机械原理新-14 -10齿轮机构

1第10章机械原理

MECHANISMSANDMACHINETHEORYCHAPTER10GearMechanismsandtheirdesign

齿轮机构及其设计2§10-1齿轮机构的特点及类型3平行轴相交轴交错轴§10-1齿轮机构的特点及类型两齿轮轴的相对位置41、用于平行轴间传动的齿轮机构直齿圆柱齿轮Spurgear斜齿圆柱齿轮Helicalgear人字齿圆柱齿轮Double-helicalgear§10-1齿轮机构的特点及类型51、用于平行轴间传动的齿轮机构内齿轮§10-1齿轮机构的特点及类型外齿轮齿条6外啮合齿轮机构的主从动轮转向相反外啮合直齿圆柱齿轮机构外啮合斜齿圆柱齿轮机构外啮合人字齿圆柱齿轮§10-1齿轮机构的特点及类型7内啮合齿轮机构的主从动轮转向相同内啮合斜齿圆柱齿轮机构内啮合直齿圆柱齿轮机构§10-1齿轮机构的特点及类型8齿轮齿条（pinionandrack）机构作转动与移动之间的变换§10-1齿轮机构的特点及类型92、用于相交轴间传动的齿轮机构直齿(Spurgear)曲线齿(spiralgear)圆锥齿轮Bevelgear§10-1齿轮机构的特点及类型103、用于交错轴间传动的齿轮机构蜗杆蜗轮(wormandwormwheel)交错轴斜齿圆柱齿轮(crossedhelicalgear)准双曲面圆锥齿轮(hypoidgear)§10-1齿轮机构的特点及类型11§10-2齿轮的齿廓曲线转速n1=1转/分钟齿轮传动比(速比)i平均传动比i12

=ω1/ω2瞬时传动比i12

=n1/n2=Z2/Z1？=常数取决于齿廓形状≡常数转速n之比角速度ω之比121.齿廓啮合基本定律得：i12＝ω1/ω2＝O2P/O1P定律：一对相啮合齿轮，任一瞬时的传动比，都是连心线O1O2被其啮合齿廓在接触处的公法线所分成的两线段长度的反比。求瞬时传动比:P为相对瞬心:vp＝O1Pω1

＝O2Pω2

o1ω1nnPo2ω2kvp——Fundamentalsofengagementoftoothprofiles§10-2齿轮的齿廓曲线131.齿廓啮合基本定律o1ω1nnPo2ω2kvp§10-2齿轮的齿廓曲线

若啮合齿廓能使P为定点，则i12=ω1/ω2=O2P/O1P=常数。若P按变化规律在连心线上移动，则传动比按规律变化。

齿廓公法线与连心线的交点P称为一对齿轮的节点（pitch）14

节点的运动轨迹称为节圆pitchcircle（当P为定点时，在P点放一支笔，则笔尖在齿轮运动平面内将画出一圆）。r’1r’2o1ω1nnPo2ω2k§10-2齿轮的齿廓曲线

一对节圆相切于节点。节圆半径r’1、

r’2。15圆形齿轮机构作定传动比传动非圆齿轮机构作变传动比传动§10-1齿轮机构的特点及类型16r’1r’2o1ω1nnPo2ω2ka齿轮中心距=两节圆半径之和：a=r’1+r’2故两节圆作纯滚动。两轮在节点的速度相同（瞬心）§10-2齿轮的齿廓曲线172、齿廓曲线的选择共轭齿廓：一对能实现预定传动比(i12=ω1/ω2)规律的啮合齿廓。§10-2齿轮的齿廓曲线18渐开线(1765年)

渐开线齿廓具有很好的传动性能，而且便于齿轮的制造、安装、测量和互换使用。本章只研究渐开线齿轮。摆线(1650年)圆弧(1950年)抛物线(1982年)

