空间角 新高考 数学 一轮复习专项提升 精讲精练

7.3空间角（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一线线角【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022·新疆·三模（理））在正方体中，E为的中点，平面与平面的交线为l，则l与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2022·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．考点二线面角【例2-1】（2022·黑龙江）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，且.(1)求证：平面平面；(2)若，，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.【例2-2】（2022·云南）已知正方体的棱长为1，点P在线段上，且，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（

）A．1 B． C． D．【例2-3】．（2022·河南安阳）如图，在圆锥中，为圆锥的底面直径，为等腰直角三角形，B为底面圆周上一点，且，M为上一动点，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·河南安阳）如图，在四面体ABCD中，，，E为BD的中点，F为AC上一点.(1)求证：平面平面BDF；(2)若，，，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值.2．（2022·北京）如图，四棱锥的底面是梯形，，，E为线段中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．考点三二面角【例3-1】（2022·云南师大附中）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【例3-2】（2022·青海·海东市第一中学）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，，，M是棱上一点，且.(1)求证：平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.【一隅三反】1．（2022·天津·高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．2．（2022·江西）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，D为上靠近A的三等分点．(1)若，求证：平面平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．3．（2022·广西玉林·模拟预测（理））如图，在直三棱柱中，D，E别是棱、上的点，，．(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面ABC所成的角为，且，求二面角的大小．考点四空间角的综合运用【例4】（2022·重庆南开中学）（多选）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（

）A．点Q的轨迹为线段B．与CD所成角的范围为C．的最小值为D．二面角的正切值为【一隅三反】1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）（多选）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长