时间序列预测法讲义

Marketsurvey&Forecast

市场调查与预测

(6)1第六章时间序列预测法在我们的生活中，有时候需要对未来的经济现象进行预测。而预测的依据就是已经发生的经济现象，当把历史数据按照时间顺序排列进行分析、归纳、总结，就可从中得到一些规律东西，并利用这些规律进行预测。而时间序列预测法是市场预测中一个重要方法之一。2时间序列是指各种各样的社会、经济、自然现象的数量指标依时间秩序排列起来的统计数据(动态)。例如，XX大学的每年招生人数是依时间变化的，这就是一种时间序列。时间序列预测法是根据历史资料和数据，按照时间序列所反映的经济现象的发展过程、方向和趋势、将时间序列外推或延伸，以预测经济现象未来可能达到的水平。3时间序列预测法特点在时间序列中，数据的大小受到各种因素的影响。数据的变化趋势也表现出各种形状，通常根据这些影响因素将数据的变化趋势分为四大类：长期趋势、季节趋势、循环趋势、和不规则变动。对于前三种数据趋势预测问题，由于数据呈现某种规律性，因此能够将数据进行简化、分析，从而使预测成为可能；而不规则变动是指由某种偶然因素引起的突然变动，如战争的发生、政权的更迭、重大的自然灾害等，预测的难度就大，有的甚至无法预测。4

时间序列预测法早在国外应用，国内是在二十世纪60年代初应用于水文预测，随计算机的广泛应用，在许多领域已经应用，并取得了很好的效果。目前，已成为世界各国进行市场预测的基本方法。5第一节时间序列概述

一、时间序列分析时间序列一般用：y1,y2,…,yt…;表示，其中t表示时间。在时间序列中，每个时期变量数值的大小，都受到许多不同因素的影响。例如，手机销售量受到居民的收入、质量，功能、价格等因素的影响。因此，时间序列按性质不同分成一下四类：61、长期趋势(Long-termTend)指受某种根本性因素的影响，时间序列在较长时间内朝着一定的方向持续上升或下降，以及停留在某一水平上的倾向。如图所示。时间时间时间销售额销售额销售额（a）上升变动趋势图(b)下降变动趋势图(c)水平变动趋势图