§10-2齿轮的齿廓曲线19§10-2齿轮的齿廓曲线摆线齿轮20§10-2齿轮的齿廓曲线圆弧齿轮21§10-2齿轮的齿廓曲线抛物线齿22§10-3渐开线齿廓及其啮合特点1、渐开线的形成和特性直线在圆上作纯滚动时，其上任一点K的轨迹AK称为该圆的渐开线/involute发生线—BK基圆半径—rb渐开线展角—θk23渐开线的特性：①发生线上的BK长度=基圆上被滚过的弧长AB;§10-3渐开线齿廓及其啮合特点24②发生线BK为渐开线在K点的法线，故渐开线上任意点的法线恒与其基圆相切。③发生线与基圆的切点B，是渐开线在K点处的曲率中心，BK为曲率半径。渐开线上的点越接近基圆，曲率半径越小，与基圆相交点的曲率半径为0。

§10-3渐开线齿廓及其啮合特点

渐开线是由圆心在基圆弧上（为发生线与基圆的切点），半径（发生线）逐渐变大的一段一段圆弧连接而成的。25④渐开线形状取决于基圆大小θ相同处,rb↑,BK↑,当rb∞，渐开线变直线。A1B1o1θkKθkB3o3A2B2o2§10-3渐开线齿廓及其啮合特点26⑤基圆以内无渐开线。§10-3渐开线齿廓及其啮合特点272、渐开线方程式及渐开线函数tgαk=BK/rb

θk=tgαk-αk

—称为渐开线函数(involutefunction)，rk=rb/cosαk=rb(θk+αk)/rb=AB/rb)rkθkαkOABkrb已制成函数表（教材p232）。θk＝invαk=tgαk-αk§10-3渐开线齿廓及其啮合特点

渐开线上的任一点k，可用rk和θk确定。渐开线极坐标方程αk齿廓在以rk为半径的圆上的压力角vkFn=θk+αk28rb一定时，αk∝rk。渐开线上的点离基圆越远，rk越大，压力角越大。渐开线在基圆上的压力角等于零

齿廓在任意半径圆上的压力角的计算公式：cosαk=rb/rk§10-3渐开线齿廓及其啮合特点rkθkαkOABkαkvkrbFn29N2N1ω2O2rb2O1ω1①瞬时传动比恒定性

两齿廓在任意点啮合时，两齿廓的公法线N1N2为定直线。∴i12=ω1/ω2=O2P/O1P=常数工程意义：i12为常数可减少因速度变化所产生的附加动载荷、振动和噪音，延长齿轮的使用寿命，提高机器的工作精度。故节点P必为定点。C1C2KPK’3.渐开线齿廓啮合特点1）能保证定传动比且具有可分性§10-3渐开线齿廓及其啮合特点30rb1ω2O2rb2O1ω1N2N1PC1C2K②传动可分性（传动比不受中心距影响）separabilityofthecenterdistance。证明：∵△O1N1P∽△O2N2P传动比i12=ω1/ω2=O2P/O1P=rb2/rb1∵rb不因中心距而变∴i12不受中心距影响。rb2rb1这一特性对加工和装配很有利§10-3渐开线齿廓及其啮合特点31N1ω2O2rb2O1ω12）齿廓间正压力方向不变N1N2—啮合线(lineofaction)C1C2KK’Pα’

N2

齿廓间的正压力始终沿同一条公法线方向，故传力方向不变，对传动平稳性有利。§10-3渐开线齿廓及其啮合特点

啮合点始终在该条公法线上，故称：321、齿轮各部分名称与符号齿顶圆(addendumcircle)—半径ra、直径da齿根圆(dedendumcircle)—半径rf、直径df§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸33§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸1、齿轮各部分名称与符号任意圆齿厚（tooththickness）—弧长si任意圆齿槽宽（spacewidth）—弧长ei任意圆齿距/周节(pitch)—弧长pi=si+ei34§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸1、齿轮各部分名称与符号分度圆（referencecircle）—半径r，直径d—齿厚s，齿槽宽e，齿距p=s+e35§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸1、齿轮各部分名称与符号齿顶（topland）—齿顶高ha（addendum

）齿根（bottomland）—齿根高hf（dedendum

）齿全高h（toothdepth）—h=ha+hf36pd作者：潘存云教授m=4z=162、渐开线齿轮基本参数（2）模数（module）m（1）齿数zzp=πd→

d=zp/πm=2z=16m=p/π=d/z

则分度圆直径计算式：

d=mz令：p/π=mm—GB值（表10-1）单位：mmm=1z=16§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸37

