时间序列模型课件

《Econometrics》

《计量经济学》

攸频

nkeconometrics@126.com

南开大学经济学院数量经济研究所

第十二章时间序列模型

§12.1时间序列定义§12.2时间序列模型的分类§12.3时间序列模型的建立§12.4时间序列模型的识别§12.5时间序列模型的估计§12.6时间序列模型的检验§12.7时间序列模型的预测§12.8案例分析§12.9回归与ARMA组合模型时间序列分析方法由Box-Jenkins(1976)提出。这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。

注意序列的平稳性。如果时间序列非平稳，应先通过差分使其平稳后，再建立时间序列模型。估计ARMA模型方法是极大似然法。对于给定的时间序列，模型形式的选择通常并不是惟一的。在实际建模过程中经验越丰富，模型形式选择就越准确合理。ARIMA模型的特点让数据自己说话（第3版282页）当代计量经济模型体系§12.1时间序列定义一、随机过程与时间序列二、平稳性三、非平稳性四、补充：差分算子与滞后算子五、两种基本的随机过程：白噪声和随机游走

随机过程：随时间由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，用{xt，t∈T}表示，简记为{xt}或xt。时间序列：随机过程的一次观测结果(一次实现),时间序列中的元素称为观测值。时间序列也用{xt，t∈T}表示，简记为{xt}或xt。假设样本观测值来自无穷随机变量序列那么这个无穷随机序列称为随机过程。

一、随机过程与时间序列（第3版282页）随机过程与时间序列的关系

协方差平稳过程（covariancestationaryprocess）

如果一个随机过程xt满足以下性质，(1)均值：E(xt)=(常数)(2)方差：var(xt)=2

(常数)(3)自协方差：k=E[(xt-)(xt+k-)]=k2（一种更为简便的方法是用自相关系数来描述自协方差，即通过自协方差除以方差进行标准化后而得到ρk=rk/r0。）这时称xt是协方差平稳过程，也称宽平稳或弱平稳过程。

平稳过程指随机过程的统计规律不随时间的推移而发生变化。直观上，平稳的时间序列可看作一条围绕均值上下波动的曲线。二、平稳性（stationary）单整过程（unitrootprocess）三、非平稳性（non-stationary）非平稳过程指随机过程的统计规律随着时间的推移而发生变化。这些非平稳的时间序列经过差分变化以后，可以转变为平稳的。

对于随机过程，如果必须经过d次差分之后才能变换成为一个平稳的过程，而当进行d-1次差分后仍是一个非平稳过程，则称此随机过程具有d阶单整性，记为检验时间序列的平稳性是建模的基础！差分指时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算。一阶差分可表示为：xt-xt-1=xt=(1-L)xt=xt-Lxt