图6-1时间序列数据长期趋势变化曲线.....72、季节变动(SeasonsVariety)指由于自然条件和社会条件的影响，时间序列在一年内随着季节的转变而引起某一因子呈周期性的变动。例如，农作物的生长季节影响，导致农产品加工业的季节变动。季节变动的周期比较稳定，一般周期为一年。季销售额年销售额时间时间图6-2时间序列数据季节变化曲线图6-3时间序列数据循环变化曲线83、循环变动(Alternationvariety)如图6-3所示。循环变动与季节变动有相似之处，时间序列都会在周期内有波动，而季节波动的时间序列周期长短固定；而循环变动的时间序列波动较长、周期长短不一，少则一两年，多则数年甚至是数十年，周期不好预测。94、不规则变动(IrregularVariety)它是由各种偶然性因素引起的无周期变动。又可分为突然变动和随机变动。例如，战争、自然灾害、地震、意外事故的改变所引起的变动都属于突然变动；而随机变动是由随机因素所产生的影响。10二、、时时间间序序列列的的组组合合形形式式时间间序序列列是是由由长长期期变变动动、季季节节变变动动、、循循环环变变动动和和不不规规则则变变动动四类类因因素素组组成成。。四四类类因因素素的的组组合合形形式式，，常常见见的的有有以以下下几几种种类类型型：：11对于于一一个个具具体体的的时时间间序序列列，，由由哪哪几几类类变变动动组组合合，，采采用用哪哪种种组组合合形形式式，，应应根根据据所所掌掌握握的的资资料料、、时时间间序序列列、、及及研研究究的的目目的的来来确确定定。。下下面面，，我我们们将将要要分分别别介介绍绍这这类类问问题题的的预预测测方方法法。。12第二二节节平平均均数数预预测测法法平均均数数法法是是一一种种传传统统的的趋趋势势变变动动分分析析预预测测法法，，它它通通过过计计算算时时间间序序列列一一定定项项数数的的平平均均数数，，来来估估计计模模型型参参数数，，建建立立趋趋势势变变动动分分析析预预测测模模型型进进行行外外推推预预测测。一、全全列算算术平平均法法(Average)是移动动平均均法的的一种种，它它含有有算术平均法法、几几何平平均法法、加加权平平均法法等。。131、算术平平均法：设时间序列列为：14用此公式应应注意：（1）时间序列波波动较小的的情况下使使用；（2）预测值可用最后一一年的每月月平均值或或数年的每每月平均值值；（3）当观察期的长长短不同，，预测值也也随之不同同（误差））若误差过过大，就就会使预预测失去去意义，，因此，，预测时时应确定定合理的的误差，，误差公式式为：15（4）当时间序序列波动动较小时时，预测测期可短短一些；；反之，，可长一一些。16补充资料料1、显著著性水平平（α）——本来正正确的数数据却被被错误的的否定掉掉，即犯犯弃真错错误，犯犯此错误误的概率率称为显显著性水水平。β—本来来错误的的数据却却被认为为是正确确的而被被保留下下来，即即犯存伪伪错误，，犯此错错误的概概率记作作β。(n-m-1)—自由度度。其中：n—时间间序列的的个数m—自变变量的个个数2、标准准差（S）—实质上是是平均差差，它反反映个体体与平均均值差别别的程度度。17例1请你根据据食盐在在2001年~2004年的的每月销销售量见见表6-1所示示，预测测2005年的的每月销销售量。。18表6-1食盐盐2001-2004的销售售量及平平均值单单位位：千元元月年2001年2002年2003年2004年132833029833523313243173213360348328346431836033036353243273233296294342348327734236034236883483573513509357321318341103212973363121133031835432712348354358351全年平均400140384003407019解：由表可知知，方法（1）以2001年~2004年的的4年的的月平均均值作为为2005年的的预测值值，则有有：20在95%的置信信度下，，确定2005年每月月预测区区间为：：21方法（2）以2004年每每月的平平均值作作为2005年年的每月月预测值值结论:比较(1)、、(2)可知：：方法(1)精精确度高高。22某商店汗汗衫的销销售量如如表所示示，试预预测第第第五年每每月的销销售量。。月年2001年2002年2003年2004年116.017.320.117.8219.021.022.020.7321.323.025.023.1425.027.029.225.7532.836.038.535.8665.270.277.070.8799.0107.0118.0108.08131.0140.2152.8141.3980.587.294.087.21038.041.445.041.51122.224.026.024.11218.419.822.520.2年平均47.451.255.8表6-2某商商店汗衫衫的销售售量统计计表单单位：：百元问题23由表可知知：（1）1~12月内出出现季节节波动，，特别是是在6~8月份份，要比比淡季高高出2~3倍。。