为了便于制造、检验和互换使用，国家规定了标准模数第二系列1.1251.3751.752.252.753.54.55.5(6.5)7911141822283545表10-1圆柱齿轮标准模数系列表（GB/T1357－2008）第一系列

11.251.522.5345681012162025324050§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸38OωrbOrfrarbr速度方向正压力方向N（3）分度圆压力角（简称压力角)AαriααrNK§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸Kα＝arccos(rb/r)αkK分度圆39rb＝r

cosαOrfrarbrNα

α是决定渐开线齿廓形状的重要参数。标准值：α＝20°某些场合采用:14.5°、15°、22.5°、25°§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸40分度圆定义：

齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆。§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸41（4）齿顶高系数和顶隙系数§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸渐开线齿轮的五个基本参数：

m、z、α、ha*、c*齿顶高系数:ha*=齿顶高/模数顶隙系数:c*=顶隙/模数正常齿ha*＝1，短齿ha*＝0.8正常齿c*＝0.25，短齿c*＝0.3c423、渐开线标准齿轮各部分的几何尺寸§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸m、α、ha*、c*

为标准值，且e=s的齿轮称为标准齿轮。标准齿轮e=s=p/2=πm/2rbOhahfhpraserfr433、渐开线标准齿轮各部分的几何尺寸齿顶高：ha=ha*m齿根高：hf=(ha*+c*)m全齿高：h=ha+hf齿顶圆直径：

da=d+2ha齿根圆直径：

df=d-2hf分度圆直径：

d=mz=(2ha*+c*)m=(z+2ha*)m=(z-2ha*-2c*)m正常齿ha*＝1，短齿ha*＝0.8正常齿c*＝0.25，短齿c*＝0.3Ohahfhrfr§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸rac44基圆直径：法向齿距（基圆齿距）：=mzcosα=πdb/z=πmcosα=pcosαdb=dcosαpn=pbrbpnhahfhprapbrfrp=πm分度圆齿距：§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸3、渐开线标准齿轮各部分的几何尺寸aakk’45rbOpnhahfhBprasesieipbrfrpi任意圆上的齿厚任意圆上的齿距任意圆上的齿槽宽

si=(sri/r)-2ri(invαi-invα)

pi=πdi/z

ei=pi-si§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸3、渐开线标准齿轮各部分的几何尺寸46CCsiBB一般表达式：

si=CC=riφφ=∠BOB-2∠BOCSi=riφ其中：αi=arccos(rb/ri)顶圆齿厚：Sa=(sra/r)-2ra(invαa-invα)节圆齿厚：S’=(sr’/r)-2r’(invα’-invα)基圆齿厚：Sb=(srb/r)+2rbinvα=cosα(s+mzinvα)=scosα+2rcosαinvα

=(sri/r)-2ri(invαi-invα)=(s/r)=(s/r)-2(-2(θi-θ)sainvαi-invα)NαiαrraAArbOsφθiθrisb§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸47B1)齿条1）z∞渐开线直线齿顶线、分度线、齿根线3)齿距处处相等，等于p=πms=πm/2e=πm/2

esppnha=ha*m

hf=(ha*+c*)mααα4、齿条和内齿轮的几何尺寸hahf2)压力角处处相等，等于α，且等于齿形角pn=pb=pcosα§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸α48hsehahfpBOrbra特点：1)轮齿与齿槽形状正好与外齿轮相反。2)df>d>da2)内齿轮3)为保证齿廓全部为渐开线，da＝d-2hadf＝d+2hf要求da>dbr§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸4、齿条和内齿轮的几何尺寸rf49§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动50法向齿距=基圆齿距：=πdb/z=πmcosα=pcosαpn=pbrbpnppbr§10-4渐开线标准齿轮基本参数和几何尺寸渐开线法向的法向齿距和基圆齿距AkB50Oωrbk’B’K’AKBB’51rb2r2O2ω2rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1pb2pb2pb2pb1pb1<pb2pb1>pb2pb1=pb2pb1pb1不能正确啮合!不能正确啮合!能正确啮合!PN1N2PN1N2PN1N2§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动rb2r2O2ω2rb2r2O2ω252