其中称为一阶差分算子；滞后算子：用L表示定义一阶滞后算子为：Lxt=xt-1k阶滞后算子定义为：Lnxt=xt-n

四、补充：差分算子与滞后算子1.白噪声声（whitenoise）过程程若随机过程{xt}(tT)满足以下下条件则称为为白噪声过程程(1)E(xt)=0(2)Var(xt)=2,tT(3)Cov(xt,xt-k)=0,(t-k)T,k0五、两种基本本的随机过程程a.由白噪声过程程产生的时间间序列b.日元对对美元汇率的的收益率白噪声是平稳稳的随机过程程经典线性回归归对残差的要要求是一个白白噪声过程（第3版283页）2.随机机游走（randomwalk））过程对于xt=xt-1+ut，若ut为白噪声过程程，称xt为随机游走过过程。随机游走过程程的均值为零，方方差为无限大大。xt=xt-1+ut=ut+ut-1+xt-2=ut+ut-1+ut-2+…(1)E(xt)=E(ut+ut-1+ut-2+…)=0,(2)Var(xt)=Var(ut+ut-1+ut-2+…)=随机游走过程程是非平稳的随机机过程。对随机游走进进行一阶差分分，可将其转转化为平稳过过程。xt=xt-xt-1=ute.由随机游走走过程产生生时间序列列f.日元对美元元汇率（第3版291页））§12.2时间间序列模型型的分类一、自回归归过程AR(p)二、移动平平均过程MA(q)三、自回归归移动平均均过程ARMA(p,q）四、单整自自回归移动动平均过程程ARIMA(p,d,q)一、自回归过过程AR(p)1.p阶自回归过程程AR(p)xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut其中：i,i=1,……p是自回归参数数，ut是白噪声过程程。xt是由它的p个滞后变量的的加权和以及ut相加而成。上式用滞后算算子表示为：：(1-1L-2L2-…-pLp)xt=L)xt=utL)=1-1L-2L2-…-pLp称为特征多项项式或自回归归算子平稳性：若特征方程z)=1-1z-2z2-…-pzp=(1–G1z)(1–G2z)...(1––Gpz)=0的所有根根的绝绝对值值都大大于1，则AR(p)是一一个平平稳的的随机机过程程。自回归归过程程的变变量xt，仅仅依依赖于于它的的各个个前期期的值值再加加上一一个误误差项项。之所以以称之之为特征方方程，，是因为为它的根决决定了了过程程xt的特征征。（第3版284页））（第3版284页））2.AR(1)过过程分分析xt=1xt-1+ut平稳性性的条条件是是特征征方程程(1-1L)=0根的的绝对对值必必须大大于1，满满足|1/1|1，也也就是是|1|<1xt=ut+1ut-1+12xt-2=ut+1ut-1+12ut-2+…（短记忆过程程）因为ut是一个白白噪声过过程，所所以对于于平稳的的AR(1)过过程：E(xt)=0Var(xt)=u2+12u2+14u2+…=上式说明明若保证证xt平稳，必必须保证证|1|<1。中国旅游游人数差差分序列列（第3版版284页）在Equationspecification对话话框输入入：D(Y)CAR(1)（第3版版286页）习题1为了验证证这一性性质，首首先将yt-1用滞后算算子表示示Lytyt=Lyt+utyt-Lyt=ut（1-L）yt=ut特征方程为：：1-z=0其中有根z=1落在单位位圆上，而不不是单位圆之之外。该过程是非平平稳的，它是是随机游走过过程。下面的模型是是平稳的吗？？yt=yt-1+utxt=1xt-1+2xt-2+ut平稳性的条件件是特征方程程1-1L-2L2=0的的两两个个根根在在单单位位圆圆外外：：3.AR(2)过过程程分分析析2+1<12-1<1|2|<1解得得：：（第第3版版286页页））4.AR(p)的的平平稳稳性性条条件件(1)AR(p)平平稳稳性性的的必必要要条条件件是是(p个自自回回归归系系数数之之和和小小于于1)：1+2++p<1(2)AR(p)平平稳稳性性的的充充分分条条件件是是特特征征方方程程的的根根在在单单位位圆圆之之外外。。判断断根根的的可可能能情情况况1.q阶移移动动平平均均过过程程MA(q)xt=ut+1ut–1+2ut-2+…+qut–q=(1+1L+2L2+…+qLq)ut=L)ut其中：1,2,…,q是回归参参数，ut为白噪声声过程。。xt是由q+1个ut和ut滞后项的的加权和和构造而成成。“移动””是指随随着时间间t而变化，，“平均均”是指指加权和和之意。。任何一个个MA(q)都是由由q+1个个白噪声声变量的的加权和和组成，，所以任何一个个移动平平均过程程都是平平稳的。与移动平平均过程程相联系系的一个个重要概概念是可逆性。二、移动动平均模模型MA(q)对于一个个移动平平均模型型，yt仅仅是白白噪声过过程的线线性组合合，所以依依赖于当当期和先先前时期期的白噪噪声扰动动项的值值。（第3版版286页）

