最新浙教版八年级数学上册教学课件全册

最新浙教版八年级数学上册教学课件全册第1章三角形的初步认识1.1认识三角形生活中有许多使用三角形的实例，你能从下图中找出三角形吗？那么,怎样的图形叫做三角形呢?由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形1.三角形的定义2、三角形的表示ABC三角形用符号“△”表示记做“△

ABC”读做“三角形ABC”例

说出图中有多少个三角形,用符号“△”表示,并指出每一个三角形的三条边.QFEPGH练习:读出图中的各个三角形.ADBEC

三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。如图，三角形ABC有几个顶点？它们分别是

。3、三角形的顶点ABC三角形的形状、大小和位置由它的三个顶点确定。A，B，C组成三角形的三条线段叫做三角形的边。如图，三角形ABC有几条边？它们分别是______________。4、三角形的边ABC△ABC的三边,有时也用a，b，c来表示。一般地，顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c。AB，AC，BC5、三角形的角:(1)三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。）））(2)三角形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角。ABC

在△ABC中，AB边所对的角是：∠A所对的边是：BCA∠CBC★再说几个对边与对角的关系试试。锐角三角形三个角都是锐角直角三角形有一个角是直角钝角三角形有一个角是钝角三角形可按内角的大小进行分类.ADCBE1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形和各自的边角2.以AB为边的三角形有哪些？△ABC，△ABE3.以E为顶点的三角形有哪些？△ABE、△BCE、△CDE练习4.以∠D为角的三角形有哪些？△BCD、△DEC△ABC，△ABE

，△BCE，△CDE，△BCD例：如图，在△ABC中，∠A=40°，∠C=60°求∠B的度数。ACB解：∵∠A+∠B+∠C=180°，（三角形三个内角的和等于180°）∴∠B=180°-（∠A+∠C）

=180°-（40°+60°）

=80°

三角形三个内角的和等于180°某村庄和小学分别位于两条交叉的大路边（如图）。可是，每年冬天麦田弄不好就会走出一条小路来。你说小学生为什么会这样走呢？村庄学校麦田探究用长度分别为4cm，5cm，6cm，10cm的四根木棒，取其中三根搭成三角形。哪些能搭，哪些不能搭？你能搭成几个三角形？你发现三角形的边之间有何关系？三角形的三边有这样的关系：三角形任何两边的和大于第三边想一想，两边之差与第三边有何关系三角形任何两边的差小于第三边1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8（）（2）2，5，6（）（3）5，6，10（）（4）3，5，8（）不能能能不能判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？思考：练一练试一试2.小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8cm和5cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？小颖有5种选法。第三根木棒的长度可以是：4cm，6cm，8cm，10cm，12cm有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！考考你！答：不能。如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此人的两条腿长之和得大于3米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多。草原上的四口油井，位于如图的A，B，C，D四个位置，现在要建立一个维修站H，问H建在何处，才能使它到四个油井的距离之和HA+HB＋HC+HD为最小？说明理由。拓展与应用！ADCBHH′1.你认为H应该在什么位置？大胆设想！2.到A，C距离和最小的点在哪儿？到B，D?三角形的角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线．ACBD●●FE●●●●如图：线段AD叫做ΔABC的角平分线。画出ΔABC的另外两条角平分线；观察三条角平分线，说说你的发现。对于其它的任意三角形是不是也有同样的结果？三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点BDCEAOF∵BE是△ABC的角平分线∴____

=

_____

=_____∴∠ACB=2______=2______∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF

∵CF是△ABC的角平分线∠BCF

三角形的中线

在三角形中，连结三角形的一个顶点与该顶点对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．ACB●●DEF●●●●●如图：线段AD叫做ΔABC的边BC上的中线。（1）画出ΔABC的另外两边上的中线；（2）说出哪条线段是ΔABC的哪条边上的中线；把刚才的锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形，结果又怎么样呢？三角形的三条中线在三角形的内部交于一点∵AD是△ABC的中线∴BD=CD=

12BC三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；ABCD●●EFO三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.ABCD如图,线段AD是BC边上的高.注意标明垂直的记号和垂足的字母.∵AD是△ABC的高ABCD∴∠BDA=∠CDA=90°通过本节课的学习，你有哪些收获？1.三角形的边、角、顶点,表示方法；2.三角形的三边关系及运用；3.三角形的角平分线、中线和高线.第1章三角形的初步知识1.2定义与命题开心一刻电视里正在播放精彩的乒乓球比赛……打得好！打得好！可惜播音员不识数……人家咋不识数？明明是两个人在打球，他却说单打；明明是四个人在打球，他却说双打，你说他识数不识数？