pb1=pb2∵pb=πmcosα

∴m1cosα1=m2cosα2∴m1=m2=m，α1=α2=α渐开线直齿圆柱齿轮正确啮合条件：两轮的模数和压力角应分别相等。i12=--ω1ω2同时可得：

=--rb2rb1

=--r’2r’1

=--r2r1

=--Z2Z11、正确啮合条件rb2r2O2ω2rb1r1O1ω1pb2pb1PN1N2§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动渐开线齿轮瞬时传动比=平均传动比=常数531）保证顶隙c为标准值（=c*m）a=ra1+c+rf2=(r1+ha*m)=r1+r2+c*m+[

r2-(ha*m+c*m)]中心距应等于两分度圆半径之和，此中心距称为标准中心距。§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动中心距应满足两个要求：c标准中心距计算：122、齿轮传动的中心距及啮合角54按标准中心距安装时有：§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动rb2r2O2r1O1ω1ω2PN1N2rb1ra1ra1rf2rf2aci12=--ω1ω2

=--r2r1

=--r2’r1’a=r1+r2=r’1+r’2故按标准中心距安装时,两齿轮节圆分别与其分度圆重合。∴r’1=r1r’2=

r255rb2r2O2r1O1ω1ω2PN1N2rb1

齿侧间隙以一个齿轮节圆上的齿槽宽与另一个齿轮节圆上的齿厚之差来度量。ra1ra1rf2rf2ace’2-s’1=e2-s1=πm/2-πm/2

=0e’1-s’2=e1-s2=πm/2-πm/2

=02）保证理论齿侧间隙(backlash)为零§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动无侧隙啮合的意义：齿轮换向传动时不会出现停顿和冲击。

按标准中心距安装时的齿侧间隙恰为零：56rb2O2O1ω1ω2N1N2rb1a’rb2O2O1ω1ω2N1N2rb1r’1>r1α’r’2>r2P§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动rb2r2O2r1O1ω1ω2PN1N2rb1ra1ra1rf2rf2acα’α’α’标准安装:r’1=r1r’2=r2a=r’1+r’2=r1+r2非标准安装:r’1>r1r’2>r2a’=r’1+r’2

>a=r1+r2

57§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动rb2r2O2r1O1ω1ω2PN1N2rb1ra1ra1rf2rf2ac啮合角=节圆压力角α’α’α’

啮合角（workingpressureangle）—两节圆公切线（节点速度方向线）与啮合线N1N2之间所夹的锐角。用来度量轮齿所受法向力的方向。58rb2r2O2ω2rb1O1r1ω1N1N2B2B1标准安装:α’=αrb1r1O1rb2r2O2ω2αN2N2rb2O2O1ω1ω2N1rb1a’rb2ω1ω2N1rb1r’1>r1α’r’2>r2P非标准安装:α’>α§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动59∴rb2O2O1ω1ω2N1N2rb1

非标准安装的实际中心距α’和啮合角α’求解:a’＞arb2O2O1ω1ω2N1N2rb1r’1>r1α’>αr’2>r2P§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动α’α’rb1＋rb2=(r1’+r2’)cosα’∴a’cosα’=acosα∵rb1＋rb2=(r1+r2)cosα60齿轮齿条传动标准安装:

齿轮节圆与分度圆重合;齿条节线与分度线重合。齿轮齿条传动非标准安装：因啮合线（公法线）角度不变，齿轮节圆仍与分度圆重合;r1’=r1

，α’＝α。但齿条节线与分度线不重合。r1’=r1

，α’＝α节线与分度线不重合

α’=αO1N1rf1ra1ω1r1N2v2B1B2PO1N1rf1ra1ω1v22N2α’=αr1B1B2P§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动61a

内啮合齿轮非标准安装时:a’

＜a

，α’＜α§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动62B2—啮合起始点(大轮齿顶圆与啮合线的交点)

O1rb1Prb2ω2ω1O23、一对轮齿啮合过程及连续传动条件B1B2

—实际啮合线N1、N2

—啮合极限点

N1N2N1N2—理论啮合线段ra2ra1B1

—啮合终止点(小轮齿顶圆与啮合线的交点)

B1§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动阴影线部分—齿廓实际工作段。B2633、一对轮齿啮合过程及连续传动条件§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动O1rb1Prb2ω2ω1O2