移动过程具有可逆性的条件是：可逆性条条件防止止了在AR（∞∞）下出出现的发发散性。。（第3版版287页）2.MA(q)的可逆逆性条件件移动平均均过程具具有可逆逆性的条条件是特特征方程程：z)=(1+1z+2z2+…+qzq)=0的的全部根根的绝对对值必须须大于1。注意：对对于无限限阶的移移动平均均过程xt=ut+1ut–1+2ut-2+…+qut–q+…=ut(1+1L+2L2+…)方差为为：Var(xt)=很明显显，虽虽然有有限阶阶MA过程程都是是平稳稳的，，但对对于无无限阶阶MA过程程还须须另加加约束束条件件才能能保证证其平平稳性性，即即{xt}的方方差必必须为为有有限值值，该该条件件为：：（第3版288页））3.MA(1)过过程分析xt=(1+1L)ut具有可逆性性的条件是是（1+1L)=0的根根在单位圆圆之外，即即|1/1|>1,或|1|<1。。当|1|<1时时，MA(1)过程程应变换为为ut=(1+1L)–1xt=(1-1L+12L2-13L3+…)xt这是一个无限阶的以以几何衰减为权数的自自回归过程程。对于MA(1)过程程有E(xt)=E(ut)+E(1ut-1)=0Var(xt)=Var(ut)+Var(1ut–1)=(1+12)u2（第3版288页））（第3版287页））不同参数的的移动平均均过程：4.自自回归与移移动平均过过程的关系系(1)一一个平稳的的AR(p)过程：(1-1L-2L2-…-pLp)xt=ut可以转换为为一个无限限阶的移动动平均过程程：xt=(1-1L-2L2-…-pLp)-1ut=L)-1ut(2)一个可逆的的MA(p)过程：xt=(1+1L+2L2+…+qLq)ut=L)ut可以转换成成一个无限限阶的自回回归过程：：(1+1L+2L2+…+qLq)-1xt=L)-1xt=ut(3)对对于AR(p)过程只需需考虑平稳稳性问题，，条件是L)=0的根根（绝对值值）必须大大于1。不不必考虑可可逆性问题题。(4)对对于MA(q)过程只需需考虑可逆逆性问题，，条件是L)=0的根根（绝对值值）必须大大于1，不不必考虑平平稳性问题题。自回归移动动平均（autoregressivemovingaverage）过程:其平稳性依依赖于自回回归部分:(L)=0的根全部部在单位圆圆之外。其可逆性依依赖于移动动平均部分分：(L)=0的根全部部在单位圆圆之外。实际中最常常用的是ARMA(1,1)过程:xt-1xt-1=ut+1ut-1(1-1L)xt=(1+1L)ut只有有当当–1<1<1和和––1<1<1时，，上述述模模型型才才是是平平稳稳的的，，可可逆逆的的。。xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q三、自回回归归移移动动平平均均过过程程ARMA(p,q)（第第3版版288页页））四、、单单整整自自回回归归移移动动平平均均过过程程ARIMA(p,d,q)根据据ARMA特特征征方方程程(L)=0的的根取取值值不不同同，，分分为为三三种种情情形形：：(1)若若全部部根根取取值值在在单单位位圆圆之之外外，，则则该该过过程程是是平稳的；(2)若某某个根或全部部根在单位圆圆之内，则该该过程是强非平稳的。例如，xt=1.3xt-1+ut（特征方程的的根=1/1.3=0.77）上式两侧同减减xt-1得：xt=0.3xt-1+ut（仍然非平稳稳）。(3)如果果特征方程的的若干根取值值恰好在单位位圆上，则这这种根称为单位根，这种种过程也是非平稳的。定义：假设一个随机机过程含有d个单位根，其其经过d次差分之后可可以变换为一一个平稳的自自回归移动平平均过程。