（2）汗汗衫销售售量还出出现长期期变动趋趋势（每每一年的的销售量量逐年增增加）在这种情情况下，，用算术术平均法法求第四四年每月月的平均均值，显显然误差差较大，，就不能能用这种种方法242、几何平均均(GeometryMean)(1)n个变变量值乘积的的n次根;(2)适用于于对比率数据据的平均;(3)主要用用于计算平均均增长率;(4)G的确确定方法：①①根据公式直接接计算②(5)可看作作是平均数的的一种变形。。25问题1某水泥厂1999年的水水泥产量为100万吨，，2000年年与1999年相比增长长率为9%，，2001年年与2002年相比增长长率为16%，2002年与2001年相比增增长率为20%，求各年年的平均增长长率。解：26问题2一位投资者购购有一种股票票,在2000,2001,2002,2003年收益率率分别为4.5%,2.1%,25.5%,1.9%,计计算其平均收收益率。27适用条件：具有对比或近近似对比关系系的时间序列列。几何平均预测测法28观察期（年）9192939495969798990001020304销售额(万元)718183908987929610095145105120142某企业1991~2004年年的销售额额资料如表表所示，预预测该企业业2005年的销售售额表6-3某某企业1991~2004年年的销售额额问题329解:（方法一））由预测公公式直接计计算(略)(方法二)由环比指指数进行预预测预测步骤如如下：（1）以上上年度的基基数分别求求各年的环环比指数。。1991年年的环比指指数=81/71×100%=114.08%1992年的环比指指数=83/81×100%=102.47%同理理可可得得出出各各年年的的环环比比指指数数，，见见表表6-4（2））求求环环比比指指数数的的几几何何平平均均数数，，即即发发展展速速度度。。可可用用两两种种方方法法：：30①直直接接用用所所求求得得的的环环比比指指数数，，求求平平均均发发展展速速度度31②采用对对数运运算，，求得得的环环比指指数的的几何何平均均数，，见表表6-4。。G=arclg∑lgxi/n=arclg2.0231=105.46平均发发展速速度为为105.46%。两种方方法所所得结结果梢梢有差差异，，是由由于计计算中中四舍舍五入入误差差导致致的原原因。。32观察期实际销售额环比指数（x）lgx（1）（2）（3）（4）199171.00199281.00114.082.0572199383.00102.472.0106199490.00108.432.0352199589.0098.891.9951199687.0097.751.9901表1991~2004年年销售售额及及几何何发展展速度度单单位位：万万元33199792.00105.752.0243199896.00104.352.01831999100.00104.172.0177200095.0095.001.97772001145.00153.6320072.411.85982003120.00114.292.05802004142.00118.332.0727∑/n2.023134（3））求环环比指指数几几何平平均数数的简简便算算法。。以1991年销销售额额为x0（基数数），，………，2004年年销售售额为为xn（当前前期）），那那么其其环比比指数数的几几何平平均数数为：：353637是在求求平均均数时时,根根据观观察期期各资资料重重要性性的不不同，，分别别赋予予不同同的权权重,然后后再平平均的的方法法。特点：：加权后后的平平均值值包含含了长长期趋趋势变变动。3、加加权平平均法法38ω的选选择原原则:由表达达式可可知,ωω的选选择不不同，，近期期数据据的数数据权权重选选择大大一些些;远远期数数据权权重选选择小小一些些.有三种种形式式:(1)当xt变动不不大时时,采采用用等差差级数数的形式式，1,2,……,n(2)当xt变动较较大时时,采采用等等比级级数的形式式，1,2,4,8…,(3)当xt变动不不大时时,采采用0.2,0.3,0.5,……等等39某商店近几几年的资料料如表所示示，试预测测2006年的销售售额。表2001~2005年销售售额及赋权权权值单单位：万万元元观察期销售额Xi权重ωiωiXi2001401402002602120200355316520045543002005755425∑315151050问题:40分析:由表可知,随着时间间的推移,销售额逐逐年稳步的的增加,若若用算术平平均或几何何平均,其其预测值较较小,不能能刻化时间间序列的长长期趋势.而加权平均法法只要ω选取的好好,就能较好好的反映长长期趋势,故选用加加权平均法法进行预测测.41第三节移移动平均预预测方法P165是将将观观察察期期的的数数据据，，按按时间间先先后后顺顺序序排排列列，由远远及及近近，，以以一一定定的的跨跨越越期期进进行行移移动动的的平平均均，，求求得得的的平平均均值值,即即：：x1,x2,……,xn，方法法：：每次次移移动动平平均均总总是是在在上上次次移移动动平平均均的的基基础础上上，，去掉掉一一个个最最远远的的数数据据，，增增加加一一个个紧紧挨挨跨跨越越期期后后面面的的新新数数据据新新数数据据，，保保持持跨跨越越期期不不变变，，每每次次只只向向前前移移动动一一步步，，逐逐项项移移动动，，滚滚动动前前移移。。