N1N2ra2ra1B1B2

若B1B2=pb，则前对齿退出啮合时，后对齿恰进入啮合。传动能够连续。这种齿轮传动永远只有一对轮齿啮合。O1rb1Prb2ω2ω1O2ra2ra1pbB2B1643、一对轮齿啮合过程及连续传动条件§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动O1rb1Prb2ω2ω1O2

N1N2ra2ra1B1B2

若B1B2＞pb，则前对齿退出啮合时，后对齿早就进入啮合区，并将继续啮合。传动能够连续。这种齿轮传动有前、后两对齿同时啮合的阶段（有时候两对啮合、有时候一对啮合）。B1B2>pbpbO1N2N1KO2ω2ω1B1B265∴一对齿轮连续传动条件：εα=B1B2/pb

≥

1

§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动3、一对轮齿啮合过程及连续传动条件εα——齿轮传动的重合度(contactratio)[εα]的推荐值：采用标准齿轮传动，总有εα≥1，不必验算连续性。使用场合一般机械制造业汽车拖拉机金属切削机床[εα]1.41.1～1.21.3εα还表示同时啮合齿对的多少。rb1rb2单齿啮合区双齿啮合区双齿啮合区设εα=

1.45B1B2=εαPb

=

1.45Pb第二对退回至B2点开始接触；对应第一对在B3点接触;第一对齿从B3啮合到B1点时；第一对齿在B1点脱离啮合后；只有第二对齿处于啮合状态。从B4点到B3点，是一对齿啮合区段，占0.55Pb；直到这对到达B3点，第三对又在B2点开始接触了。2第二对对应从B2啮合到B4；N2N1PB11.45PbPbPb0.45Pb0.45Pb0.55PbB2或说在1个Pb上平均是：2×0.45+1×0.55=1.45对齿啮合故B2B4与B3B1是两对齿同时啮合区段，占0.45Pb；∴εα=1.45，表示在1个Pb上，两对齿啮合占0.45Pb；一对齿啮合占0.55PbB3B467§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动3、一对轮齿啮合过程及连续传动条件εα=[z1(tgαa1-tgα’)+z2(tgαa2-tgα’)]/2π模数m对重合度εα无影响齿数z↑→重合度εα↑啮合角α’

↑→重合度εα↓（故应按标准中心距安装一对齿轮）齿顶高系数ha*↑→重合度εα↑（故尽量不用短齿）αa＝arccos(db/da)＝arccos[mzcosα/(mz+2ha*m)]＝arccos[zcosα/(z+2ha*)]εα

大→同时啮合齿对多→传动平稳性好、承载能力大。68当z1,z2→∞时（变成两齿条啮合）εαmax＝(PB1+PB2)/pbPB1＝PB2＝4ha*/πsin2α若α＝20°,ha*＝1→εα→

εαmaxεαmax

＝1.981

＝ha*m/sinα＝2ha*m/(sinαπmcosα)Ph*amB1B2α3、一对轮齿啮合过程及连续传动条件§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动结论：标准直齿圆柱齿轮传动最多能有两对齿同时啮合。69OrfrarbrNαKα＝arccos(rb/r)Oωrb速度方向正压力方向AriααrNKαa外啮合传动重合度计算公式推导：§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动3、一对轮齿啮合过程及连续传动条件先复习“压力角”αa＝arccos(rb/ra)70OrfrarbrNαKα＝arccos(rb/r)αa外啮合传动重合度计算公式推导：§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动3、一对轮齿啮合过程及连续传动条件先复习“压力角”αa＝arccos(rb/ra)N1N2O1rb1rb2O2Pαa2αa1B2ra2ra1B171εα=B1B2/pb＝(PB1+PB2)∴εα=[z1(tgαa1-tgα’)+z2(tgαa2-tgα’)]/2πPB1＝B1N1-PN1＝rb1tgαa1＝z1mcosα(tgαa1-tgα’)/2PB2＝B2N2-PN2＝rb2tgαa2＝z2mcosα(tgαa2-tgα’)/2-rb1tgα’-rb2tgα’/πmcosα