为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．

什么是定义

三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．——锐角三角形的定义你能说出下列名称的定义吗？钝角：平行线：大于直角而小于平角的角叫做钝角

．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．考考你！请列举一个你熟悉的名称或术语的定义。下列语句中，属于定义的是（）A.对顶角相等.B.三条边对应相等的两个三角形全等.C.在同一平面内三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.D.同旁内角互补，两直线平行.C辨一辨！

比较下列句子在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？（1）鸟是动物．（2）若a2=4，求a的值．（3）若a2=b2，则a=b．（4）a,b两条直线平行吗？（5）画一个角等于已知角．（6）0.33是无理数．（7）两直线平行,同位角相等．

一般地，判断某一件事情的句子叫做命题．有判断

命题的特征：什么是命题想一想：定义是不是命题呢？“两只脚的动物是鸡”是不是一个命题呢？下列语句中，属于命题的有（）①画线段AB=2cm；②明天早上会下雨；③直角三角形一定不是轴对称图形；④如果两个角相等，那么这两个角的补角相等吗？A.1个B.2个C.3个D.4个温馨提示①命题是陈述句。②只需考虑是否作了判断，无需考虑判断的结果是否正确。B命题：两直线平行，同位角相等．

条件结论

（题设）

现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成。

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．（结论）命题的结构命题条件结论

两直线平行，内错角相等.若a2=b2，则a=b．指出下列命题的条件和结论：两直线平行内错角相等a2=b2a=b命题可写成“如果…..那么…..”的形式.

如果两直线平行，那么内错角相等．

如果

a2=b2

，那么a=b

．

（1）对顶角相等；例1、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：（2）等底等高的两个三角形面积相等。小结：1.先找“结论”，再找“条件”2.补上相应的词或句子

指出下列命题的条件和结论，并改写成

“如果……那么……”的形式：1、被3整除的正整数必定被6整除2、正方形的四条边相等3、同角的余角相等我来说一说例2、将命题“同位角相等，两直线平行”，改写成“如果……那么……”的形式：练一练将命题“内错角角相等，两直线平行”，改写成“如果……那么……”的形式三个知识点：两个方法：①命题：是否对事情做出判断（1）定义（2）命题（3）改写命题一个注意点：

改写命题时，正确区分条件和结论，要把省略的词或句子添加上去。课堂小结②改写命题时，先结论，再条件1.2定义与命题(2)知识回顾:(1)什么是定义?(2)什么是命题?

一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.

一般地,判断某一件事情的句子叫做命题.命题由可看做由题设(或条件)和结论两部分组成.命题由哪两部分组成?温故而知新1、你对命题有什么印象？判断下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）同角的余角相等。（2）在直线AB上任取一点C。（3）相等的角是对顶角。（4）全等的两个三角形的面积相等。（5）不相交的两条直线叫做平行线。（6）所有的质数都是奇数。是不是是是是是思考下列命题的题设(条件)是什么?结论是什么?(1)三角形的两边之和大于第三边；上述命题中,哪些正确?哪些不正确?你的理由是什么?正确的是_______不正确的是______(1)(2)(3)(4)真命题：正确的命题称为真命题。假命题：不正确的命题称为假命题。(2)三角形的三个内角的和等于180°；(4)对于任何实数x,x2＜0.(3)两点确定一条直线；下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）两个奇数的和是偶数；（4）不相等的两个角不可能是对顶角。假命题假命题真命题真命题说明假命题的方法：举反例使之具备命题的条件，而不具备命题的结论3.下列命题中哪些是假命题？为什么？（1）如果a≠0,b≠0,那么a²+ab+b²=(a+b)²（2）两个锐角之和一定是钝角辨一辨（3）√a²=a（a为实数）（4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形如何证实一个命题是真命题呢想一想真命题常常通过推理的方式（根据已知事实来推断未知事实）判断真假命题对顶角相等∵∠1＋∠3＝180°∠2＋∠3＝180°∴∠1＝∠2132ab三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等练一练:如图,若∠1+∠2=1800,则a∥b.用推理的方法说明它是一个真命题.ab⌒⌒12⌒3数学中通常挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题叫做基本事实.1、两点间线段最短。

