数学方法的变革

数学方法的变革

与经济学的革命江汉大学文理学院院长、教授甘德安1目录数量化使经济学成为一门科学微积分与边际革命

最优化（拓扑方法）与边际革命的深化不确定性（概率统计）与凯恩斯革命概率统计与计量经济学矩阵方法与克莱茵革命和投入产出经济学博弈论与经济学的新革命非线性与混沌经济学2物理学家与经济学家的聚会：笛卡儿说：我苦思冥想，终于悟出了万物都是可以归结为数学的道理。我坚信，数学是至今为止人类智慧赋予我们的最有力的认识工具，它是万物之源。首届诺贝尔经济学奖上，主席发言说：经济科学已日益朝着数学精确性以及对经济内容的定量分析方向发展。这种数学分析的技术如此成功，足以使那种模糊的、用文字表达的经济学相形见绌。20世纪80年代以前是物理学推动数学的进步，而21世纪是经济学推动数学的进步。网上有一个笑话：物理学家与数学家聚会一堂，在交谈中，物理学家被经济学家的数学修养之高惊呆了，而经济学家被物理学家对近代数学的无知也惊呆了。3数学的本质、危机与边界恩格斯认为：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。罗素认为：即不知道研究的对不对，也不知道是什么的学问称为数学。数学“是研究抽象结构的科学”。“数学是结构及其模型的科学”。马克思认为：一门学科只有充分应用数学是才是一门真正的科学。Samuelson:数学是语言，更精确，自洽，简要。甘德安认为：数学不仅是一种语言、思维和公式，更是一种精神和文化。4数学的危机与数学的革命第第一次危机：从有理数到无理数；第二次危机：从-语言的发明导致集合论和测度理论的产生；抽象代数、测度理论、泛函分析、实分析等学科产生。-语言导致实数问题导致集合理论几何问题归结为解析几何问题归结为代数问题归结为实数问题归结为自然数问题归结为集合问题，导致数学与逻辑的革命。第三次危机：从第五公设到非欧几何学到拓扑学（点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑）的产生。5从确定到或然矩阵分析从有限到无限从一元到多元从静止到运动从有序到无序数学[Mathematics]是一个复数概率与数理统计克莱因革命混沌经济学数学分析集合论线性代数边际革命凯恩斯革命计量经济学线性规划投入产出经济学从单边到多边经济学新革命博弈论数学分析微分和差分动态经济学6数与形数论代数非欧几何欧氏几何数形解析几何抽象代数拓扑分析罗氏几何黎曼几何线性代数集合理论新古典经济学（高级微观）数学分析边际革命边际革命的深化从确定性看数学对经济学的影响7一、数量化、公理化使经济学成为一门科学数学的基本作用理论(theoretical)研究中数学方法的作用前提假定逻辑推理应用已有定理实证(empirical)研究中数学和统计方法的作用计量模型证据数量化统计方法8数学能否引入经济学计量经济学的创立：引入统计和模型发展数理经济学：PaulSamuelson

决定论模型（加速-乘子模型） 股市随机运动模型（martingale）和期权模型、混沌模型

HerbertSimon:数学用得太多了 陈平：数学用得太窄了（限于欧氏几何，优化算法，不了解非欧几何，混沌，小波，生灭过程）。9二、微积分与经济学的边际革命

西方经济学家把边际递减原理称为“边际革命”。实际上，边际革命的实质就是数学方法的变革，是从常量数学方法在经济学的应用变更为变量数学方法在经济学的应用，更具体地说就是微积分的应用。杰文斯说：很显然，经济学如果是一种科学，它必须是一种数学。…所以我毫不犹豫地采用数学中适当的工具去研究无限小量。那就是用微分法来说明财富、效用、价值、供给、资本、利息、劳动等概念。10二、微积分与经经济学的边边际革命杰文斯还说说：我力图图把经济学学作为包含含快乐和痛痛苦的一个个微积分来来看待…这这样看待的的经济理论论表现得与与静态力学学及其相似似，并且可可以发现，，交换规律律类似于杠杠杆的平衡衡规律。1865年年克劳修斯斯关于熵的的定义，申申农关于信信息的定义义都是决定定学科的奠奠基性工作作。效用是一个个比信息更更抽象的量量，借助微微积分的方方法就导致致经济学的的边际革命命。11M.Gessen法则戈森说：““我相信，，我在解释释人类关系系方面所做做的，正如如哥白尼在在解释天体体关系方面面所做的事事情。我相相信，我已已成功地发发现了使人人类得以生生存并支配配人类进步步的力量，，以及这种种力量发生生作用的法法则的一般般形式。哥哥白尼的发发现使人类类得以预测测天体未来来运行的轨轨迹。我的的发现使我我得以指出出，人们为为了实现人人生目的所所必定遵循循的确定不不移的路线线。”12经济学普遍遍运用现代代微积分技技术却是在在希克斯的的《价值与资本本》一书中才得得以实现的的。他以严严格的数学学对序数效效用论、无无差异曲线线等概念的的阐述和完完善，推动动了英语国国家的经济济学数学化化。其后是萨谬谬尔森的《经济分析的的基础》（1947）及其他论论文。他把把经济学在在30年代以前用用的自然语语言和图式式的分析改改写成为定定性的数学学模型和推推理方法，，以有约束束的最大化化作为一般般原则，对对生产者行行为、消费费者行为、、国际贸易易、公共财财政、收入入分配等各各个经济理理论的领域域，用数学学上求极大大、极小小值的方式式加以推导导，并认定定极大、极极小值的实实现就是均均衡状态的的确立。三、最优化化（拓扑方方法）边际际革命的深深化13进入50年代以后，，数理经济济学的基础础由微分转转变为集合合论等新的的数学工具具。在这种种转变中，，影响最大大的首推阿阿罗的《社会选择与与个人价值值》（1951）。该书的的主题是社社会选择理理论的公理理化，但在在其研究过过程中，运运用集合论论技巧，为为一般均衡衡的研究提提供了一个个框架。此此外，德布布鲁的《价值论》（1959），对这一一时期集合合论在经济济均衡理论论中许多方方面的应用用作了高度度总结，堪堪称“经典典”。14集合论的基基本概念和和基本结论论定义域：凸凸集连续函数f关系二元关系完备性传递性D是开集，f-1(B)是开集偏好关系拓扑空间度量空间欧氏空间值域：逆象象f-1(S)开集闭集紧集紧集的象是是紧集BrouwerfixedpointTheoremsS是紧切且凸凸，f连续，则f(x*)=x*A是一个凸集集拟凹函数f是凹函数15微积分与最最优化单变量函数数凹性与一、、二阶导数数等价命题：：f是凹的f´(x)0f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)若f是严格凹的的严格不等式式成立多变量函数数偏导数函数数梯度f(x)=(f1(x),……,fn(x))f11(x),……,f1n(x)f21(x),……,f2n(x)……………….fn1(x),……,fnn(x)H(x)=海赛矩阵对对称性Young´Theorem2f(x)/[xixj]=2f(x)/[xjxi]海赛矩阵齐次函数凸集、斜率率与凹性的的等价命题题D是凸的H(x)是半负定的的f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)欧拉定理Kf(x)=f(x)*xi/xi16X*=f(x*1,x*2,…x*n)是一个稳定定点[一阶条件件]X*是一个相对对极大值X*是一个绝对对极大值d2x在x*为负定[二阶充分分条件]d2x在x*为负定[二阶必要要条件]X*是唯一的绝绝对极大值值f是凹的f是严格凹的的d2x在x*为半负定d2x处处为负定定17最优化无约束最优优化有约束最优优化单变量X*处最大值f´(x)=0(FONC)f´´(x)0(SONC)多变量一阶条件X*处最大值f(x*)=0(FONC)二阶条件必要条件：：X*处局部最大大值H(x)是半负定的的。充分条件：：f(X)是二次可微微，1、若fi(X*)=0,且（-1））nD(X*)>0,那么，f(x)在X*处局部部极大。若f(X)是严格凹的的，则fi(X*)>f(x),对于任意Xx*.18有约束最优优化等式约束Maxf(x1,x2)S.tg(x1,x2)=0Maxf(x1,g(x1))x2=g(x1)转化成非约约束问题Lagrange方法不等式约束束Maxf(x)，，x≥0必要条件：：F连续可微，，若x≥0，x最大化f，那么，x*满足1）f(x*)/xi02）xi*[f´(x*)]=03）xi*≥0。库恩-塔克克条件19四、概率统计与与凯恩斯革革命从确定性方方法到或然然性方法的的突破1936年年，凯恩斯斯发表了他他的代表作作：《就业业、利息和和货币的通通论》。凯凯恩斯在刚刚撰写通论论的时候就就开始造舆舆论，并颇颇为自负地地说，此书书也许会对对世界上关关于经济问问题的思考考方法发生生革命。果然，该书书一出，经经济学家们们公认经济济学发生了了如同“哥哥白尼在天天文学上、、达尔文在在生物学上上、爱因斯斯坦在物理理学上”一一样的一次次革命。凯恩斯革命命首先是方方法的革命命。凯恩斯斯的方法是是他理论的的出发点和和基础。他他的方法表表面是从个个量分析法法到总量分分析法的变变革，从个个量变换到到总量实际际上是从确确定性变换换到或然性性的方法。。20凯恩斯首先先是概率论论的奠基者者边际革命时时期的经济济学家的经经济理论具具有高度的的抽象性，，他们虽然然运用数学学工具研究究各种经济济变量之间间的函数关关系，但一一般是对这这种函数关关系进行质质的分析，，而没有进进行量的分分析。因此此总的来说说，边际革革命时期的的西方经济济学家虽然然相当广泛泛地在经济济研究中采采用数学方方法，但其其学说还是是一个理论论框架，而而没有以具具体的统计计数据来充充实。布瓦索在《信息空间》的巨著中，，根据普利利高津的理理论，算出出了经济学学与物理学学换算的年年龄。认为为现在的经经济学发展展的水平，，只相当于于1860年的物理学学。这种牛牛顿经济学学，对信息息时代来说说，最根本本的不方便便之处，是是难以处理理“信息的的不确定性性”。21信息本质上上是不确定定性的。这这种不确定定性对应的的物理学理理念，是熵熵的概念。。这就扯到到普利高津津物理学的的核心概念念上来了。。布瓦索和和普利高津津一样，都都认为熵反反映的是信信息的本质质，应当用用熵来度量量信息。布布瓦索干脆脆就把熵称称为“平均均信息量””。信息论论权威申农农也把信息息量定义为为熵(“申农信息熵熵”)，信息经济济学家、诺诺贝尔奖获获得者阿罗罗的信息定定义也是从从这里来的的。22布瓦索正好好就是这种种看法。他他认为：““正统经济济学未能在在其范式核核心内，容容纳可信的的信息理论论的原因，，是由于它它早期在自自然科学范范围内选择择理性作用用模式的缘缘故”。这这里有著名名经济学家家杰文斯《经济学原理理》做旁证，其其中明确写写道：“价价值概念对对我们的科科学而言就就像是(物理学中)的能量对力力学”。但问题是，，物理学在在1860年以后继续续发展了，，从牛顿力力学主导的的确定性科科学，发展展到普利高高津耗散结结构主导的的不确定性性科学。但但是，经济济学却永远远地停在了了牛顿时代代的物理学学水平上。。用布瓦索索的话说，，叫“经济济学，特别别是新古典典经济学，，跟不上物物理学的步步伐”，““它不能吸吸收现代物物理学的概概念，继续续和1860年的稻草人人结合在一一起，威胁胁着学科范范式的核心心”。23五、概率统统计与计量量经济学24方法应用单方程方法法普通最小二二乘法广义最小二二乘法联立方程方方法识别方法估计方法国民经济模模型部门模型计量经济学估计检验异方差自相关多重共线性性虚拟变量滞后变量两、三阶段段最小二乘乘法有限信息方方法及其他他预测25六、从分析的方方法到代数数方法的突突破微积分方法法应用与经经济学，既既是确定性性方法应用用与经济学学，也是连连续性方法法应用于经经济学。人人们不能很很好地处理理非线性关关系，必然然要求从连连续的方法法走向离散散的方法到到代数的方方法。在经经济学中的的应用，里里昂惕夫创创立投入——产出经济学学和库普曼曼、康托罗罗维奇创立立的经济规规划正是从从分析方法法到代数方方法的突破破成果。投入——产出经济学学注重的是是元素之间间的线性关关系，线性性规划注重重线性关系系的目标函函数的最大大——最小值的问问题。1958年，多夫曼曼、萨缪尔尔逊和索罗罗的《线性规划与与经济分析析》，盖尔的《线性经济模模型的应用用》对一般均衡衡理论和经经济增长理理论贡献极极大。26七、经济学的博博弈革命？？1994年年三位经济济学家同时时获得诺贝贝尔经济学学奖、1996年又又是在博弈弈论应用方方面（税收收激励机制制、信息经经济学）获获得诺贝尔尔经济学奖奖。在整个个经济学还还没有一门门学科即有有5人获得得诺贝尔经经济学奖。。实际上博博弈论正在在重构经济济学基础。。博弈论已已经成为经经济学的主主流。一个鸡蛋的的家当：囚徒困境：：一个台湾老老总的感慨慨。27博弈论引入入经济学之之中在经济学家家中，最早早清楚而全全面地认识识到必须考考虑到经济济行为者之之决策的““互动”性性质的是奥奥斯卡·摩摩根斯坦。。在《经济济论著》（（1928）一书中中，他开始始考虑少数数权势人物物的行为能能够影响均均衡结果的的情形。不不过，对经经济学开始始产生深远远影响的，，却是他与与冯·诺伊伊曼合著的的《博弈论论与经济行行为》（1944））。他们的的目标是想想为理性的的决策者之之间的策略略互动过程程提供一种种数学化的的一般理论论。在冯·诺伊伊曼和摩根根斯坦的贡贡献的基础础之上，约约翰·纳计计（1951）引入入了合作博博弈和非合合作博弈的的区分，并并为非合作作博弈提出出了被后人人命名为““纳什均衡衡”的一般般性解概念念，从而为为博弈论奠奠定了基础础。海萨尼尼（1967－1968）把把分析方法法拓展到不不完全信息息博弈，从从而为理性性行为的分分析和信息息经济学奠奠定了坚实实的基础。。28日本与阿根根廷的关系系如同计量量经济学与与博弈论的的关系的比比较前期流流行，后期期不对。博弈论的运运用包括不不完全竞争争、市场均均衡、谈判判、产品质质量、保险险、委托───代理关关系、歧视视、公共物物品等微观观领域，并并且已扩展展到宏观经经济学、产产业组织理理论等等。。有些经济济学家还利利用博弈论论方法，来来分析合作作、利他主主义、信任任、惩罚、、报复之类类的现象，，力图探讨讨社会规范范、制度如如何产生的的棘手问题题。更有甚甚者，试图图以博弈论论语言重建建整个微观观经济学。29张伯伦革命命始于张、罗罗二人的““张伯伦革革命”的主主要贡献在在于：他们们摈弃了长长期以来以以马歇尔为为代表的新新古典经济济学关于把把“完全竞竞争”作为为普遍的而而把垄断看看作个别例例外情况的的传统假定定，认为完完全竞争与与完全垄断断是两种极极端情况，，提出了一一套在经济济学教科书书中沿用至至今的用以以说明处在在两种极端端之间的““垄断竞争争”的市场场模式，并并在其成因因比较、均均衡条件、、福利效应应等方面运运用边际分分析的方法法完成了微微观经济的的深化革命命，同时为为博弈论对对经济学的的革命开创创先河。30博弈革命的的意义：1、研究对对象发生变变化：关注注个体2、决策理论的的突破：注注重关系3、经济学与信信息的融合合：注重信信息31博弈分类表表