则该随机过过程被称为单整自回归移移动平均过程程ARIMA(p,d,q)。（第3版290页）考虑随机过程程的一般表达达式：(L)dyt=(L)ut其中中(L)是是平平稳稳的的自自回回归归算算子子，，(L)d为广广义义自自回回归归算算子子，，(L)是是可可逆逆的的移移动动平平均均算算子子。。若取取xt=dyt，则则上上式式可可表表示示为为:(L)xt=(L)ut即yt经过过d次差差分分后后，，可可用用一一个个平平稳稳的的、、可可逆逆的的ARMA过过程程xt表示示,称称yt为单单整整(单单积积)自自回回归归移移动动平平均均过过程程ARIMA(p,d,q)。。当p≠0,d=0,q≠0时时，，当d=0,p=0,q≠0时时当d=0,p≠0,q=0时时，，当p=d=q=0时时，，ARIMA变变成成ARMA(p,q)过过程程;ARIMA变变成成MA(q)过过程程;ARIMA变变成成AR(p)过过程程;ARIMA变变成成白白噪噪声声过过程程;几种种常常见见的的非非平平稳稳随随机机过过程程(1)ARIMA(0,1,0)过过程程yt=ut其中中p=q=0,d=1(L)=1-1L,(L)=1(2)ARIMA(0,1,1)过过程程yt=ut+1ut–1=(1+1L)ut其中中p=0,d=1,q=1,(L)=1,(L)=1+1L(3)ARIMA(1,1,0)过过程yt-1yt–1=ut其中p=1,d=1,q=0,(L)=1-1L,(L)=1(4)ARIMA(1,1,1)过过程yt-1yt-1=ut+1ut-1或(1-1L)yt=(1+1L)ut其中p=1,d=1,q=1,(L)=1-1L,(L)=1+1L建立时间序序列ARIMA(p,d,q)模型流程程图§12.3时间间序列模型型的建立（第3版302页））（第3版302页））（第3版301页））§12.3时间序列模型的建立与预测1、如何识别？？估计结果为为：Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+vt(8.7)(5.4)R2=0.38,Q(10)=5.2,Q(k-p-q)=Q0.05(10-1-0-1)=15.52、如何估计？？因为Q(10)=5.2<20.05(10-1-0)=16.9，故故可以认为为模型误差差序列为非非自相关序序列。模型参数都都通过了显显著性t检验。残差序列的的相关图和和偏相关图图3、如何检验模模型结果？？4、如何预预测？如何判别其其是自回归归过程还是是移动平均均过程？如何判别其其过程的阶阶数呢？所谓随机时时间序列模模型的识别别，就是对于一个平平稳的随机机时间序列列，找出生生成它的合合适的随机机过程或模模型，即判断该该时间序列列是遵循一一个纯AR过程、还还是遵循一一个纯MA过程或ARMA过过程。所使用的工工具主要是是：自相关函数数(autocorrelationfunction,ACF)偏自相关函函数(partialautocorrelationfunction,PACF)1.自自相关函函数定义平稳随机过过程{xt}的期望望为常数，，即E(xt)=其方差也是是常数：Var(xt)=E[(xt-E(xt))2]=E[(xt-)2]=x2随机变量量xt与xt-k的协方差差即滞后后k期的自协方差差为：k=Cov(xt,xt-k)=E[(xt-)(xt-k-)]序列k(k=0,1,…,K)称为为{xt}的自自协方差差函数。。当k=0时时:0=Var(xt)=x2自相关系系数：当k=0时时，有有0=1以滞后期期k为变量的的自相关关系数列列k(k=0,1,…,K)称为自自相关函函数。一、自相相关函数数（ACF）对于平稳稳序列有有。当1为正时，，自相关关函数按按指数衰衰减至零零，这种现象象称为拖尾。