下面具体介绍绍如下：42（一）一次移移动平均法1、原理4344某城市汽车配配件销售公司司某年1月至至12月的化化油器销售量量如表所示，，请预测明年年1月的销售售量。问题：移动平均法中中n的大小比比较月份123456789101112销售量423358434445527429426502480384427446451、由图可知：销销售量的随机机波动较大，，经过平均移移动法计算后后，随机波动动显著减少，即较大程度消消除了随机因因素的影响。。2、N的取值愈大大，修匀的程程度也愈大，，因此波动也也愈小。但对对实际销售量量的真实变化化趋势反应也也愈迟钝；反反之，N的取取值愈小，对对实际销售量量的真实变化化趋势反应也也愈灵敏。讨论146讨论2由前面的讨论论可知：1、N的取值值大小，决定定了对实际情情况描述误差差的大小。。故N的取值值很重要。N应取多大，，才能基本反反应真实情况况应视具体情情况而定。2、在实际应应用中，是取取几个N值进进行试算，比比较他们的预预测误差的大大小。具体方方法如下：47其计算结果表表明：应取N=5。48讨论2由前面的讨论论可知：1、N的取值大大小，决定了了对实际情况况描述误差的的大小。故故N的取值很很重要。N应应取多大，才才能基本反应应真实情况应应视具体情况况而定。2、在实际应应用中，是取取几个N值进进行试算，比比较他们的预预测误差的大大小。具体方方法如下：49移动平均法特特点:所求得的各序序列平均值，，不仅构成了了新的时间序列列，而且新的时时间序列与原原时间序列相相比较，削弱了季节变变动、周期变变动和不规则则变动的影响响，具有明显显的修复效果果，同时又保保持了原时间间序列的长期期趋势变动,正是它具有这这种特点，因因此，移动平平均法在市场场预测这被非非常广泛的应应用。502、一次平均均移动值的位位置由的的表达式式可知：是是时间间序列的中间间值，即放放在中间的的位置。但实实际上是放在在跨越期末的的位置。这就就出现了偏差差，即使得预预测值落后于于实际值（n-1）/2,为了纠正正这种误差，，规定将放放在（n+1）/2的的位置上。(n+1)/2n一次移动产生生滞后偏差的的原因513、一次移动动平均法预测测的步骤(1)绘制散散点图（根据据收集的资料料）(2)选择择跨越期并计计算移动平均均值(3)计算趋趋势变动值(4)当年趋趋势变动值=当年移动平平均值—上年年的移动平均均值=52注意在以下情况，，趋势变动情情况可分别处处理：①当各年的趋趋势变动值比较平稳时，可直接采用用最后一年的的趋势变动值值进行预测。。②当各年的趋趋势变动值波动较大时，可采用下面面两种方法：：（a）趋势变动值=算术平均值值（b）趋势变动值=各年的趋势势变动值求移移动平均，并并以最后一个个移动平均值值作为趋势变变动值。53（5）计算绝绝对误差、平平均绝对误差差绝对误差=|移动平均值值－观察值|（6）建立预预测模型54应用1我国1983~2003年的发电总总量基本呈直直线上升趋势势，具体资料料如表所示，，请你预测2004年和和2005年年的发电总量量？我国发电总量量及一次移动动平均值计算算表55年份发电总量ytN=7时趋势变动值移动平均趋势变动值1983676198482519857741986716★924.8619879401046.00121.14198811591166.43120.43198913841279.00130.57199015241474.43177.43★146.84199116681630.29155.86155.98199216681783.86153.57166.08199319581952.71168.86176.1656199420312137.86185.15177.73199522342329.00191.14185.73199625662530.14201.14195.14199728202718.57188.43227.4219983006293043211.86199930933149.86219.43200032773370.00220.1420013514200237702003410757t500040003000200010000yt解：（1）绘制散点图由散点图可以以看出，发电电量基本呈直直线上升趋势势，可用移动动平均法进行行预测。N=7时移动动平均曲线观察值曲线（2）选择跨跨越期取N=7。图我我国1985~2003发电量及一一次移动平均均值的散点图图58596061626364由上可知，趋趋势变动值采采用不同的算算法，其结果果很不一样，，这三答案都都是对的。那那么在实际的的预测中到底底采用哪一个个预测值呢？？只有决策才才能最后选定定。65（二）二次移移动平均法1、二次移动动平均法原理理二次移动平均均法是对一组组时间序列数数据先后进行行两次移动平平均，即在一一次的基础上上，再进行第第二次移动的的平均，并根根据最后的两两个移动平均均值的结果建建立预测模型型，求得预测测值。二次移动平均均法与一次移移动平均法关关系密切。66第一，一次移动平均均法，存在滞滞后偏差，使使移动平均值值滞后于实际际观察值的期期，而二二次移动平均均法正是利用用这一滞后偏偏差，把一次次、二次移动动平均值置于于跨越期末的的水平上，并并建立预测模模型，求得预预测值。