§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动3、一对轮齿啮合过程及连续传动条件N1N2O1rb1rb2O2Pα’αa2α’αa1B2ra2ra1B1α’啮合角72§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象1、齿廓切制的基本原理原理仿形范成-铣齿-插齿、滚齿、磨齿73§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象仿形法：生产效率低、切齿精度差适用：单件、精度要求不高、大模数齿轮加工指状铣刀加工盘铣刀加工74一对齿轮(或一对齿轮齿条)啮合传动时，两轮的齿廓曲线互为包络线。演示：齿条左移、齿轮顺时针转，齿条的齿廓在齿轮的运动平面上包络出齿轮的渐开线齿廓利用该原理来加工齿廓的方法称为范成法。§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象75§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象范成法需要插刀与轮坯按它们的传动比（或圆周速度）相对运动。-范成运动。齿条插刀加工齿轮插刀加工v=r0ω076

插齿加工不连续，影响生产率。用螺旋运动替代齿条插刀的范成运动和切削运动，可使加工连续。因此滚齿加工得到最广泛的运用。范成运动切削运动§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象切削范成滚刀77范成法切齿的优点：只要刀具的m、α与被切齿轮的m、α相同，不管切多少齿，都可用同一把刀具；加工精度高；生产率高。§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象齿条型刀具范成法切齿的缺点：切齿数少的齿轮会产生根切782、范成法加工标准齿轮时齿条型刀具的位置§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象

刀具的分度线必须与轮坯分度圆相切，才能加工出标准齿轮。标准齿轮的特征：

s＝e＝πm/2ha=h*amhf=(h*a+c*)mvO2N1rfraω1r79rαrbraO13、渐开线齿廓根切现象和标准齿轮不发生根切的最少齿数1PN1αB1刀具在位置1开始切齿；在位置2切齿终止；B22根切§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象v刀α’=αO2N1rb1ra1ω1vα’=αr1PB1B2齿条主动，齿轮从动80rαrbraO13、渐开线齿廓根切现象和标准齿轮不发生根切的最少齿数1PN1αB1切出的齿廓未到达基圆。刀具在位置1开始切齿；在位置2切齿终止；B2点在N1点的下方，即

PB2＜PN1B22根切§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象正常。81N1αrbrraO1切出的齿廓恰至基圆。若B2点重合于N1点，即PB2=PN1Pα1B12B2§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象正常。82刀具过了位置2仍切齿；若B2点在N1点之上，即PB2＞PN1O1PααN1rbr1B1B22而N1N’1=N1K，点K定处于N’1右侧，即形成“根切”。K齿廓随分度圆转过§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象当沿分度线移动N1M3N1MEE’EE’φN’183B’P17—正常齿标准齿轮不发生根切的最少齿数（齿条刀加工时）！不根切的条件：在△PN1O1

中：在△PB2B’

中：当α=20°,ha*=1，得:zmin=17h*amz≥2ha*/sin2α∴zmin＝2ha*/sin2α

刀顶线不超过N1，即PB2≤PN1=mzsinα/2PN1=rsinαPB2=ha*m/sinααrb

N1O1rαB2mzsinα/2≥

ha*m/sinα§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象84§10-7渐开线变位齿轮简介标准齿轮的优点：计算简单、互换性好。齿轮齿数少于17齿时会产生根切。不适合a’≠a的场合。a’<a

时，无法安装。a’>a

时，产生侧隙，且εα↓标准齿轮的缺点：小齿轮曲率半径小（接强低）、齿根薄（弯强低）易坏。rb2r2O2ω2rb1r1O1ω1pb2pb1PN1N2B2B1rαOABkrbρ85N1αα

为避免根切，可径向移动刀具加工齿轮。B2xm刀具中线B2§10-7渐开线变位齿轮简介86刀具移位后，与轮坯分度圆相切的刀具节线上的齿厚↓＜πm/2、齿槽宽↑＞πm/2→齿轮分度圆上齿厚↑＞πm/2

