G(z)，性能指标如下:7.3低通IIR滤波器设计设计一个低通IIR数字滤波器G(z)，性能指标如下:7.3105将数字截止频率预畸变为模拟截止频率将数字截止频率预畸变为模拟截止频率106k：过渡比k1：分辨率巴特沃兹逼近的阶数估计：频率解归一化：k：过渡比巴特沃兹逼近的阶数估计：频率解归一化：107三阶归一化低通Butterworth传输函数:三阶归一化低通Butterworth传输函数:108第一种方法分为以下几个步骤：

7.4高通、带通和带阻IIR数字滤波器设计Step1：用式预畸变所求数字滤波器GD(z)的数字频率指标，从而得到一个等价的模拟滤波器HD(s)的频率指标。Step2：选取一种合适的频率变换，将HD(s)的频率指标转换成原型低通滤波器HLP(s)的频率指标。（附录B）Step3:设计模拟低通滤波器HLP(s).（附录A）Step4:

用步骤2中频率变换的逆变换将传输函数HLP(s)转换为HD(s)。（附录B）Step5:对传输函数HD(s)进行双线性变换，从而得到所求的数字IIR传输函数GD(z)第一种方法分为以下几个步骤：7.4高通、带通和带阻IIR109第二种方法分为以下几个步骤：

步骤1：用式预畸变所求数字滤波器GD(z)的数字频率指标，从而得到一个等价的模拟滤波器HD(s)的频率指标。

步骤2：选取一种合适的频率变换，将HD(s)的频率指标转换成原型低通滤波器HLP(s)的频率指标。步骤3：设计模拟低通滤波器HLP(s)。步骤4：对传输函数HLP(s)进行双线性变换，将其转换为IIR数字滤波器的传输函数GLP(z)。步骤5：选取一种合适的谱变换将GLP(z)转换成所求的数字传输函数GD(z)。第二种方法分为以下几个步骤：步骤1：用式110GD(z)的数字频率指标与HD(s)相同类型的模拟滤波器频率指标原型低通滤波器HLP(s)的频率指标DesigningofHLP(s)HD(s)GD(z)GLP(z)GD(z)GD(z)的数字频率指标与HD(s)相同类型的模拟滤波器频率111谱变换可以用来将给定的低通数字IIR传输函数GL(z)转换成另一个低通、高通、带通或带阻滤波器的数字传输函数GD(z).

7.5IIR滤波器的谱变换谱变换可以用来将给定的低通数字IIR传输函数GL(z)转换112为了把一个有理的GL(z)变换成一个有理的，必须为的一个有理函数

另外，为了保证的稳定性，应该将z平面单位圆的内部映射到平面的单位圆的内部.为了保证将低通幅度响应映射成四种基本类型的幅度响应之一，z平面单位圆上的点必须映射成平面单位圆上的点.为稳定的全通函数实数或是以复共轭对的形式出现，并且以保持传输函数的稳定为了把一个有理的GL(z)变换成一个有理的113要把一个截止频率为ωc的原型低通滤波器GL(z)变换成另一个截止频率为的低通滤波器，我们会用到变换

为实数=-0.6=0=+低通滤波器到低通滤波器的变换要把一个截止频率为ωc的原型低通滤波器GL(z)变换成另一114利用低通滤波器到低通滤波器的变换同样可以：把截止频率为ωc的高通滤波器变换成截止频率为的另一个高通滤波器把中心频率为ω0的带通滤波器变换成另一个中心频率为的带通滤波器把中心频率为ω0的带阻滤波器变换成另一个中心频率为的带阻滤波器

利用低通滤波器到低通滤波器的变换同样可以：115谱变换表滤波器类型

变换设计参数低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器7.5.2其他谱变换谱变换表滤波器类型116当低通原型滤波器的带宽与变换后带通滤波器带宽相同，即将这个限制条件加到表9.1中的频谱变换，可以得到修正的频谱变换为当低通原型滤波器的带宽与变换后带通滤波器带宽相同，即117一种直观的设计方法是基于对指定频率响应的傅立叶级数进行截短来设计——加窗傅立叶级数法N点离散傅立叶变换由其频率响应的N个等间隔的不同频率样本组成，因此该数字滤波器的冲激响应序列可以利用它的频率样本上的离散傅立叶逆变换来计算——频率抽样法基于计算机的辅助设计方法7.6FIR滤波器设计一种直观的设计方法是基于对指定频率响应的傅立叶级数进行截短118Kaiser方程Bellanger方程Hermann方程δp、δs

较小时，三个方程都比较准确δp、δs较大时，Hermann方程更准确FIR阶数的估计Kaiser方程FIR阶数的估计119表示要求的频率响应函数恰好是相应的冲激响应样本给定一个频率响应指标Hd(ej),可以利用上式计算hd(n),从而确定传输函数Hd(z)。然而在大多数实际应用中，要求的频率响应是分段的常数，并且各个频带之间有陡峭的过渡带，在这种情况下，相应的冲激响应序列是无限长并且非因果的。我们的目标是找一个长度为2M+1的有限冲激响应序列{ht[n]}，它的离散时间傅立叶变换Ht(ej)在某种程度上逼近所求的Hd(ej)

。7.7.1FIR滤波器的最小积分平方误差设计7.7加窗傅立叶级数法设计FIR滤波器表示要求的频率响应函数恰好是相应的冲激响应120

一种常用的逼近准则是最小积分平方误差Parseval’s关系当-MnM时，ht[n]=hd[n]，则积分平方误差最小，或者换句话来说，在均方误差准则下，理想无限长冲激响应的最佳和最简单的有限长逼近是通过截短来得到的冲激响应为h[n]的因果FIR可以通过将ht[n]延时M个样本后得到:一种常用的逼近准则是最小积分平方误差Parseval’s1217.7.2理想滤波器的冲激响应7.7.2理想滤波器的冲激响应122

理想L带数字滤波器HML(z)的零相位频率响应:1234A1A2A3A4A5理想L带数字滤波器HML(z)的零相位频率响应:12123理想Hilbert变换器，也称为90度相移器理想的离散时间差分器，用于在离散时间域上对连续时间信号的抽样值进行差分运算理想Hilbert变换器，也称为90度相移器理想的离散时间差124对于给定的理想滤波器的冲激响应系数进行简单截短，得到的因果FIR滤波器的幅度响应呈现振动的现象，通常称为Gibbs现象随着滤波器长度的增加，通带和阻带的波纹数增加，而波纹的宽度相应减小，但是在截止频率两边出现的最大波纹的高度仍然保持不变，它与滤波器的长度无关，并且近似等于理想滤波器通带和阻带幅度差的11%在其他类型的理想滤波器冲激响应的截短频率响应中，同样可以观察到类似的现象产生Gibbs现象的原因可以解释为：截短运算可以认为是将无限长冲激响应系数与一个有限长的窗序列w[n]相乘的结果7.7.3Gibbs现象对于给定的理想滤波器的冲激响应系数进行简单截短，得到的因果125Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/滤波器长度21滤波器长度61Normalizedfrequency/Normaliz126Normalizedfrequency/w[n],N=21矩形窗Normalizedfrequency/w[n],N=127数字滤波器设计课件128-0.40.4*Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/N=21-0.40.4*Norma