第二，二次移动平均均法不是一种种独立的方法法，它必须在在一次移动平平均值的基础础上再进行第第二次移动平平均，同时，，要与一次移移动平均值（（最后一项的的一次移动平平均值）一起起才能建立预预测模型进行行预测。672、二次移动动平均值计算算方法6869二次移动平均均法预测步骤骤（1）选择跨跨越期一般情况下，，求二次移动动平均时，采采用与一次相相同的跨越期期。（2）计算一一次移动平均均值（★的第一个放在在n=7上）（3）计算二二次移动平均均值（★的第一个放在在n=7上）（4）建立二二次移动平均均法预测模型型707172观察期观察值N=7,N=7，196567619668251967774196871619699401970115919711384★924.86197215241046.00197316681166.43197416681279.00一次次、、二二次次移移动动计计算算表表73197519581474.43197620311630.29197722341783.86★1331.84197825661952.711478.67197928202137.861634.65198030062329.001800.74198130932530.141976.90198232772718.572145.63198335142930432340.37198437703149.863535.51198541073370.002737.9874第四四节节指指数数平平滑滑预预测测方方法法前面面介介绍绍的的移动动平平均均法法存在在两两个个不不足足之之处处，，一是是存存储储数数据据数数量量较较大大，，二二是是对对最最近近的的N期期数数据据等等权权看看待待，，而而对对t-T期期以以前前的的数数据据则则完完全全不不考考虑虑。。因此此，，预测测的的结结果果准准确确度度不不高高。指数数平平滑滑法法却却有有效效的的克克服服了了这这两两个个缺缺点点。。它既既不不需需要要存存储储大大量量的的历历史史数数据据，，又又考考虑虑了了各各期期数数据据的的重重要要性性，，而而且且使使用用了了全全部部历历史史资资料料。。因因此此，，指指数数平平滑滑移移动动平平均均法法的的改改进进和和发发展展，，应应用用极极为为广广泛泛。。指数数平平滑滑法法根据据平平滑滑的的次次数数不不同同，，可可分分为为一一次次指指数数平平滑滑、、二二次次指指数数平平滑滑、、三三次次指指数数平平滑滑等等。。分分别别介介绍绍如如下下：：75（一一））一一次次指指数数平平滑滑原原理理（Onceindexgloss）设时时间间序序列列为为x1,x2,………,xt…一次次指指数数平平滑滑公公式式为为：：（1））一、、一一次次指指数数平平滑滑76（2））（3））（4））77对（（1））进进行行展展开开，，有：：78（5））由（（5））可可知知一次次指指数数平平滑滑特特点点：（1））（2））由于于加权权系系数数符符合合指指数数规规律律，又具有有平滑功功能，故称称为指数数平滑。。793、权重重之和为为1，即：80令误差et=xt-Ft在指数递递推公式式（4））中，81（二）αα的选择择α的选择择，既是指数平滑滑法的灵魂所所在，又又是应用用指数平平滑法的的难点之一一，迄今今没有从从理论上上完全解解决，它它的确定定带有一一定的经经验性。。通常α取取值方法法应遵循循下列原原则：1、当xt波动较大大时，取α=0.1~0.3（滤去季季节波动动、不规则变变动，使预测模模型不易易受它们们的影响响，保留留长期趋趋势描述述实际观观察值）822、当xt波动较小小时，取α=0.6~0.8，（加大近近期数据据的比重重，提高高修正误误差程度度使预测测模型保保留长期期趋势来来描述实实际观察察值）3、在实际应应用中，，可取若干干个α值值进行比比较，选选择一个个误差最最小的αα。83（三）初初始值的的确定用一次指指数平滑滑进行预预测，除除了选择择α的值值外，还还要确定初始始值初始值是是预测者者估计或或指定的的。1、当时间序序列N≥10时，此时的对对以以后预测测值的影影响较小小，故可直接接选用第第一个观观察值即即：2、当时间序序列N＜10时，此时的对对以以后的预预测值的的影响较较大，这时一般般采用最初几期期的观察察值的算算术平均均值作为为初始值值。84（四）一一次指数数平滑预预测步骤骤1、确定定初始值值2、选定定平滑系系数：α（若不能能确定，，可选不不同的α）3、计算算一次指指数平滑滑值4、计算算预测值值：5、计算各各标准差S，选择一一个Smin，6、确定预预测值：85某商店1995~2004年销售额资资料如表所所示。试预预测2005年销售售额为多少少万元？并并已知：α=0.2,α=0.5,α=0.8,S0=x=400年份1995199619971998199920002001200220032004销售额400450503551602657709758809862表1995~2004年商品销售售额及一次次指数平滑滑法计算表表一次指数平平滑预测法法举例862、α的取值∵历年的的销售额都都是逐年稳稳步上升，，故可取α的值小一些些，本题取取α=0.23、为了对α值有一个较较深刻的认认识不妨，取α=0.5和α=0.8进行比较。。年销.售额α=0.5α=0.2实际实际观察值值图一一次指指数平滑思考：878889表1995~2004年商品销售售额及一次次指数平滑滑法计算表表年份销售额

α=0.2α=0.5α=0.8α=0.2α=0.5α=0.8199540040040040000019964504104254404025101997503428.6464490.474.43912.61998551453.1507.5538.997.943.512.11999602482.9554.8589.4119.147.212.62000657517.7605.9643.5139.351.113.52001709556.0657.4659.9153.051.613.12002758596.4707.7745.6161.650.312.42003809638.9758.4796.3170.150.612.72004862683.5810.2848.9178.551.813.190（4）预测测值91（5）计算算标准差S，确定预预测值当α=0.2时，S1=106062.9α=0.5时，S2=1931.4α=0.8时，S3=140.4∵S3=140.4最小小，∴预测值为为：921、二次指数平平滑原理一次指数平平滑虽然克服了了移动平均均法的缺点点，但当时时间序列的的变动出现现直线趋势势时，用一一次指数平平滑方法进进行预测，，仍存在明显显的滞后偏偏差。因此，必必须加以修修正。修正正的方法与与趋势移动动平均法相相同，即再再作二次指指数平滑，，利用滞后后偏差的规规律建立直直线趋势模模型。与一次指数数平滑公式式基本相似似，二次指指数平滑基本公式为为：二、二次指指数平滑932、二次指数平平滑预测模模型为)(，)()()()(2t1tt2t1ttttTtSS1bSS2aTbay--=-=+=+Ùaa其中，94某公司1990~2004年销售收入入yt如表表所示，试试用二次指指数平滑法法预测2005年和和2006年的销售售收入各为为多少万元元？年份199019911992199319941995199619971998199920002001200220032004销售额6768257747169401159138415241468166819582031223425662820表6-11历年年销售收入入数据单单位：：万元二次指数平平滑预测法法举例95思考1、确定初初始值∵表中的历历年实际销销售收入可可知变化不不大，随时时间的推移移销售收入入逐年增加加，并且N=15＞＞10∴===6762、确定平平滑指数α∵历史资料料表明基本本上是长期期稳定的增增加的，∴α应取小一些些，令α=0.3注意：二次指数平平滑预测可可用线性趋趋势数据的的方法进行行预测。969798年t19901676676676676.00—19912825720.7689.4652.013.4676.019923774736.7703.6769.814.2765.419934716730.5711.7749.38.1784.019945940793.3736.2850.424.5757.4199561159903.0786.21019.850.1874.91996713841047.3864.51230.178.31069.91997815421190.3962.31418.397.71308.41998914681273.61055.71491.593.41516.019991016681391.91156.51627.3100.91584.920001119581561.81278.11845.5121.61728.220011220311702.51405.41999.6127.31967.120021322341862.01542.42181.6137.02126.920031425662073.21701.62444.8159.32318.620041528202297.21880.32714.1178.72604.1表6-11历年年销售收入入数据单单位：：万元99第四节线线性外推推预测法趋势外推法法是根据某一一事件的历历史规律，，寻求该事事件的变化化规律，从从而推出事事件未来状状况的一种种比较常见见的预测方方法。利用用趋势外推推法进行预预测，主要要包括六阶阶段：（1）选择择所需的预预测的参数数（2）收集集必要的数数据（3）利用用数据拟合合曲线（最小二乘法法）（4）趋势势外推（直直线、对数数、曲线））（5）预测测说明（6）研究究预测结果果在进行决决策中应用用的可能性性。1001、拟合直直线方程法法的数学模模型依据的是最最小二乘法法，是将时间序列拟拟合成一条条直线趋势势，使该直线上的的预测值与与实际值之之间的离差和为最最小。设n(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)它们的位置置如图，代求的拟合合直线AB，它使n个观察值值对该直线线的离差分分别为e1,e2,…,en。其中在AB上方一一侧的离差差为正离差差，下方一一侧的离差差为负离差差。(x1,y1)(x2,y2)(x4,y4)(x3,y3)eieiei图拟合直线方程原理一、直线趋势势外推法（LineTend）101若简单的以离离差代数和的的大小来反反映该直线是是否是最佳拟拟合直线，则则可能出现正正、负离差的的相互抵消使使离差的代数数和变小，甚甚至出现完全全抵消的情况况，即：，，这时时的拟合直线线并非没有偏偏差。102最小二乘法原原理(Least–SquareMethod)在Q中，描述了直直线方程yt=a+bx与与n个观察点点的接近程度度。误差的大大小随直线的的位置变化而而变化。即误差的值会随着a和b不不同而变化。即是a和和b的二元函函数。103我（1）104为了使误差最最小，即Q为最小值;可可分别对a,b求偏导，并令令其为0.则则有:（2）（4）（5）（3）åååååååååååååååå--=-=-==--=---=--¶¶=¶¶=--=---=--¶¶=¶¶--22tttt2ti2iti2ixxnyxxynbxbyxbyn1a0xbxaxy0bxayx2bxaybbQ0xbnay0bxay2bxayaaQ)())(()(,)()(,)()(105注意：在确定直线方方程时，时间间序列为奇数数时，取中间间数(n+1)/2的编编号为0，那那么x的编号号就构成了以以0中心,的的正、负数对对称的编号。。例如,当n=9时,(9+1)/2=5,那那么就可以编编成-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,这时时由于∑x=0，可简化化计算。此时时有：(6)(7)ååå===-2tttxxybynya1062、拟合直线线方程的步骤骤(1)绘制散散点图(2)列表计计算求待定系系数所需的数数据(3)确定待待定系数a、、b,建立预预测模型(4)用拟合合直线方程求求预测值107某家用电器厂厂1994年年~2004年利润数据资资料如表6-14所示，，试预测2005、2006年利润润各为多少？？年份19941995199619971998199920002001200220032004销售额2003003504005006307007508509501020解：：（1））画画散散点点图图并并观观察察各各个个点点变变化化趋趋势势是是否否可可用用直直线线方方程程来来拟拟合合。。（2））列列表表计计算算求求待待定定系系数数所所需需要要的的数数据据资资料料，，由由于于时时间间序序列列为为11个个，，即即（（n+1））/2=（（11+1））/2=6。。故故以以1990年年为为中中点点编编号号：：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，，2，3，4，，5。表某某家用电电器厂1985年~1995年利润润及拟合合直线方方程法计计算表单位：万万元线性外推推趋势预预测法举举例中心108是19941995199619971998199912001000800600400200图直线绘制图109表的以左左边∑x=0,∑∑yt=6650,∑x²=110;∑xyt=9100.表的右边边以0，，1，…，10对对自变量量x进行编号号，并求求得：∑x=55，∑x²=385；∑xyt=42350(3)确定待定定系数，，建立预预测模型型①按表的左边边x编号号，有：：a=∑∑yt/n=6650/11=604.3b=∑∑xy/∑x²=9100/110=82.7故左边边预测测的直直线方方程为为：②按表右右边的的x编编号方方法有有：110111年份利润yixx²xyt