2、两点确定一条直线。

3、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。4、同位角相等，两直线平行。5、两直线平行，同位角相等。用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.定理和基本事实都可以作为判断其他命题真假的依据.对顶角相等三角形任何两边的和大于第三边两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行第1章三角形的初步知识1.3证明复习现阶段我们在数学上学习的命题由几类？命题的分类真命题（包括定义、基本事实和定理）假命题判定一个命题是真命题的方法:(1)通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实；(2)人们经过长期实践后而公认为正确的.ab一、目测（直观）错觉！通过观察,先猜想结论,再动手验证：如图,一组直线a,b,c,d是否都互相平行?直观是重要的,但它有时也会骗人.如何判断一个命题是真命题？二、列举举不胜举！一、目测（直观）错觉！当n=6时，n2-3n+7=25不是素数三、测量存在误差！

当n=0,1,2,3,4时,代数式n2-3n+7的值分别是7,5,5,7,11,它们都是素数．那么,命题“对于自然数n,代数式n2-3n+7的值都是素数”是真命题吗?四、判定一个命题是真命题的方法：通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实；

要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推出结论成立，这样的推理过程叫做证明。探要点·究所然类型之一平行线的判定例1如图1－3－1，在四边形

ABCD中，AC平分∠BAD，

∠1＝∠2，说明AB∥CD.

图1－3－1注意:证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由,可以写在每一步后的括号内.第2课时

三角形的内角和定理及推论ABC对于三角形，我们已经有哪些认识？定义分类内角和……填要点·记疑点1. 三角形的内角和性质：三角形三个内角的和等于_________．2．三角形的外角

定义：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角．

性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个___________．

性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．180°内角的和三角形的三个内角的和等于180°.证明命题：ABC已知：求证：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.∠A+∠B+∠C=180°

实验1：先将三角形纸片的一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。ACB图1BAC图2BAC图3BAC图4例1、求证：三角形三个内角的和等于180º.112ABD23C12实验2：

将三角形纸片的顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。

在证明三角形的内角和时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC，（如图）。他的想法可行吗？ABCED证明过点A作DE∥BC.则∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE＝∠DAE＝180°（平角的定义）你还有其他的证明方法么？辅助线已知：如图，△ABC.

求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°ABC12DE证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则

∠1＝∠Ａ，（两直线平行，内错角相等）∠2＝∠Ｂ，（两直线平行，同位角相等）

∠1+∠2+∠ACB＝180°。

∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°。3．证明几何命题的格式

格式：(1)按照题意画出图形； (2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；

(3)在“证明”中写出推理过程．探要点·究所然三角形的内角和的运用例如图1－3－12，在△ABC中，∠A＝60°，∠B∶∠C＝1∶5.求∠B的度数．图1－3－12

变式跟进如图1－3－13，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，那么∠EDF等于 (

)

A．80° B．110° C．130° D．140°图1－3－13B第1章三角形的初步知识1.4全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等图形。下列同一类的图形有什么特点？下面各组图形是不是全等图形？为什么？（1）（2）（3）边长都是10cm的两个正方形。（4）半径相等的两个圆。两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，如点A与点D,互相重合的边叫做全等三角形的对应边，如AB与DE。互相重合的角叫做全等三角形的对应角。如∠A与∠D。FEDCBA能够重合的两个三角形叫做全等三角形。三角形全等的表示方法“全等”可用“≌”来表示，如ΔABC和ΔDEF全等，记做“ΔABC≌ΔDEF”，读做“三角形ABC全等于三角形DEF”。注意

表示两个三角形全等时，通常把

对应顶点的字母写在对应的位置上。FEDCBA已知图中的两个三角形全等，请你找出它们的对应角和对应边，并用符号表示这两个三角形全等。练一练如图，已知ΔOCA≌ΔOBD，请说出它们的对应边和对应角。ODCBA对应边：CO和BO，对应角：∠A和∠D，

∠C和∠B，

∠COA和∠BOD。AO和DO，CA和BD。答案：（AB=CD，AD=CB，BD=DB）练一练：请找出右图中对应的边ABCDABD≌CDB1、已知：ABCDEABC≌AED2、已知：请找出右图中对应的角答案：总结寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；

两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？观察与思考全等三角形的对应边相等，对应角相等。

∵△ABC≌△DFE∴AB=DF,BC=FE,AC=DE

（）∴∠

A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E

（）全等三角形的性质应用全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等1、能够

的两个图形叫全等形；2、两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做

；互相重合的边叫做

；互相重合的角叫做

；3、全等三角形的对应边

，对应角

；完全重合对应顶点对应边对应角相等相等小结4、记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在

；例如△ABC≌△DFE，对应顶点分别是5、两个三角形全等时，对应顶点所在的角是

，对应边所对的角是

，对应角所对的边是

。对应位置点A和点D、点B和点F、点C和点E。对应角对应角对应边第1章三角形的初步知识1.5三角形全等的判定

三角形全等的判定定理（SAS）思考(2)三条边(1)三个角(3)两边一角(4)两角一边

当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:SSS不能!?继续探讨三角形全等的条件：两边一角思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC图一图二在图一中，∠A是AB和AC的夹角，符合图一的条件，它可称为“两边及其夹角”。符合图二的条件，通常说成“两边和其中一边的对角”探究

在纸上的不同位置分别画一个三角形,它的一个角为50°,夹这个角的两边分别为2cm,2.5cm.将这两个三角形叠在一起,它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？探究在△ABC和△A’B’C’

中,∠ABC=∠A’B’C

,AB=A’B’,BC=B’C’

.