当1为负时，自相相关函数数正负交交错地指指数衰减减至零。图a.1>>0（经济问问题中常常见）图图b.-1<<0（经济问题中中少见）平稳AR(1)过过程的自相关关函数：k=1k（k0）2.平平稳自回归过过程的自相关关函数AR(p)过程的自自相关函数根据特征方程程根取值的不不同，自相关关函数有两种种不同表现：：当根为实数时时，自相关函函数随着k的增加呈现指数衰减；当特征方程含含有一对共轭轭复根时，自自相关函数按按正弦振荡形式式衰减。实际中平稳AR过程的自自相关函数常常表现为指数衰减和正正弦衰减混合形式。图a.两个个特征根为实实根图图b.两个个特征根为共共轭复根注意：当根取值远离离单位圆时，，k不必很大，自自相关函数就就会衰减至零零。当特征方程的的根接近1时时，自相关函函数将衰减的的很慢。3.移动平平均过程的自自相关函数（1）MA(1)过过程的自相关关函数xt=ut+1ut-1k=E(xtxt-k)=E[(ut+1ut-1)(ut-k+1ut-k-1)]当k=0时，，0=E(xtxt)=E[(ut+1ut-1)(ut+1ut-1)]=E(ut2+1utut-1+1utut-1+12ut-12)=(1+12)2当k=1时1=E(xtxt-1)=E[(ut+1ut-1)(ut-1+1ut-2)]=E(utut-1+1ut-12+1utut-2+12ut-1ut-2)=1E(ut-1)2=12当k1时时，k=E[(ut+1ut-1)(ut-k+1ut-k-1)]=0综合合以以上上三三种种情情形形，，MA(1)过过程程自自相相关关函函数数为为图a.10图b.10MA(1)过过程程的的自自相相关关函函数数具具有有截截尾尾特特征征（（当当k1时，k=0））（2）MA(q)过程程的自相相关函数数当kq时，k=0，，说明k(k=0,1,…)具有截尾尾特征。。注意此特征可可用来识识别MA(q)过程的阶数。4.ARMA(p,q)过程程的自相相关函数数ARMA(p,q)过程程的自相相关函数数表现形形式与AR(p)过程的的自相关关函数相相类似。。根据模模型中自自回归部部分的阶阶数p以及参数数i的不同，，ARMA(p,q)过程程的自相相关函数数呈指数数衰减和和（或））正弦衰衰减混合合形式。。相关图可可以识别别ARMA过程程中MA分量阶阶数p。5.相相关关图（Autocorrelogram）——估估计的自自相关函函数，样样本自相相关函数数当用样本本矩估计计随机过过程的自自相关函函数，则则称其为为相关图或估计的自相关关函数：其中，T是时间序列数数据的样本容容量。实际中中T不应太小。对于年度时间间序列数据，，相关图一般般取k=15就足足够了。相关图是对自自相关函数的的估计。由于于MA过程和和ARMA过过程中的MA分量的自自相关函数具具有截尾特性性，所以通过相关图可可以估计MA过程的阶阶数q。相关图是识别别MA过程阶阶数和ARMA过程中MA分量阶数数的一个重要要方法。虚线表示到中心线2个标准差宽度：ACF和PACF估计值值的方差近似似为T-1。在观察相关关图和偏相关关图时，若ACF和PACF估计值值的绝对值超超过2T-1/2（2个标准差差），就被认认为是显著不不为零。二、偏自相关关函数（PACF）之所以称“偏偏自相关函数数”，因为每每一个回归系系数kk恰好表示xt与xt-k在排除了其其中间变量量xt-1,xt-2,…,xt-k+1影响之后的自相关系系数。xt=11xt-1+utxt=21xt-1+22xt-2+ut……xt=k1xt-1+k2xt-2+…+kkxt-k+ut1.偏偏自相关函函数的定义义2.