左边xx²xyt

右边1994200-525-1000191.0000191.01995300-416-2000273.711300273.71996350-39-1050356.424700356.41997400-24-800439.1391200439.11998500-11-500521.84162000521.81999630000604.55253150604.5200070011700687.26364200687.22001750241500769.97495250769.92002850392550852.68646800852.620039504163800935.39818550935.32004102052551001018.010100102001018.0∑6650011091005538542350表某某家家用电电器厂厂1994年~1904年年利润润及拟拟合直直线方方程法法计算算表单单位位：万万元112（4））用拟拟合直直线方方程求求预测测值分分别按按左、、右边边直线线方程程进行预预测结结果相相同，，故拟拟合直直线有有效。。见表表3、特特点（1））拟合合直线线方程程的一阶差差分为为一常常数，即：（2））直线外外推法法只适用用时间序序列呈呈直线线趋势势预测。。（3））无论论远、、近的的数据据不考考虑权权重。。（4））用最小二二乘法法拟合直直线方方程消消除了了不规规则的的影响响，使使内插值值和外外推值值都落在在拟合合的直直线上上。113二、加加权拟拟合直直线方方程原理拟合直直线方方程根根据最最小二二乘法法原理理，使使观察察期对对于估估计值值的离离差平平方和和最小小再求偏偏导并并令其其等于于0，，求出出a，，b，，最后后建立立直线线方程程进行行预测测。但但这种种方法法的问问题是是在拟拟合直直线过过程，，对时时间的的近期期和远远期的的数据据同等等对待待，求求出的的预测测方程程不够够精确确。而而加权权拟合合法就就较好好的解解决了了这个个问题题。114是指时时间序序列的的观察察值长长期趋趋势呈呈指数数曲线线变化化规律律，利利用对对数规规律及及最小小二乘乘法确定指指数方方程。然后后在进进行趋趋势外外推。。(1)(2)(3)三、对对数预预测法法(4)115116某公司司1992～2004年年商品品销售售额额额如表表所示示，试试预测测2005年的的销售售额多多少万万元？？对数预预测法法举例例年份1992199319941995199619971998199920002001200220032004销售额18729021027039057090015002310405048005400表某某公公司历历年销销售额额表资资料117思考：：1、根根据历历年利利润额额数据据表可可知：：历年年利润润额基基本呈呈指数数曲线线，故故可用用对数数趋势势外推推法。。2、∵N=13年，，∴取13+1/2=7，即即（-7～～7）可简简化计算。。3、确定a和b，得出出拟合对数数曲线方程程。4、根据拟拟合曲线方方程进行预预测。解:(1)列表表计算求待待定系数,x的编号为为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6.根据拟拟合直线方方程(4),列表计计算∑lgyt,∑xlgyt,∑x²²,并将计计算填入表表118观察期销售额ytxx²lgytx·lgyt