(1)△ABC和△A’B’C’

的位置关系如图

A’B’C’探究(2)△ABC和△A’B’C’

的位置关系如图.

（1）在△ABC和△A’B’C’

中,∠ABC=∠A’B’C’

,AB=A’B’,BC=B’C’

.

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.(可简写成“边角边”或“SAS”).S——边

A——角结论注意：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.(即没有“边边角”或“SSA”这种判定定理).例2

已知：如图,AB和CD相交于点O,且AO=BO,CO=DO.求证：△ACO≌△BDO.“边角边”举例证明：在△ACO和△BDO中,AO=BO,∠AOC=∠BOD（对顶角相等）,CO=DO,∴△ACO≌△BDO（SAS）.全等三角形的判定SSS1．掌握三角形全等的“边边边”定理．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

①AB=DE②BC=EF③CA=FD

④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠FABCDEF

1、什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫全等三角形。2、全等三角形有什么性质？1.满足这六个条件可以证明△ABC≌△DEF吗？2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能证明△ABC≌△DEF吗?思考：①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？探索三角形全等的条件已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？

这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等⑴三个角已知两个三角形的三条边都分别为3cm，4cm，6cm。它们一定全等吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm⑵三条边问题：把你画的三角形与其他同学所画的三角形进行比较，它们能够互相重合吗？三角形全等的条件：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）探索三角形全等的条件证明：∵BD=CE，

∴BD-ED=CE-ED，

即BE=CD。CABDE在△AEB和△ADC中，AB=AC，AE=AD，BE=CD，∴△AEB≌△ADC(sss)

例：如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB≌△ADC.全等三角形的判定AAS两边分别相等且其一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等3cm2.5cm2.5cm3cm45°45°两角一夹边(ASA)两角一对边(AAS)?引入新课学习目标1．掌握三角形全等的“角角边”定理．2．能根据条件选择合适的判定进行推理论证。△ABC与△DEF中，AB=DE,∠A=∠D,∠C=∠F.CABＦＤＥ预习反馈CAB角角边公理:两角分别相等及其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等.(AAS)ＦＤＥ在△ABC与△DEF中，AB=DE,∠A=∠D,∠C=∠F.

∴△ABC≌△DEF（AAS）预习反馈全等三角形的判定方法边角边SAS有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.角边角ASA角角边AAS有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.两角分别相等及其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等

第1章三角形的初步知识1.6尺规作图基本作图在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺规作图，通常称基本作图.其中,直尺是没有刻度的；一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的；

下面介绍两种基本作图：1、作一条线段等于已知线段

利用直尺和圆规可以作出很多几何图形，你想知道我们是如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的吗？已知：线段AB．求作：线段A’B’，使A’B’＝AB．AB作法与示范：(1)

作射线A’C’；A’C’(2)

以点A’为圆心，以AB的长为半径画弧，

交射线A’C’于点B’，B’A’B’就是所求作的线段。示

范作法已知：∠AOB。BOA求作：∠A’O’B’

，使∠A’O’B’=∠AOB。O’A’(2)以点O为圆心，任意长为半径交OA于点C，(3)以点O’为圆心，画弧，

CD同样(OC)长为半径画弧，C’(4)以点C’为圆心，CD长为半径画弧，

D’(5)过点D’作射线O’B’.B’∠A’O’B’就是所求的角.作法

示范(1)作射线O’A’；交OB于点D；

交O’A’于点C’；

交前面的弧于点D’；（2）作一个角等于已知角

你能画出红球在第一次反弹后的运动路线吗？

用一用数学小知识打台球时，球的反射角总是等于入射角.入射角反射角O1、已知：∠AOB。利用尺规作：∠A’O’B’，使∠A’O’B’=2∠AOB.BOA独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。作法一:CA’B’∠A’O’B’为所求.BOA作法二:CDC’EB’O’A∠A’O’B’为所求.已知，求作∠ABC，使∠ABC