自自回归过程程的偏自相相关函数对于AR(1)过程程，xt=11xt-1+ut当k=1时，，110；当k>1时，，kk=0。所以AR(1)过过程的偏自相关函函数特征是是在k=1出现现峰值（11=1）然后截尾尾。图a.11>0图b.11<0对于AR(p)过程，当当kp时，kk0；当k>p时，kk=0。偏自相关函函数在滞后后期p以后有截尾尾特性，此特征可用用来识别AR(p)过程的阶阶数。注意对于MA(1)过程程：xt=ut+1ut-1整理：[1/(1+1L)]xt=ut，(1-1L+12L2-…)xt=ut,xt=1xt-1-12xt-2+13xt-3-…+ut当1>0时，，自回归系系数的符号号是正负交交替的；当1<0时，，自回归系系数的符号号全是负的的。因为MA(1)过过程可以转转换为无限限阶的AR过程，所所以其偏自相关函函数呈指数衰减特征。3.移移动平均过过程的偏自自相关函数数图a.10图b.10因为为任任何何一一个个可可逆逆的的MA(q)过过程程都都可可以以转转换换成成一一个个无无限限阶阶的的系系数数按按几几何何递递减减的的AR过过程程，，所所以以：：MA(q)过过程程的的偏偏自自相相关关函函数数呈呈缓缓慢慢衰衰减减特特征征。ARMA(p,q)过过程程的的偏偏自自相相关关函函数数也也是是无无限限延延长长的的，，其其表表现现形形式式与与MA(q)过过程程的的偏偏自自相相关关函函数数相相类类似似。。根根据据模模型型中中移移动动平平均均部部分分的的阶阶数数q以及及参参数数i的不不同同，，ARMA(p,q)过过程程的的偏偏自自相相关关函函数数呈呈指指数数衰衰减减和和（（或或））正正弦弦衰衰减减混混合合形形式式。。4.偏偏相相关关图图（PartialCorrelogram））对于于时时间间序序列列数数据据，，偏偏自自相相关关函函数数通通常常是是未未知知的的，，可可以以用用样样本本估计偏自相关关函数。因为AR过程程和ARMA过程中AR分量的偏自自相关函数具具有截尾特性性，所以可利用偏相关关图估计自回回归过程的阶阶数p。实际中对于偏偏相关图取k=15就足足可以了。ACF和PACF估计值值的方差近似似为T-1。所以在观察察相关图和偏偏相关图时，，若ACF和和PACF估估计值的绝对对值超过2T-1/2（2个标准差差），就被认认为是显著不不为零。用EViews计算估计计的自相关函函数和偏自相相关函数。点点击View选correlogram功能。虚线表示到中心线2个标准差宽度：特征总结自回归过程的的特点：自相关函数呈呈几何衰减；；其偏自相关函函数的非零个个数就等于AR模型的阶阶数。移动平均过程程的特点：其自相关函数数的非零个数数等于MA模模型的阶数；；偏自相关函数数呈几何衰减减。自回归移动平平均过程的特特点：自相关函数呈呈几何衰减；；偏自相关函数数呈几何衰减减。AR(1)实根AR(2)实实根AR(2)复复根MA(1)MA(2)MA(2)※※AR(1)AR(2)AR(2)MA(1)实根MA(2)实根根MA(2)复根AR(1)序序列与相关图图MA(1)序序列与相关图图（第3版304页）ARIMA模型识别举例例习题Yt的差分变量Yt的自相关图和和偏自相关图图如下，Yt有可能是个什什么形式的过过程？写出Yt的表达式。能能事先说出参参数的符号吗吗？§12.4时间序列模型型的估计对于时间序列列模型，一般般采用极大似然法估估计参数。需要说明的是是，在上述模模型的平稳性性、识别与估估计的讨论中中，ARMA(p,q)模型中均未未包含常数项项（漂移项））。如果包含漂移移项，该漂移移项并不影响响模型的原有有性质，因为为通过适当的的变形，可将将包含漂移项项的模型转换换为不含漂移移项的模型。。（第3版293页）Wold分解定理