、齿槽宽↓＜πm/2

，s≠e，不再是标准齿轮，称为变位齿轮。刀具向着O1移→负变位齿轮。1、变位齿轮的概念刀具背离O1移→正变位齿轮§10-7渐开线变位齿轮简介N1O1α刀具节线B2刀具中线S=πm/2sxmxm—变位量x—变位系数正变位系数取“+”；负变位系数取“-”872、变位齿轮的几何尺寸O1xm齿根高：hf=ha*m+c*m-xm齿顶圆半径：ra=r+ha=r+(ha*+x)m齿顶高：要将毛坯半径增加xm，以保证齿全高h不变∴ha=(ha*+x)m齿厚s=πm/2+2xmtgα齿槽宽e=πm/2-2xmtgα§10-7渐开线变位齿轮简介刀具中线αxm公式适用于正负变位齿轮。88

刀具移位加工的变位齿轮与刀具不移位加工的标准齿轮，具有相同的齿数z、模数m和压力角α（因刀具未变），故两者的d、db、p相同。正变位齿轮x>0hahf标准齿轮x＝0分度圆负变位齿轮x<0§10-7渐开线变位齿轮简介齿廓曲线取自同一条渐开线的不同段。89rb2r2O2ω2rb1r1O1ω1pb2pb1PN1N2B2B1沿整个齿宽同时加载和卸载，传动平稳性较差、冲击振动和噪音较大，不适宜高速、重载传动。直齿轮传动的缺点:§10-8斜齿圆柱齿轮传动AAβbKK90

齿面接触线倾斜、由短→长→短，加载、卸载逐渐进行，传动平稳、冲击振动和噪音较小，适宜高速、重载传动。§10-8斜齿圆柱齿轮传动斜齿轮传动的优点:91分度圆柱面上的螺旋角（简称螺旋角）—齿廓曲面与分度圆柱面相交的螺旋线的切线与轴线间的夹角。§10-8斜齿圆柱齿轮传动ββ左旋右旋92β

将分度圆柱面展成平面后，与分度圆柱面相交的螺旋线变成一斜直线，斜直线与轴线的夹角也就是螺旋角β。§10-8斜齿圆柱齿轮传动931、斜齿轮的基本参数和几何尺寸计算nn斜齿轮有两套参数：端面参数：mt，αt，h*at，c*t法面参数：mn，αn，h*an，c*n法面参数为标准值。端面-垂直轴线法面|垂直齿向§10-8斜齿圆柱齿轮传动94端、法面模数换算关系：∵pn=ptcosβ而

pn＝πmn,pt＝πmt∴mn=mtcosββpt

pn1、斜齿轮的基本参数和几何尺寸计算§10-8斜齿圆柱齿轮传动95b'a'cββ在△a’b’c中，有：∠a’b’c=αn

在△abc中,有：∠abc=αt由

ab=a’b’,a’c=accosβ

得：tgαn=

tgαtcosβ

,tgαn=a’c/a’b’tgαt=ac/ab

αnabαt端、法面压力角换算关系：1、斜齿轮的基本参数和几何尺寸计算§10-8斜齿圆柱齿轮传动96端法面齿顶、齿根、齿全高相等：法面齿顶高系数

h*an＝1法面顶隙系数

c*n＝0.25ha

=hat=han=h*anmnhf

=

hft=hfn=(h*an+c

*n)mn分度圆直径

d=zmt=zmn/cosβ标准中心距

a=mn(z1+z2)/2cosβ

端面§10-8斜齿圆柱齿轮传动1、斜齿轮的基本参数和几何尺寸计算齿顶圆直径

da=d+2ha

；齿根圆直径

df=d-2hf971）正确啮合条件β1＝±β2mn1=mn2

或mt1=mt2

§10-8斜齿圆柱齿轮传动12外啮合取”-”内啮合取”+”αn1=αn2或αt1＝αt22.一对斜齿轮的啮合传动“-”表示旋向相反：一轮左旋一轮右旋982）斜齿轮传动的重合度轴向重合度εβ=△L/pbt=Btgβb/pbt