＝＋尺规作图：ba独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。本节课你学到了什么?画一个角等于已知角；画一条线段等于已知线段。画角、线段的倍数、和、差。画法的语言：（1）画射线××；（2）以点×为圆心，以××长为半径画弧，交于点×；

（3）∠×就是所要求的角。第2章特殊三角形2.1图形的轴对称欣赏下列图片，你有什么发现动

如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？合作学习对于以上各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪些方法？用对折的方法判断一个图形是不是轴对称图形2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC。（1）四边形ABDC是轴对称图形吗？如果你认为是，请说出它的对称轴。与点B对称的点是哪一个点？（2）连结BC，交AD于点E。把四边形ABDC沿AD对折，BE与CE能重合吗？∠AEB与∠AEC呢？由此你得到什么结论？轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。EABCD合作学习

轴对称图形中沿对称轴对折后能重合的两个点称为对称点。例分别画出下列轴对称图形的对称轴：解：（1）如图2-8，作线段AB的垂直平分线l,直线l就是所求的对称轴。l（2）如图2-9，作线段CD的垂直平分线m,直线m就是所求的对称轴。AB图2-8图2-9m图2-9mFE想一想如图2-9，怎样找出点E和点F的对称点？过点E作EM⊥直线m，交直线m于点M，延长EM到点N，使MN=EM,点N即点E的对称点。M

NG同理可找到点F的对称点G。

如图，已知△ABC和直线m.以直线m为对称轴，求作以A,B,C的对称点A’,B’,C’为顶点的△A’B’C’

。mABCA’C’B’作法:1.作AP⊥直线m于点P，延长AP至点A',使AP'=AP,则点A'就是点A关于直线m的对称点.

3.依次连结A'B',B'C',C'A'.

则△A'B’C'就是所求作的三角形。

2.类似地,作点B关于直线m的对称点B',点C关于直线m的对称点C'.P例1

如图，已知△ABC和直线m.以直线m为对称轴，求作以A,B,C的对称点A’,B’,C’为顶点的△A’B’C’。mABCA’C’B’P例1沿直线m折叠，那么△A’B’C’就和△ABC重合，这时我们称△A’B’C’和△ABC关于直线m成轴对称。由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴。课内练习1.线段、角是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请分别说出它们的对称轴。2.如图的京剧脸谱是一个轴对称图形。（1）画出这个图形的对称轴。（2）A,B是这个图形上的两个点，分别作出它们的对称点。请用轴对称的知识把下列图形进行归类，并帮它们找到家。一般等腰三角形等腰梯形正方形一般长方形等边三角形一般三角形圆一般梯形一般平行四边形一条对称轴一般等腰三角形等腰梯形两条对称轴长方形三条对称轴等边三角形四条对称轴正方形无数条对称轴圆归类2.在26个英文字母中，有几个是轴对称图形？1.在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这几个数字中，哪几个是轴对称图形？0383.你能说出汉字中哪些是轴对称图形吗？中田K

古罗马有一位将军，他每天都要从营地A出发，到河边给马饮水，再到河岸同侧的指挥所B处开会。他经常想一个问题：应该沿怎样的路线行走才能使路程最短？请你帮他想一想，并画出最短的路线。B′PBA原题模型BAa变式如图,已知点A是锐角∠MON内的一点,试分别在OM,ON上确定点B，点C，使△ABC的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点(要求画出草图,保留作图痕迹).MONAA′A〞BC——对称轴有两条第2章特殊三角形2.2等腰三角形1.以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（）课前热身A.2,2,5B.3,3,5C.1,2,1D.4,9,4B已知线段a=4厘米，b=6厘米（如图），用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a。ab画一画观察这两个三角形的边长有什么特点？335CBAACB有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

腰腰底边底角底角顶角等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。若AB=AC,则在等腰三角形ABC中：说一说几何语言：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。1、如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。你能在图中找到几个等腰三角形？说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。等腰三角形腰底边顶角△ABC△ABDAB和ACBC∠AAD和BDAB∠ADB找一找:如图，五角星中有

个等腰三角形。认一认10例1求证：等腰三角形两腰上的中线相等。补充：求证：等腰三角形两腰上的高相等。请回答下列问题：（1）等腰三角形的一边长为3，一边长为5，那么它的周长是______；（2）等腰三角形的一边长为3，一边长为7，那么它的周长是______；（4）等腰三角形的腰长是3，则底边长a的取值范围是______；11或13170<a<6（3）等腰三角形的一边长为4，周长为9，那么它的腰长是________；4或2.5（5）等腰三角形的底边长是3，则腰长a的取值范围是______。a＞1.5做一做