（第3版第293页）Wold分解定理

（第3版第293页）Wold分解定理

Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+ut(8.7)(5.4)在Equationspecification对话框框输入：D(Y)CAR(1)注意：EViews输出结果表表示的是对序序列(Dyt-0.142862)估估计AR(1)模型Dyt=0.0076+0.2627(Dyt-1-0.0076)+0.2767(Dyt-3-0.0076)+ut(7.4)(3.0)(3.2)在Equationspecification对话框框输入：D(Y)CAR(1)AR(3)dLnyt=0.0271+ut+0.5963ut-1(2.1)(5.6)在Equationspecification对话框框输入：D(Y)CMA(1)Dyt=0.0367+0.7230(Dyt-1-0.0367)+ut+0.4758ut-1(0.7)(6.7)(2.8)在Equationspecification对话框框输入：D(Y)CAR(1)MA(1)习题习题

§12.5时间序列模型型的检验估计完模型后后，应对估计计结果进行诊诊断与检验。。估计的模型是是否成立主要要从以下几个个方面检查：：①模型参数数估计量必须须通过t检验；②模型的残差差序列必须通通过Q检验；③模型的全部特征根的的倒数都必须须在单位圆以以内（自回归、、移动平均两两部分满足平平稳性和可逆逆性）。同时也要尽量量做到：④模模型结构应当当尽量简练；；⑤参数稳定定性要好；⑥⑥预测精度要要高。残差序序列的的Q检验Q检验的的零假假设是是H0：1=2=……=K=0即模型型误差差项的的K阶自相相关系系数全全为零零，误误差项项是一一个白白噪声声过程程。Q统计量量定义义为：：其中，，T表示样样本容容量，，rk表示用用残差差序列列计算算的自自相关关系数数值，，K表示自自相关关系数数的个个数，，p表示模模型自自回归归阶数数，q表示移移动平平均阶阶数。。计算Q统计量量的值值。显显然若若残差差序列列不是是白噪噪声，，残差差序列列中必必含有有其他他成份份，自自相关关系数数不等等于零零，则则Q值将很很大。。反之之Q值将很很小。。判别规规则是是：若Q<2(K-p-q)，则接受受H0。若Q>2(K-p-q)，则拒绝绝H0。因为Q(10)=5.2<20.05(10-1-0)=16.9可以认认为模模型误误差序序列为为非自自相关关序列列。设对时时间序序列样样本{xt},t=1,2,……,T，所拟拟合的的模型型是ARMA(1,1)xt=1xt-1+ut+1ut-1则理论论上T+1期xt的值为为：xT+1=1xT+uT+1+1uT上式中1,1和uT用其估计值值代替,uT+1未知，但E(uT+1)=0，故取取uT+1=0，那么，xT+1的实际预测测式为：理论上xT+2的预测式是是：xT+2=1xT+1+uT+2+1uT+1，此时仍取取uT+1=0uT+2=0，则则xT+2的预测式是是：与此类推，，xT+3的预测式是是：随着预测期期的加长，，预测式中中移动平均均项逐步淡出预测模型，，预测式变变成了纯自自回归形式式。§12.6时间序列模模型的预测测对于MA(q)过程，，当预测期期超过q时，预测值值等于零。。若上面所用用的xt是一个差分分变量，设设yt=xt，则得到的的预测值相当当于,(t=T+1,T+2,……)。。因为yt=yt-1+yt所以原序列列T+1期预测测值应按下下式计算其中是是相应上一一步的预测测结果。file:li-12-1file:5arma07案例1（中中国人口时时间序列模模型）从人口序列列图可以看看出，我国国人口总水水平除在1960和和1961年出现回回落外，其其余年份基基本上保持持线性增长长趋势。51年间平平均每年增增加人口1423.06万人人，年平均均增长率为为16.8‰。由于于总人口数数逐年增加加，实际上上的年人口口增长率是是逐渐下降降的。把51年分为为两个时期期，即改革革开放以前前时期和改改革开放以以后时期，，则前一个个时期的年年平均增长长率为20‰，后一一个时期的的年平均增增长率为12.58‰。从人人口序列的的变化特征征看，这是是一个非平平稳序列。。中国人口序序列中中国人口口一阶差分分序列（第3版310页））人口序列yt的相关图，，偏相关图图人口差分序序列Dyt的相关图和和偏相关图图表达式是Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+ut(8.7)(5.4)R2=0.38,Q(10)=5.2,Q(k-p-q)=Q0.05(10-1-0)=16.9（1）t检验通过；；（2）Q检验通过；；（3）特特征根倒数数在单位圆圆之内EViews估计结结果是(Dyt-0.1429)的的AR(1)过程估估计结果，，而非Dyt的AR(1)过程估估计结果。。其中0.1429是用AR(1)模模型估计的的序列Dyt的均值，其其含义是51年间平平均年增加加人口数是是1428.62万万人。用样样本计算的的均值是0.1431。Q(10)=5.2。因为Q(10)=5.2<Q0.05(k-p-q)=Q0.05(10-1-0)=16.9，所以以模型的随随机误差序序列也达到到了非自相相关的要求求。