线代试卷答案-参考解答_第1页
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线性代数 )评分标 一、

t

6

125.

6.

7.

8. 1x19.

(x,x,

1x

fy24y2

1x

3三、解原方程可化为A16E)BA

3由于AA1且有A16E

故有A16E)BB(A16E)1diag(1,1,1

10 21 2 021 2 00 00

5 由(1)B400所以B可逆,从而有RABR

11

00

011A

1r

1 r

01011 01011 1

11

11

00

11 0R(A)

RABRA

10

5

2135401 401法二

45r

1

R(AB)050 1 050 1

00 1 五、解

A

,3,4,

1

33 312111

1

10

08r01211r012 3

602000102 02000102 00

0 000 0故一个最大无关组为1,2,4.且有3122,5813224六、解对方程组的增广矩阵B(A b)施行初等行变换2

25 B(A|b)

5

r

1

1

1

5

0000

(1)(10

(1)(4（或BA|br

1

1

1 00 (1)(10)(1)(4001且10时R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解当=10时,R(A)=2,R(B)=3,方程组无解 6 当=1时,R(A)=R(B)=1,方程组有无穷多解.此时Br 0 0

1 0 0 故方程组的一个特解为(1,0,0)T导出组的基础解系为(2,1,0)T,(2,0,1)T x1 故所求方程组的通解为x2k11k20

k1,k2R 10x 0 1 3 2 解法二方程组的系数行列式为|A

5

5

(10)(1)21且10时,|A|0,方程组有唯一解=10时

B(A|b)115 12r 0

9000R(A)=2,R(B)=3,方程组无解 6000

1

1当=1时,B(A|b)

2r R(A)=R(B)=1,方程组有无穷多解

00000000 得方程组的一个特解为(1,0,0)T导出组的基础解系为(2,1,0)T,(2,0,1)T x1 故所求方程组的通解为x2k11k20

k1,k2R 10x 0 1 3 3

1 3

1

1七、解(1x1

,)2 4r 2r0100220000 00220000 x12x2

1 2 1 1 2 1 2 1 2

6

AA(x2x)Ax2Ax2x2x

20

10八、证明“充分性”设AabT,其中ab为非零列向量,则有R(aR(bTSylverster不等R(aR(bT1R(abTminR(aR(bT即有1R(abT1R(abT1RA

411“必要性RA1A的标准形为F

OO

000所以存在m阶可逆阵Pn阶可逆阵Q,使得PAQFq1 (1)从而有AP1FQ1

P1(p,p,,

),Q1q2

qnpi(i1,2,mm阶非零列向量,qjj1,2,nn阶非零行向量10 q1 A(p,p

00

q2p ,pm)

1 00 mnn令ap,bTq,则a,b均为非零列向量,且有AabT 10 100 1 （或

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