在等腰三角形ABC的纸片上，AD是顶角平分线，然后沿着AD所在的直线把△ABC对折，你发现了什么？由此你得出等腰三角形具有什么特征？１．等腰三角形是一个轴对称图形；2．顶角平分线所在的直线是它的对称轴。合作学习ABCD等腰三角形的轴对称性：等边三角形:(正三角形)三条边都相等的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。等边三角形有几条对称轴？几何语言：∵AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形。EBPDCA

在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=AE。AP是△ABC的角平分线。点D，点E关于AP对称吗？DE与BC有怎样的位置关系？请说明你的判断。例2合作学习PBFECA●●你能作出点E，点F和点Q关于AP对称的对称点吗？问2：若AE≠AF，那么点E，点F关于AP对称吗？●Q已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。ADCB

3.在平面内,分别用3根、5根、6根火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形？通过尝试，完成下面的表格。7根火柴棒呢？8根呢？9根呢?你发现了什么规律？火柴棒356789示意图形状●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●等边三角形等腰三角形等边三角形等边三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性质定理(1)有两边相等的三角形叫做等腰三角形.ACB腰腰底边顶角底角底角等腰三角形是轴对称图形.对称轴是顶角平分线所在的直线.旧知回顾找出其中能够重合的线段和角，填入下表：ABCD重合的线段重合的角AB=ACBD=CDAD=AD∠B=∠C∠ADB=∠ADC∠BAD=∠CAD

等腰三角形除了两腰相等以外,

你还能发现它的其他性质吗?探究新知等腰三角形的两个底角相等.已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=C.想一想：1.如何证明两个角相等？议一议：2.如何构造两个全等的三角形？ABCD已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：作顶角的平分线AD，则∠1=∠2.AB=AC(已知)，∠1=∠2(已作)，AD=AD(公共边)，∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法一：作顶角的角平分线在△BAD和△CAD中，12ABCD作底边的中线AD，则BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共边)，∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).在△BAD和△CAD中，方法二：作底边上的中线证明：已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.等腰三角形的性质1：

等腰三角形的两个底角相等.在同一个三角形中，等边对等角.用符号语言表示为：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等）.

CAB探究归纳例1求等边三角形ABC三个内角的度数.分析：利用“等边对等角”分别得∠A=∠B，∠B=∠C，因此∠A=∠B=∠C=60°.例题探究推论：等边三角形的各个内角都等于60°.例2求证：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两条角平分线.求证：BD=CE.证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）.∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠CBD=∠ABC,∠BCE=∠ACB（角平分线的定义），∴∠CBD=∠BCE.又∵BC=CB（公共边），∴△BCE≌△CBD（ASA）.∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACD=100°,则∠A=__________度.1.等腰三角形的一个角为70°,它的另外两个角为

______________________________.

70°,

40°

或

55°,

55°20课堂练习3.如图，AD，BE是等边三角形ABC的两条角平分线，AD，BE相交于点O.求∠AOB的度数.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°.∵AD，BE是等边三角形ABC的角平分线，∴∠BAO=∠ABO=30°，∴∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=120°.2.3等腰三角形的性质定理（2）有两条边相等的三角形叫等腰三角形.2、什么叫做等腰三角形？1、什么叫做轴对称图形？答：把一个图形沿着一条直线折叠后,直线两侧的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.也就是说等腰三角形有两边相等.旧知回顾(1)等腰三角形是轴对称图形.(2)顶角平分线所在的直线是它的对称轴.3、等腰三角形的轴对称性:4、等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等.

简单的说在同一个三角形中，等边对等角.5、三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

等边三角形的各个内角相等，都等于60°.现在请同学们先在纸上画一个等腰三角形，再将刚才所画的等腰三角形对折，使两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD，你能发现什么现象呢？DABC探究新知

如图，在△ABC中，AB=AC,AD是角平分线.在图中找出所有相等的线段和相等的角.由此你发现了等腰三角形还有哪些性质？ABDC请大家尽可能多地说出结论！等腰三角形的性质定理2

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一.等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.探究归纳ABCD（1）如果AD是等腰三角形顶角的平分线，那么AD也是