特征根倒数在在单位圆之内内差分序列Dyt中的常数，在原序列yt中是斜率。（1）在打开开工作文件的的基础上，从从EViews主菜单中中点击Quick键，选选择EstimateEquation功能能。会弹出Equationspecification对话框。。输入1阶自自回归时间序序列模型估计计命令如下：：D(Y)CAR(1)其中C表示漂漂移项。点击击OK键。（2）模型中中若含有移动动平均项，EViews命令用MA(q)表示。（3）点击时时间序列模型型估计结果窗窗口中的View键，选选ResidualTests,Correlogram-Q-statistics功能，在在随后弹出的的对话框中指指定相关图的的最大滞后期期，比如选15，点击OK键，即可可得到模型残残差序列的相相关与偏相关关图以及Q统计量。（4）点击时时间序列模型型估计结果窗窗口中的Forcast键，在随后后弹出的对话话框中做出适适当选择，就就可以得到yt和Dyt的动态、静态态、结构、非非结构预测值值。附录：用EViews估估计时间序列列模型的方法法点击时间序列列模型估计结结果窗口中的的Forcast键，在在随后弹出的的对话框中做做出适当选择择，就可以得得到yt和Dyt的动态和静态预测值，结构预测和非结构预测值。12.788EViews7案例2天津津市GDP模模型（1978-2008）2009年天天津GDP的的预测值为：：7859.987亿元元2009年天天津GDP的的预测值为：：7983.388亿元元用1872-1994年年的日本人口口数（Y，单单位：亿人））序列的差分分序列（记作作：DY）得得估计模型和和模型残差序序列的相关图图。写出模型的估估计式。解释常数项的的实际含义。。求模型的漂移移项的值。写出估计模型型对应的特征征方程。计算特征根倒倒数-0.24+0.56i的模模等于多少。。说明此模型建建立的是否合合理？如果估估计结果为真真，Dyt的自相关函数数是拖尾的，，还是截尾的的？已知Dy1994=0.0027,Dy1992=0.00409,y1994=1.25034,试试对1995年的日本人人口总数Y1995做样本外静态态预测。并计计算预测误差差（给定y1995=1.25569亿））课堂练习用组合模型重重新考虑第六六章案例分析析Yt和Xt散点图残残差图注意：（1）R2值有所下降。。不应该不相相信估计结果果。原因是两两个回归式所所用变量不同同，所以不可以以直接接比较较确定定系数数R2的值。（2））两种种估计计方法法的回回归系系数有有差别别。计计量经经济理理论认认为回回归系系数广义最最小二二乘估估计量量优于于误差差项存存在自自相关关的OLS估计计量。所以以0.6782应该该比0.7118更更可信信。特特别是是最近近几年年，天天津市市城镇镇居民民人均均收入入的人人均消消费边边际系系数为为0.6782更可可信。。（3））用EViews生生成新新变量量的方方法：从工作作文件件主菜菜单中中点击击Quick键键，选选择GenerateSeries……功能能。打打开生生成序序列（（GenerateSeriesbyEquation））对话话框。。在对对话框框中输输入如如下命命令（（每次次只能能输入入一个个命令令），，Y=CONSUM/PRICEX=INCOME/PRICE按OK键键。。变变量量Y和和X将将自自动动显显示示在在工工作作文文件件中中。。组合合模模型型克克服服自自相相关关组合合模模型型结结果果：：GLS估估计计结结果果：：R2=0.95，，DW=2.31MARMA结结果果：：(3.54)(19.6)(4.34)R2=0.9938，，DW=2.25随机机误误差差项项已已不不存存在在自自相相关关。。例6.2天天津津市市保保费费收收入入和和人人口口的的回回归归关关系系本案案例例主主要要用用来来展展示示当当模模型型误误差差项项存存在在2阶阶自自回回归归形形式式的的自自相相关关时时，，怎怎样样用用广广义义差差分分法法估估计计模模型型参参数数。。1967~1998年年天天津津市市的的保保险险费费收收入入（（Yt，万万元元））和和人人口口（（Xt，万万人人））数数据据散散点点图图见见图图。。Yt与Xt的变变化化呈呈指指数数关关系系。。对对Yt取自自然然对对数数。。可可以以在在LnYt与Xt之间间建建立立线线性性回回归归模模型型:LnYt=0+1Xt+utYt和Xt散点图LnYt和Xt散点图组合模型型克服自自相关组合模型型结果：：GLS估估计结果果：R2=0.92，DW=2.31MARMA结果果：(-8.63)(15.3)(6.46)(-2.16)R2=0.99，DW=1.979、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。07:27:3407:27:3407:2712/24/20227:27:34AM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。12月-2207:27:3407:27Dec-2224-Dec-2212、故人江海海别，几度度隔山川。。。07:27:3407:27:3407:27Saturday,December24,202213、乍见翻翻疑梦，，相悲各