199218-6361.2553-7.531637.31199372-5251.8573-9.286758.52199490-4161.9542-7.817091.791995210-392.3222-6.9667143.981996270-242.4314-4.8627225.841997390-112.59112.5911354.241998570002.75592.7559555.651999900112.95422.9542871.5720001500243.17613.17611367.1020012310393.35363.36362144.37200240504163.60753.60753363.57200348005253.68123.68125275.94200454006363.73243.73248275.61∑20580018235.682435.6824119(2)建立立数学模型型，计算预预测值120第五节曲曲线外推推预测法在实际预测测中，我们们常常碰到到的不是是我们前面面所介绍的的形式，而而是其他的的曲线形式式。在这样样的情况下下，就要用用到曲线外推趋趋势法。这种方法法仍然是利利用二乘法来拟合曲线线方程。介介绍如下：：设曲线线预测模型型为：121122一、二次曲曲线外推法法（一）二次次曲线外推推法数学模模型二次曲线方方程为：（（1）利利用最小二二乘法得：：（2）123124季节节指指数数法法是指指某某一一事事件件在在一一年年内内以以季节节为为周周期期循循环环发发生生，可可通通过过季季节节指指数数进进行行预预测测。。季节节指指数数可可将将三三至至五五年年资资料料按按月月展展开开或或按按季季展展开开，，然然后后，，考考虑虑它它是是否否受受长长期期趋趋势势波波动动的的影影响响；；还还是是受受随随机机因因素素的的影影响响。。下下面面，，分分两两种种情情形形介介绍绍。。第六六节节季季节节指指数数预预测测125一、、不不考考虑虑长长期期变变动动趋趋势势的的季季节节指指数数法法（一一））按按月月（（季季））平平均均法法1、、计计算算历历年年同同月月平平均均数数设每每年年的的月月平平均均数数为为ri,i=1,2,……,12r1=1/n(y1+y13+…+y12n-11)r2=1/n(y2+y14+…+y12n-10)(n-年份份)………r12=1/n(y12+y24+…+y12n)(1)1262、计计算各各年月月平均均值(2)1273、计计算各各月的的季节节指数数(3)1284、调调整各各月的的季节节指数数从理论论上讲讲，1至12个个月各各季节节指数数之和和应等等于1200百百分点点，但但在计计算季季节指指数的的过程程中的的近似似会使使各月月季节节指数数之和和（大大于或或小于于）1200点点，因因此，，须调调整。。即：：1295、利利用季季节指指数法法求预预测值值130季节指指数预预测法法举例例1某商店店2001年~2004年电电风扇扇的销销售量量资料料如表表，已已知2002年年4月月份销销售量量为23台台，试试预测测同年年5、、6月月份的的销售售量为为多少少？131表某某商店店电风风扇销销售量量及季季节指指数法法计算算表单单位：：台月份2001年2002年2003年2004年月平均值季节指数调整后季节指数1523237.687.6824453410.2310.23310812101025.5925.594252220212256.2956.2954564806062159.28159.286106110102105106270.58270.5879490959393237.95237.9589081879488225.16225.1696052625858148.40148.4010201218141640.9440.94115546512.7912.7912512025.125.12∑4694514904664691200.011200.01132解：（1））计算算历年年同月月的平平均数数133（2））计算算各月月平均均值在134（3））计算算各月月的季季节指指数（4））调整整各月月的季季节指指数∵k=1200/∑∑αi=1200/1200.01F1=αik=7.68%××1200/1200.01=7.68%F2=10.23%××1200/1200.01=10.23%………依次填填入表表中。。135（5））利用用季节节指数数法求求预测测值∵∴=23×159.28/56.29=65.08(台)=23×270.57/56.29=110.55(台)136（二）全年年比率平均均法是将历年各各月（或季季节）数值值同全年（（或季节））平均值之之间的比率率再加以平平均求得季季节指数，，并用它进进行预测的的方法。即即:其中:yi-历年各月月（或季节节）数值;y-全年年（或季节节）平均值值,其余与与季节指预预测法相同同.137季节指数预预测法举例例2某超市2002~2004年A品牌牌饮料销售售量如表所所示：当2005年年5月份销销售额为330箱时时，试预测测2005年6、7、8月份份的销售量量为多少？？138月份单位123456789101112年合计月平均2002箱25124176185300335590610555250741632402702003箱30130180190310340600620560240802033002752004箱28132170200315330590635610245802533602802002月比率%9466569111124219226206932762003年月比率%11476569113124218225204872972004年月比率%1047617111311821122721888299季节指数%1046.763.769.7112.3122.0216.0226.0209.389.328.37.3∑=1200.6调节后季节指数%1046.763.769.7112.2121.9215.9225.9209.289.228.37.3∑=1200.0年份表某某超超市A品牌牌饮料2002~2004年月销销售量及及季节指指数计算算表单单位：：箱139解（1））计算历历年平均均月销售售量ŷ2002=1/12××（25+124+…+16）=270（（箱）ŷ2003=1/12××（30+1130+…+20）=275（（箱）ŷ2004=1/12××（28+132+…+25）280（箱箱）（2）计算历历年各月的比比率ri。即即历年各月销销售量同该年年平均销售量量比的百分数数。r2002.1=25/270×100%=9%r2002.1=124/270×100%=46%……r2002.12=16/270×100%=6%r2003.1=30/275×100%=11%r2003.2=130/275×100%=47%……140r2003.12=20/275×100%=7%r1003.1=28/280×100%=10%r2003.2=132/280100%=47%……r2004.12=25/280×100%=9%141142143二、考虑长期期趋势的季节节指数法（一）长期期趋势的季季节指数模模型将移动平均均值置于跨跨越期中间间位置上，，即：(n+1)/2=6.5上。则则预测模型型为：144nxxMMnxxxMnttttntttt--+---+=+++=)1(1)1(11)1(Ln=12：的移动平均值的公式为时，xxxm122112,,,,LL当跨越期为m间序列为：为年份，按月收集的时设145146某企业2000~2004年共有20个季度的的销售量Q如表所示示，试预测测2005年1、2、3、4季度销售售量为多少少？解：季节指数预预测法举例例3147148观察期9

(年、季)期数

(x)销售量

（Q）4个季度的

移动平均中心化

移动平均季节

指数2000.1172000..2265.752000..3346.005.8750.6182000.4466.256.1250.9802001.1586.756.5001.2312001..2677.006.8751.0182001..3767.507.2500.8282001.4878.007.7500.9032002.19108.008.0001.2502002..21098.508.2501.0912002..31169.008.7500.6862002.41299.259.1250.986表某某企业销销售量数据据及季节指指数法计算算表单单位：千件件1492003.1131210.009.6251.2472003..2141010.7510.3750.9642003..315911.0010.8750.8262003.4161211.0011.0001.0912004.1171310.7510.8751.1952004.2181010.5010.6250.9412004.31982004.420112005.1212005.2222005.3232005.424观察期9

(年、季)期数

(x)销售量

（Q）4个季度的

移动平均中心化

移动平均季节

指数150季节年份1234∑20001.2310.6810.98020011.2501.0280.8280.90320021.2471.0910.6860.98620031.1950.9640.8261.09120044.9230.941总计4.9234.0143.0213.960均值2311.0040.7550.9903.980调后均值23711.0090.7590.9954.000表6-28季季节指指数计算表表%151（4）计算算各季节指指数平均值值，并作调调整1季节度的的季节指指数总计为为：1.231+1.250+1.247+1.195=4.9231季度的季季节指数数的平均均值为：4.923÷4=1.2311季度调整整后的季