、

.（2）如果AD是等腰三角形底边上的中线，那么AD也是

、

.（3）如果AD是等腰三角形底边上的高线，那么AD也是

、

.底边上的高线底边上的中线顶角的平分线底边上的高线底边上的中线顶角的平分线用文字语言表示为：在△ABC中（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠____=∠____，____=____；（2）∵AB=AC，AD是中线，∴∠____=∠____，____⊥____；（3）∵AB=AC，AD是角平分线，∴____⊥____，____=____.CAB12D用符号语言表示为：12BDCDADBC12ADBCBDCDE例3.已知：如图AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC，求证：AD⊥BC.证明：延长AD，交BC于点E.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，AD=AD.又∵∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴AE⊥BC,即AD⊥BC.例题探究例4.已知线段a,h,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高为h.ha作法:1.作线段BC=a.2.作BC的中垂线m,交BC于点D.3.在直线m上截取DA=h,连结AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.aBChAD课堂练习判断：1、等腰三角形的顶角一定是锐角.2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、

钝角.3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边.4、等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数一共能画出9条.5、等腰三角形底边上的中线一定垂直于底边.（×）（×）（√）（×）（√）2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点D，E为AD上的一点，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G.求证：EF=EG.等腰三角形的性质文字叙述几何语言等腰三角形的两个底角相等.(在同一个三角形中，等边对等角)∵AB=AC，∴∠B=∠C.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线互相重合.（简称等腰三角形三线合一）∵AB=AC，∠1=∠2，

∴AD⊥BC，BD=CD.推论：等边三角形各角都相等，并且每一个角都等于60度.课堂小结第2章特殊三角形2.4等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质:复习回顾:2、等腰三角形的两个底角相等.(在同一个三角形中,等边对等角)1、等腰三角形的两腰相等.3、等腰三角形三线合一.顶角平分线、底边上的中线和底边上的高.等腰三角形的判定方法：1、有两边相等的三角形是等腰三角形。(定义)两个角相等的三角形会是等腰三角形吗？如图，在ΔABC中，∠B=∠C，判断AB和AC是否相等，并说明理由。ACBD合作学习:在ΔABD和ΔACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴ΔABD≌ΔACD(AAS)，∴AB=AC.证明：过点A作AD⊥BC于点D.“在同一个三角形中,等角对等边。”2、如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．等腰三角形的判定方法：“在同一个三角形中,等边对等角。”辨一辨：1、有两边相等的三角形是等腰三角形。性质判定在同一个三角形中,等角对等边

问：如图,下列推理正确吗?ABCD21∵∠1=∠2，

∴

BD=DC.（等角对等边）∵∠1=∠2，

∴

DC=BC.ABCD21（等角对等边）错，因为都不是在同一个三角形中。1.在△ABC中,已知∠A=40°,∠B=70°,判断△ABC是什么三角形,为什么?答：等腰三角形。理由：∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形.2、已知：如图，∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,计算∠1和∠2的度数，并说明图中有哪些是等腰三角形。ABCD36°1236°°72答：∠1=72°，∠2=36°.△ABC，△ABD，△BDC是等腰三角形。练一练1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，∠1=∠2。说明△ABC的等腰三角形的理由. 变1.已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.求证:BD=CE.ABCDE12证明:∵∠1=∠2（已知），∴AD=AE（在同一个三角形中，等角对等边）.∵DE∥BC（已知），∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠B=∠C.∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边），∴AB－AD=AE－AC，即BD=CE.例：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角AC的方向前进至点C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是河宽（即A,B之间的距离）．这个方法正确吗？请说明理由．说明线段相等的方法:1、说明线段所在的两个三角形全等。2、说明同一个三角形中线段所对的两个角相等。正确.理由：∵∠DAC=∠C+∠ABC（三角形外角和的性质），∴∠ABC=∠DAC-∠ACB=60°-30°=30°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）.即AC的长就是河宽.想一想：还有其它测量河宽的方法吗？∠C=30°，∠DAC=60°，（1）一个三角形还满足什么条件时会成为等边三角形？①三个角都相等的三角形是等边三角形．探索发现②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.点拨：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．三条边都相等的三角形是等边三角形．证明：三个角都相等的三角形是等边三角形．已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B，∴BC=AC(在同一个三角形中，

等角对等边)．又∵∠A=∠C，∴BC=AB(在同一个三角形中，

等角对等边)．∴AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形．CBA证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形

中，等角对等边).∴∠A=60°(三角形的内角和定理)，∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．求证:△ABC是等边三角形．第一种情况：有一个底角是60°；ACB60°证明:∵AB=AC，∠A=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等角对等边)

∴∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．第二种情况：顶角是60°；已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°．求证:△ABC是等边三角形．ACB60°等边三角形的判定定理：①有一角是60°的等腰三角形是等边三角形．②三个角都相等的三角形是等边三角形.第2章特殊三角形2.5逆命题和逆定理如图2-26，有甲、乙两个三角形.甲三角形的内角分别为10°,20°,150°；乙三角形的内角分别为80°,25°,75°.你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗?画一画,并标出各角的度数.