行动顺序信息静态动态完全信息完完全信息静态博弈纳纳什均衡纳（1950、1951）完完全信息动态博弈子博弈精练纳什均衡泽泽尔腾（1965）不完全信息不完全信息静态博弈贝叶斯纳什均衡海海萨尼（1967）不完全信息动态博弈精练贝叶斯纳什均衡泽泽尔腾（1975）32一个“僵局局”+最佳佳反应=纳什均均衡。纳什均衡的的思想很简简单，博弈弈的理性结结局是这样样一种策略略组合，其其中每一个个局中人均均不能因为为单方面改改变自己的的策略而获获利。换一一种说法是是，其中每每个局中人人选择的策策略是对其其他局中人人所选策略略的最佳反反应。为了称述的的方便，我我们引进几几个概念与与符号：我们常用G表示一个博博弈，如果果G有n个局中人（（博弈方）），每个局局中人的全全部可选策策略的集合合我们称为为策略空间间，分别用用S1，……,Sn表示；sij∈Si表示局中人人I的第j个策略，其其中j可以取有限限个值（有有限策略博博弈），也也可以取无无限个值（（无穷策略略博弈）；；局中人i的支付则用用ui记，ui是各局中人人策略的多多元函数。。N个局中人的的博弈常写写成G={S1，……,Sn；u1,…..un}.33从数学角度度看求纳什什，

就是是求多元函函数的最大大值。在博弈G={S1，……,Sn；u1,…..un}中，如果策策略组合（（s*1,……,s*n）中任一局中中人i的的策略s*i都是对其余余局中人的的策略组合合（s1,…，si-1,si+1,…，sn）的最佳对策策，也即：：ui（s*1,…，s*i-1,s*i,s*i+1,…，s*n）≧u（s*1,…，s*i-1,sij,s*i+1,…，s*n）对任意sij∈Si都成立，则则称（s*1,……,s*n）为G的一个“纳纳什均衡””。34七、非线性性、非周期期与混沌经经济学1978年年9月，一一位中国留留学生李天天岩的《周周期3意味味着混沌》》导致混沌沌研究的兴兴起。克莱克说：：经济学家家像生物学学家一样，，