湖南省长沙市长郡教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 含答案解析

试卷第=page66页，共=sectionpages77页试卷第=page77页，共=sectionpages77页湖南省长沙市长郡教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣12．下列所给的事件中，是必然事件的是（

）A．买注福利彩票会中奖B．某校的名学生中，至少有名学生的生日是同一天C．连续次投掷质地均匀的硬币，会有次硬币正面朝上D．年的春节假期长沙会下雪3．奥运火炬时隔年再次在“鸟巢”点燃，北京由此成为世界上首个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的“双奥之城”，下列各届冬奥会会徽图案中，是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．4．下列运算中，正确的是（

）A． B．C． D．5．二次函数的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）6．方程的解为（

）A． B． C． D．7．如图，已知，，若，则的度数为（

）A．35° B．40° C．45° D．50°8．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是A．55° B．60° C．65° D．70°9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝1，则OD长为（）A．3 B． C． D．210．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点I为对称轴的交点，如图2，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（）A．18π B．27π C．π D．45π二、填空题11．由得到的条件是：______（填“”，“”或“”)．12．已知点A（a,1）与点B（-3,b）关于原点对称，则a-b的值为_______．13．小强投一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数大于1且小于6的概率为_____．14．如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形．15．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C．若∠BCD＝50°，则∠ABC的大小为______°．16．如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，的面积为24，则的长为___________．三、解答题17．计算：．18．先化简，再求值：x（x+1）+（x+1）（x﹣1）﹣x，其中x＝．19．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：(1)画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标；(2)计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度．20．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制出如下两幅不完整的统计图表，根据图表信息解答下列问题：成绩等级频数分布表成绩等级频数A24B10CxD2(1)表中的x＝________，扇形图中表示C的圆心角的度数为________度．(2)甲、乙、丙、丁是A等级中的四名学生，学校决定从这四名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，请用列表法或画树状图法，求同时抽到甲和乙两名学生的概率．21．如图，四边形内接于，为的直径，．(1)试判断的形状，并给出证明；(2)若，，求的长度．22．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届矛盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．（1）求这两种书的单价；（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？23．如图，是圆被直径分成的半圆上一点，过点的圆的切线交的延长线于点，连接，，．(1)求证：；(2)若，求的度数；(3)在（2）的条件下，若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号．24．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“1阶方点”．(1)在①；②；③三点中，是正比例函数图象的“1阶方点”的有______（填序号）；(2)若关于的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，求的值；(3)若函数图象恰好经过“阶方点”中的点，则点称为此函数图象的“不动阶方点”，若关于的二次函数的图象上存在唯一的一个“不动阶方点”，且当时，的最小值为，求的值．25．已知为的外接圆，．(1)如图1，延长至点，使，连接．①求证：为直角三角形；②若的半径为4，，求的值；(2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．答案第=page1818页，共=sectionpages1818页答案第=page1717页，共=sectionpages1818页参考答案：1．A【分析】根据相反数的定义即可解答．【详解】解：-2的相反数为2，故选：A．【点睛】本题主要考查相反数，若两个数只有符号不同，那么这两个数叫做互为相反数；求一个数在任意一个数的前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数．2．B【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【详解】解：A、买注福利彩票会中奖是随机事件，故本选项不符合题意；B、某校的名学生中，至少有名学生的生日是同一天是必然事件，故本选项不符合题意；C、连续次投掷质地均匀的硬币，会有次硬币正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意；D、年的春节假期长沙会下雪是随机事件，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．C【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：C．【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．4．D【分析】根据同底数幂的除法判断选项；根据合并同类项判断选项；根据幂的乘方与积的乘方判断选项；根据积的乘方和同底数幂的乘法判断选项．【详解】解：A．原式，故该选项不符合题意；B．原式，故该选项不符合题意；C．原式，故该选项不符合题意；D．原式，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握，是解题的关键．5．A【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2）．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，找出函数图象的顶点坐标是解题的关键．6．B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：6x=x+5，解得：x=1，经检验：x=1是原方程的解，∴分式方程的解为x=1．故选：B．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．7．A【分析】根据平行线的性质求解即可．【详解】解：∵，∴∠1＋∠D＝180°，∵∠1＝145°，∴∠D＝35°，∵，∴∠2＝∠D＝35°，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．8．C【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，∴∠ACD=90°-20°=70°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°，AC=CE∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，即45°+70°+∠ADC=180°，解得：∠ADC=65°，故选C．【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．9．D【分析】先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到∠AOD＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD的长．【详解】解：∵CD⊥AB，AB是直径，∴，∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×1＝2．