自主招生中的立体几何和初等数论

立体几何:1,三面角公式：立体几何中有一个常用的公式：…••••••••■-。即如图在面面垂直的背景下，从棱上一点出发在两个互相垂直的平面里各做一条射线，并与棱组成两个所谓立角••和卧角•'•'，两射线又组成所谓斜角『，则斜角的余弦等于立角和卧角之积。我们也因此想到如果二面角・不是直二面角是否会有a~-b2-e1a~b~-(X2+y1-2xycos.y)相应的结论呢？实际上nF2^-2x}Jcosf邮)54sinftsin#cos》有趣的二三二二二5当.时为：*•••"••、:—••.•I。尤其要强调的是由于边角转化关系的内化，使得此公式在解决包括二面角在内的角的问题时显示出突出的简便性，并且具有使用方面的普遍性，为解决角的问题开创了崭新的领域，例：四棱锥P—ABCD中，底面为矩形，AB=3，AD=1，又PAIAB,PA=PAD=60°，求二面角P—BC—D的大小。2,投影公式丁、•'、•.’求二面角的大小.其中S'、S分别表示投影图形和被投影图形的面积，而e则是这两个图形所在平面的夹角.

如图，二面角’'为锐二面角，AABC在半平面'内,e应满足皿”=△ABC在平面内的射影为^AiBiCi，那么二面角的大小'例：如图，矩形ABCD中,AB=6,BC^',沿对角线BD将折起，使点A移至点P,且P在平面BCD内的射影为O，且如图，二面角’'为锐二面角，AABC在半平面'内,求证:PDXPC；求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；求CD与平面PBD所成的角的正弦值.真题演练:真题演练:1,(08，复旦)在如图所示的三棱柱中，点""的中点以及‘的中点N所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分，问小部分的体积和大部分的体积比.2，(09，清华)四面体ABCD中，AB二CD，AC二BD，AD=BC.（1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）设底面为BCD，另外三个面与面BCD所成的二面角为、;.求证：cosfl4-cosS+cosy二I.3，（09，复旦）半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是.思考：若棱长为••的正四面体内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是.4，（10，五校）如图，正四棱锥P-ABCD中，B1为PB中点，D1为PD中点，求两个棱锥AB1CD1、P-ABCD体积之比.5，（09，南大）如图，四面体ABCD中平面n截四面体所得截面EFGH，且AB〃平面n，CD〃平面n，AB、CD到平面n的距离分别为d1、d2，且'打''，求立体图形ABEFGH与四面体ABCD体积之比（用k表示）.6，（01，复旦）全面积为定值而的圆锥中，体积最大值为.7，（06，复旦）若四面体的一条棱长为x，其余棱长均为1，体积是―，则「在其定义域上为（）.A.增函数但无最大值B.增函数且有最大值C.不是增函数且无最大值D.不是增函数但有最大值ZDA.8■=—…...—;，PD±平面ABCD，线段PD=AD，点E、F分别是AB、PD中点，则二面角P-AB-F的平面角的余弦值为.9，（08，复旦）棱长为1的正四面体ABCD中，点M和N分别是边AB和CD的中点.则线段MN的长度为.（08，复旦）若空间三条直线两两成异面直线，则与这三条直线都相交的直线有—条.11，（10，复旦）设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形分别为：NDD00则该多面体的体积为（）A.2/3B.3/4C.4/5D.5/612.（10,复旦）在一个底面半径为1/2，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是（）A.32个；B.30个；C.28个；D.26个13，（10，复旦）设ABC-A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P是侧面ABB’A’的中心，则P到侧面ACC’A’的对角线的距离是（）A.-B.4c.'D.-14，（09，复旦）三棱柱ABC-A'B'C'的底是边长为1的正三角形，高AA'=1，在AB上取一点P，设三角形PA'C'与底的二面角为…，三角形PB'C'与底的二面角为'，则的最小值为.15，（07，复旦）棱长为•「的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切，则两球半径之和为.16，（06，武大）已知一个简单多面体的每一个面均为五边形且它共有30条棱，则多面体的面数F和顶点数V分别等于.17，（00，复旦）正六棱锥的高等于h，相邻侧面的二面角等于2arcsin-寸6）…’，求该棱锥的体积.18，（01，复旦）已知棱柱ABC-A1B2C3的底面是等腰三角形，AB二AC，上底的顶点'，棱柱的侧面积为证明：侧面A1ABB1和A1ACC1都是菱形，B1BCC1是矩形;（1求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小;（2求棱柱的体积.（04,复旦）已知E为棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB的中点，求点B到面A1EC的距离.（04,同济）设四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PAXBD.（1求证：直线PCXBD；里过直线BD且垂直于PC的平面交PC于点E,如果三棱锥E-BCD的体积取到最大值，求此时四棱锥P-ABCD的高.（05，复旦）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别为AD、AA1、A1B1中点，求：（1B到面EFG的距离；鱼二面角G-EF-D饵勺平面角、22,（10，五校）如果平面皿月，直线部』，点H，气满足：眼"且服与Q所成的角为打'心服，冉与座所成的角为3,那么幽与冉所成的角大小为（）7T7T7T7T（A）（B）4（C）&（D）8A=-h（08，浙大）有一个圆锥正放，它的高为h,圆锥内水面高为；，现将圆锥倒置，求倒置的水面高度'.（10,同济）四面体ABCD中，■."」"■「、，AB与CD的距离为d,夹角为”，求四面体ABCD的体积.（09，南大）有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm,A点在内壁距离杯口2cm处，A对面外壁距杯底2cm处有一只小虫.问：小虫至少走多长的路才能到A处？26.（10，五校）（I）正四棱锥的体积3，求正四棱锥的表面积的最小值;

(II)一般地，设正形棱锥的体积片为定值，试给出不依赖于科的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值.二、数论高斯函数:设■■是实数，卜表示不超过■-的最大整数，称为■-的整数部分，则'I称为■-的小数部分，记作•'。E'卜若'1"l<1'-1是一个周期为1的函数I"I""1-1>11其中等号有且只有一个成立，2，同余眼一白即且-古=灿，则称刁在模m时与b同余，记作眼一白即且-古=灿，则称刁在模m时与b同余，记作性质3:性质4：'；LH，；山，则,'”性质3:性质4：'；LH，；山，则,'”，土..•"言”性质5:«.•"'"，；•，则性质2:传递性：'土m，"、成..le-「.："，•，、.：.：：3,一个数的二进制分解真题则这样的，的个1.(11复旦)设正整数，可以等于4个不同正整数的倒数之和数是()（A）1（B）2（C）3（D）4（09,清华）写出三个数都是素数，且公差为8的等差数列，并证明之.则这样的，的个a.'-2a（03，交大）求证：；■：'■、1为最简分数.（06,清华）求由正整数组成的集合S（至少含有两个元素），使S中的元素之和等于元素之积.（00，交大）若今天是星期二，则3®*天之后是星期（01，交大）"eI，则、（）11111vA.3B.4C.5D.6（09,复旦）设，定义在X上的运算如下：'，■■■'■丁且心"字给定初始值〃"记"■■-则使得数列”*!取遍X中所有元素的初值％的集合是.（10，复旦）设，不定方程•有整数解的必要条件是（）A.；'”都整除，•：B.的最大公因数整除」C.两两互素D.除1外没有其他公因数（03，交大）100！的末尾连续有个零.（06，交大）："、：的末尾连续有_个零。（04，交大）已知6眄以况=7泌匚个，则go=.（04，交大）（了’*）的个位数字是.（03，交大）有一个正整数的首位是7,当7换至末位时，得到的数是原数的三分