下列句子是命题的是（）A.画∠AOB=45°B.小于直角的角是锐角吗？C.连结CDD.同位角相等一般地，判断某一件事情的句子叫做命题.D知识回顾命题的结构：命题由条件和结论两部分组成.命题有真有假，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.填表：a＝ba2＝b2⑷如果a2＝b2，那么a＝ba2＝b2a＝b⑶如果a＝b，那么a2＝b2两直线平行同位角相等⑵同位角相等，两直线平行同位角相等两直线平行⑴两直线平行，同位角相等结论条件命题

观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？a＝ba2＝b2⑷如果a2＝b2，那么a＝ba2＝b2a＝b⑶如果a＝b，那么a2＝b2两直线平行同位角相等⑵同位角相等，两直线平行同位角相等两直线平行⑴两直线平行，同位角相等结论条件命题

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题，同样，每个假命题的逆命题也不一定是假命题。同位角相等，两直线平行.(2)同位角相等.相等的角是同位角.(3)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。说出下列命题的逆命题，并判定踏是真命题还是假命题：高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。(1)两直线平行，同位角相等.真命题真命题假命题假命题真命题假命题判断下列说法是否正确？请说明理由（1）假命题没有逆命题；（2）真命题没有逆命题；（3）每个命题都有逆命题；（4）真命题的逆命题是真命题.请举例说明一个原命题是真命题，逆命题也是真命题；有没有原命题是真命题，而逆命题是假命题的例子？√×××⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？AB线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等ODCP⑶请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.例1、按要求作答：APB已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝ＰＢ求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线上.作PC⊥AB于点O.OC证明:∵PA=PB，PO⊥AB，∴OA=OB（等腰三角形三线合一）.∴PC是AB的垂直平分线.∴点P在线段AB的垂直平分线上.解:这个定理的逆命题是:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．⑵当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；⑴当点P不在线段AB上时，ABPPPPPP∴综上所述，点P在线段AB的垂直平分线上.

如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理.(这是一个真命题)请说出三对互逆定理.线段垂直平分线的性质定理：

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等.线段垂直平分线性质定理的逆定理：下列说法哪些正确，哪些不正确？（1）每个定理都有逆定理。（2）每个命题都有逆命题。（3）假命题没有逆命题。（4）真命题的逆命题是真命题。√×××辨一辨例2、说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由。解：逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”.说明一个命题是真命题需经过证明，而说明一个命题是假命题只需举一个反例。1.写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假：（1）同位角相等；（2）如果|a|=|b|，那么a=b；（3）等边三角形的三个角都是60°.逆命题：相等的角是同位角.假命题

逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|.

真命题

逆命题：三个角都是60°的三角形是等边三角形

真命题做一做做一做写出定理“等腰三角形底边上的高线和中线互相重合”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。1、原命题、逆命题、互逆命题的概念.2、原定理、逆定理、互逆定理的概念.3、线段中垂线定理的逆定理.小结第2章特殊三角形2.6直角三角形直角三角形的定义：

有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形．日常生活中常见的直角三角形有哪些? Ｃ

Ｂ

直角边直角边Ａ

斜边△ABC是直角三角形，用符号记作:

Rt△ABC

斜边直角边直角边1.直角三角形的内角有什么特点?2.直角三角形的两个锐角之间有什么关系?猜想：直角三角形的两个锐角互余Ｃ

Ｂ

Ａ

证明：在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)，∠C=90°(已知)，∴∠A+∠B+90°=180°，∴∠A+∠B=180°—90°=90°，

即∠A+∠B=90°.

ABC已知：在△ABC中，∠C＝90°，

求证：∠A＋∠B＝90°.结论：

直角三角形的两个锐角互余.证明猜想上图中的三角板所表示的三角形有什么特征？（从边、角方面去说明）等腰直角三角形两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.ACB它有什么性质呢？1）具有等腰三角形的所有性质；2）具有直角三角形的所有性质.∠C=90°，∠A=∠B=45°.解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°

∵AD⊥BC(已知)，，，∴∠CAD+∠C=90°，

∴∠CAD=90°—∠C

=90°—45°

=45°=∠C，

∴AD=DC(等角对等边).同理可得，AD=BD，

∴AD=BD=CD.

如图：在等腰直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，则AD＝BD＝CD．请说明理由．

A

B

C

D

例2(直角三角形的两个锐角互余).

合作学习

任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.ABCD用数学语言表述为：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝BD＝AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.练一练：1、已知在Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上的中线的长为______.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA=