常态分配的机率计算方法课件

第6章連續機率分配第6章連續機率分配本章內容6.1均勻機率分配6.2常態機率分配6.3二項機率的常態近似6.4指數機率分配2本章內容6.1均勻機率分配2連續機率分配對離散隨機而言，機率函數f(x)提供隨機變數x的特定值所對應的機率值。對連續隨機變數而言，也有一種函數類似機率函數，稱為機率密度函數(probabilitydensity

function)。計算連續隨機變數的機率可說是計算在此區間之內任何隨機變數值的機率。3第6章連續機率分配第226-227頁連續機率分配對離散隨機而言，機率函數f(x)提供隨機變數連續機率分配連續隨機變數的機率定義另一個涵義之一是任何特定隨機變數值的機率值為0。6.1節將介紹均勻機率分配以說明連續隨機變數的相關概念。4第6章連續機率分配第226-227頁f(x)

x均勻

x1

x2

x1

x2指數xf(x)x1

x2xf(x)常態

x1

x2連續機率分配連續隨機變數的機率定義另一個涵義之一是任何特定隨6.1均勻機率分配以面積衡量機率5第6章連續機率分配第227-229頁6.1均勻機率分配以面積衡量機率5第6章連續機率分配均勻機率分配只要機率值與區間長度成比例時，此隨機變數即為均勻分配。均勻機率分配(uniformprobabilitydistribution)的機率密度函數6第6章連續機率分配第227頁均勻機率分配只要機率值與區間長度成比例時，此隨機變數即為均勻均勻機率分配實例班機由芝加哥飛往紐約的飛行時間，假設我們得到大量的實際飛行資料，並獲知飛行時間為120分鐘至140分鐘之內任一分鐘的機率都是相同的。飛行時間和機率密度函數可用均勻機率分配表示為7第6章連續機率分配第227頁均勻機率分配實例班機由芝加哥飛往紐約的飛行時間，假設我們得到均勻機率分配實例圖6.1是此機率密度函數的圖形。對飛行時間的隨機變數而言，a＝120而b＝140。8第6章連續機率分配第227-228頁均勻機率分配實例圖6.1是此機率密度函數的圖形。對飛行時均勻機率分配實例以飛行時間的例子而言，可接受的機率是：飛行時間介於120分鐘到130分鐘的機率是多少？也就是P(120≤x≤130)是多少？由於飛行時間必須介於120分鐘到140分鐘之間，而且是均勻分配，我們可以說P(120≤x≤130)＝0.50。接下來，我們將說明此機率值可以利用介於x＝120到130的f(x)圖形下方面積求得(見圖6.2)。9第6章連續機率分配第227頁均勻機率分配實例以飛行時間的例子而言，可接受的機率是：飛行時均勻機率分配實例10第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配實例10第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配實例−以面積衡量機率圖6.2中介於120至130間，f(x)圖形下方的面積。此區域是長方形，長方形面積是寬度乘以高度。寬度是130−120＝10，而高度是機率密度函數f(x)＝1/20，面積則為寬度×高度＝10(1/20)＝10/20＝0.50。一旦確認了機率密度函數f(x)，x介於較小的x1與較大的x2

之間的機率，可以經由計算x1

到x2

區間的f(x)圖形下方的面積而得到。11第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配實例−以面積衡量機率圖6.2中介於120至1均勻機率分配實例−以面積衡量機率已知飛行時間的均勻機率分配，及機率函數圖形下方的面積就等於機率，我們便可以回答關於飛行時間的機率問題。例如，飛行時間為128分鐘到136分鐘的機率是多少？區間的寬度是136－128＝8，高度則是f(x)＝1/20，所以，P(128≤x≤136)＝8(1/20)＝0.40。請注意P(120≤x≤140)＝20(1/20)＝1，也就是說機率密度函數下的總面積等於1。此一特性對所有的連續機率分配皆成立，而且此特性可類比為離散機率函數之總和等於1。對連續機率密度函數而言，任一x值的f(x)≥0也是必要的，這個條件亦可類比為離散機率函數的f(x)≥0。第6章連續機率分配

第226頁12均勻機率分配實例−以面積衡量機率已知飛行時間的均勻機率分配，均勻機率分配實例−以面積衡量機率相對於離散隨機變數處理連續隨機變數，有兩個主要的不同點：我們不再說某一特定變數值的機率值，而是隨機變數值在某一區間的機率。隨機變數在已知區間x1

至x2

的機率值，定義為在x1

至x2區間、機率密度函數圖形下方的面積。因為單一點是某個長度為0的區間，意味著連續隨機變數在任何特定值時的機率是0。這也表示，無論是否包含區間的端點，並不會影響某個特定區間的隨機變數的機率值。13第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配實例−以面積衡量機率相對於離散隨機變數處理連續隨均勻機率分配x的期望值x的變異數14第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配x的期望值14第6章連續機率分配第均勻機率分配實例應用這些公式來計算從芝加哥到紐約的飛行時間之均勻分配，我們可以得到：