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．10．B【分析】先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可.【详解】如图1中，∵等边△DEF的边长为2π，等边△ABC的边长为3，∴S矩形AGHF=2π×3=6π，由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，∴∠BAG=120°，∴S扇形BAG==3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S矩形AGHF+S扇形BAG）=3（6π+3π）=27π；故选B．【点睛】本题考查轨迹，弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解题的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF扫过的图形．11．【分析】根据不等式的性质解答即可．【详解】解：根据不等式的性质，由得到的条件是：．故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：、不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．12．4【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x,y），关于原点的对称点是（-x,-y），根据这一结论求得a，b的值，再进一步计算．【详解】解：∵点A（a,1）与点B（-3,b）关于原点对称，∴，∴a-b=3-(-1)=4；故答案为：．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．13．【分析】投一枚质地均匀的正方体骰子时，向上的一面的点数共有6种等可能的结果，其中大于1且小于6的结果有4种，再利用概率公式进行计算即可得．【详解】解：因为投一枚质地均匀的正方体骰子时，向上的一面的点数共有6种等可能的结果，其中大于1且小于6的结果是2，3，4，5，共有4种，所以向上的一面的点数大于1且小于6的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式、以及正确找出大于1且小于6的所有结果是解题关键．14．六【分析】根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形．【详解】解：如图，连接OB，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴这个多边形是正六边形．故答案为：六．【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出．15．40【分析】直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接CO，∵CD切⊙O于点C，∴CO⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠BCD=50°，∴∠OCB=90°-50°=40°，∵CO=BO，∴∠ABC=∠OCB=40°．故答案为：40．【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出∠OCB的度数是解题关键．16．3【分析】首先过点作的垂线交于点，根据角平分线的尺规作图方法可知：平方，，再根据角平分线的性质，可得，然后设，再根据，即可得出方程，解出即可得出的长．【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，由题意可知：平分，∵，∴，设，∵，又∵，，又∵，∴，解得：，即．故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，解本题的关键在根据题意得出平方．17．【分析】先化简算术平方根、零次幂及绝对值与负整数指数幂，然后计算加减法即可．【详解】解：．【点睛】题目主要考查算术平方根、零次幂及绝对值与负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．18．2x2﹣1；5【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：x（x+1）+（x+1）（x﹣1）﹣x＝x2+x+x2﹣1﹣x＝2x2﹣1，当x＝时，原式＝2×（）2﹣1＝2×3﹣1＝5．【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．19．(1)图见解析，，，(2)【分析】（1）分别作出点、绕点顺时针旋转所得对应点，再与点首尾顺次连接即可得；（2）利用弧长的公式求解可得．【详解】（1）解：如图所示，即为所求，其中，；（2）解：，，弧的长度．【点睛】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式．20．(1)4，36(2)【分析】（1）利用B等级的频数和百分比求出调查人数，再减去其他等级的人数可得x，求出C等级所占得出人数的百分比，进而估计总体中C等级所占的百分比，进而求出相应的圆心角的度数；（2）列举出所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【详解】（1）解：10÷25%=40（人），x=40-24-10-2=4（人），360°×=36°，故答案为：4，36；（2）画树状图如下：共12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲和乙的结果数为2，所同时好抽到甲和乙的概率=．【点睛】本题考查统计的过程与方法，列表法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结构情况是正确解答的关键．21．(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；(2)；【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，∴CD=．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．22．（1）两种书的单价分别为35元和30元；（2）共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．【分析】（1）设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”建立方程组求解即可；（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为50-n，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．【详解】解：（1）设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y由题意得：解得答：两种书的单价分别为35元和30元；（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为50-n根据题意得解得：则n可以取17、18、19、20，当n=17时，50-n=33，共花费17×35+33×30=1585元；当n=18时，50-n=32，共花费17×35+33×30=1590元；当n=19时，50-n=31，共花费17×35+33×30=1595元；当n=20时，50-n=30，共花费17×35+33×30=1600元；所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．23．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）由是半圆的直径，是半圆的切线，可得，即得；（2）由，可得，从而，，可得的度数是；（3）由，可得，，即得，故阴影部分的面积是．【详解】（1）证明：是半圆的直径，，是半圆的切线，，，；（2）解：由（1）知，，，，，，，，，，，答：的度数是；（3）解：由（2）知，，，，，阴影部分的面积是，答：阴影部分的面积是．【点睛】本题考查圆的切线性质，含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理，求扇形面积，综合运用以上知识是解题的关键．24．(1)②③(2)或3；(3)或．【分析】（1）根据“阶方点”的定义及点到坐标轴的距离依次判断即可；（2）设“2阶方点”的坐标为，根据题意列出不等式，再由一次函数一定经过点，结合图象求解即可；（3）根据题意设点为，得出，分两种情况进行分析求解即可．【详解】（1）解：①点到x轴的距离为，到y轴的距离为，∴点不是图象的“1阶方点”；②到x轴的距离为，到y轴的距离为，∴点是图象的“1阶方点”；③到x轴的距离为，到y轴的距离为，∴点是图象的“1阶方点”；故答案为：②③；（2）解：∵关于的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，∴设“2阶方点”的坐标为，∴，∵，∴一次函数一定经过点，如图所示：满足条件的“2阶方点”仅有,,当一次函数经过点时，代入函数得：，解得：；当一次函数经过点时，代入函数得：，解得：；综上可得：a的值为或3；（3）解：二次函