εγ=εα+εβBB2B2△LβbβbB1B1L

tgβb=tgβcosαt得：εβ＝Bsinβ/πmn

εα=[z1(tgαat1-tgαt’)+z2(tgαat2-gαt’)]/2π若B＝100，β＝20∘,

mn＝2→εβ＝5.45直齿轮εα=B1B2=L/pbt

B1B1BB2B2N1N2B2B1§10-8斜齿圆柱齿轮传动2.一对斜齿轮的啮合传动εγ=(L+△L)/pbt啮合线总长度L+△L总重合度端面重合度εα=L/pbt

pbt=ptcosαt

pt=πmn/cosβL99作者：潘存云教授tgβ=πd/lπdπdbtgβb=πdb/ll得：

tgβb/tgβ=db/d∴

tgβb=tgβcosαt=cosαtβdββbAAβbKK100当量齿轮—与斜齿轮法面齿形相当的虚拟直齿轮virtualgear当量齿数—当量齿轮的齿数3、斜齿圆柱齿轮的当量齿轮与当量齿数

为了选择铣斜齿轮的铣刀号，引入“当量齿轮”。§10-8斜齿圆柱齿轮传动引入当量齿轮还为了将来能方便斜齿轮强度计算101∴当量齿数

zv=z/cos3β当量齿轮的分度圆半径rv=

C点曲率半径ρ当量齿轮的模数mv=mn§10-8斜齿圆柱齿轮传动3、斜齿圆柱齿轮的当量齿轮与当量齿数β102斜齿圆柱齿轮不发生根切的最少齿数：zmin=zvmincos3β若β=20∘zmin=14§10-8斜齿圆柱齿轮传动3、斜齿圆柱齿轮的当量齿轮与当量齿数

zv=z/cos3β→103§10-8斜齿圆柱齿轮传动名称符号计算公式螺旋角β8°~20°法面模数mnP180表10-1法面齿顶高系数h*an1法面顶隙系数c*an0.25分度圆直径dd=mnz/cosβ齿顶圆直径dada=d+2ha=d+2mn齿根圆直径dfdf=d-2hf=d-2.25mn当量齿数zvzv=z/cos3β中心距aa=mn（z1+z2）/2cosβ1044、斜齿轮的主要优缺点

①啮合性能好—传动平稳，噪音小。②重合度大—承载能力高。③zmin少—

机构紧凑。

④产生轴向推力，且随β增大而增大，一般取β＝8°～20°。采用人字齿轮，可使β＝25°～40°。§10-8斜齿圆柱齿轮传动例10-2：某设备中有一对直齿圆柱齿轮，已知Z1＝26，i12＝5，m＝3mm，α＝20°，h*a

＝1，齿宽B＝50mm。在技术改造中，为了改善齿轮传动的平稳性，降低噪声，要求在不改变中心距和传动比的条件下，将直齿轮改为斜齿轮，试确定斜齿轮的z1’、z2’、mn、β，并计算其重合度。解：原直齿圆柱齿轮传动的中心距为a=mz1（1＋i12

）／2=3×26×（1＋5）／2=234mm

改为斜齿轮传动后，为了不增加齿轮的几何尺寸，取斜齿轮的法面模数mn=3mm，则有：a=mnz’1（1＋i12

）/(2cosβ)=

3z’1（1＋i12

）/(2cosβ)=234mm取β=20°，得z’1

＝24.43。为了限制β<20°，取z’1

＝25，z’2

＝125。为维持中心距不变，重新计算螺旋角：β=

arccos［mn

（z’1

＋z’2

）／（2a）］

=arccos［3×（25＋125）／（2×234）]=15°56′13″=15.9425°计算重合度εγ=端面重合度εα+轴面重合度εβ

。其中εα

＝［z’1（tanαat1-tanαt）＋z’2

（tanαat2-tanαt

）］／（2π）αt=arctan（tanαn

／cosβ）＝arctan（tan20°／cos15.9425°）=20.733°αat1=arccos（db1/da1）=arccos［z’1cosαt

／（z’1

＋2cosβ）］

=arccos［25×cos20.733°／（25＋2×cos15.9425°）］

=29.722°αat2=arccos（db2/da2）=arccos［z’2cosαt

／（z’2

＋2cosβ）］

=arccos［125×cos20.733°／（125＋2×cos15.9425°）］

=22.917°εα

＝［25×（tan29.722°-tan20.733°）＋125×（tan22.917°-tan20.733°）］／（2π）＝1.646齿宽仍为B=50mm，则εβ=Bsinβ/（πmn）=50×sinl5.9425°／（π×3）=1.475εγ=εα

＋εβ

＝1.646＋1.457=3.103平均3.1