標準差為變異數的正平方根，因此，σ＝5.77分鐘。15第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配實例應用這些公式來計算從芝加哥到紐約的飛行時間之評註為了進一步瞭解機率密度函數的機率不是高度，可以觀察下列的均勻機率分配：

在x值為0到0.5之間的機率密度函數f(x)高度為2。然而，我們都瞭解機率值一定不會大於1。因此，不能視機率密度函數值f(x)為機率值x。16第6章連續機率分配第229頁評註為了進一步瞭解機率密度函數的機率不是高度，可以觀察下列的6.2常態機率分配常態曲線標準常態機率分配計算任何常態機率分配的機率Grear輪胎公司的問題17第6章連續機率分配第231-239頁6.2常態機率分配常態曲線17第6章連續機率分配常態機率分配常態機率分配(normalprobabilitydistribution)可以說是描述連續隨機變數最重要的機率分配。常態分配的運用範圍很廣，諸如身高、體重、測驗分數、科學測量、降雨量及其他類似值。18第6章連續機率分配第231頁常態機率分配常態機率分配(normalprobabili常態機率分配常態機率分配其中μ

=平均數σ

=標準差π

=3.14159e=2.7182819第6章連續機率分配第231頁常態機率分配常態機率分配19第6章連續機率分配第常態機率分配20第6章連續機率分配第231頁常態機率分配20第6章連續機率分配第231頁常態機率分配特性所有常態分配是由兩種參數來決定其特徵：平均數μ和標準差σ。常態曲線的最高點落在平均數，平均數同時也是分配的中位數和眾數。21第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性21第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性常態分配的平均數可以是任意數值：負值、零或正值，下圖是三個標準差相同但平均數不同(－10、0及20)的三個常態分配。22第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性22第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性常態分配是對稱的，以平均數為對稱的中心點，平均數左邊的曲線是右邊曲線的鏡像，常態分配曲線的尾部向兩端無限延長，而且理論上並不會與水平軸接觸。由於曲線是對稱的，常態分配的偏度為0。23第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性23第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性標準差可以決定曲線的寬度與扁平程度，標準差較大的曲線較寬較扁平，這表示資料比較分散。24第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性24第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性常態隨機變數的機率可以由曲線下方的面積求得。常態分配曲線下所涵蓋的總面積為1。由於分配是對稱的，平均數以左的曲線下方的總面積是0.50，平均數以右的曲線下方的總面積也是0.50。25第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性25第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性較常用的區間機率百分比為68.3%的常態隨機變數值落在離平均數±1個標準差內的範圍內。95.4%的常態隨機變數值落在離平均數±1個標準差內的範圍內。99.7%的常態隨機變數值落在離平均數±1個標準差內的範圍內。圖6.4是(a)、(b)、(c)的圖示。26第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性26第6章連續機率分配第232頁常態機率分配27第6章連續機率分配第233頁常態機率分配27第6章連續機率分配第233頁標準常態機率分配隨機變數具有常態分配且其平均數為0、標準差為1時，稱此變數具有標準常態機率分配(standardnormalprobabilitydistribution)。標準常態密度函數28第6章連續機率分配第233頁標準常態機率分配隨機變數具有常態分配且其平均數為0、標準差標準常態機率分配字母z常被用來代表這個特殊的常態隨機變數。29第6章連續機率分配第233頁標準常態機率分配字母z常被用來代表這個特殊的常態隨機變數標準常態機率分配實例標準常態隨機變數的z

值若小於或等於1.0，則其相對應的機率將是多少？也就是P(z

≤1.00)是多少？下圖中的陰影部分即為此面積或機率。30第6章連續機率分配第234頁標準常態機率分配實例標準常態隨機變數的z值若小於或等於1標準常態機率分配實例參考本書封面內頁的標準常態機率表，對應於z＝1.00的累積機率是標記為1.0的列及標記為0.00的行的交會處。首先，在表的左欄找到1.0，然後在機率表的最上列找到0.00。之後檢視表格，1.0與0.00交會處的數值為0.8413；因此，P(z≤1.00)＝0.8413。下方是部分機率表，顯示上述步驟。31第6章連續機率分配第234頁標準常態機率分配實例參考本書封面內頁的標準常態機率表，對應於標準常態機率分配實例32第6章連續機率分配第234頁標準常態機率分配實例32第6章連續機率分配第23標準常態機率分配實例為了示範第二類問題的機率計算，我們要說明計算z值介於−0.50與1.25之間的機率，也就是P(−0.50≤z≤1.25)。由機率表中找到P(z

≤1.25)=0.8944

P(zz

≤−0.50)=0.3085所以(−0.50≤z≤1.25)=0.8944–0.3085=0.585933第6章連續機率分配第234-235頁標準常態機率分配實例為了示範第二類問題的機率計算，我們要說明標準常態機率分配實例34第6章連續機率分配第235頁標準常態機率分配實例34第6章連續機率分配第23標準常態機率分配實例計算z

值至少為1.58的機率，也就是P(z

≥1.58)。機率表中位於z

＝1.5列及z

＝0.08行的相交處的值是0.9429，所以P(z

,1.58)＝0.9429。然而，因為整個曲線下方的面積為1，P(z

$≥1.58)＝1－0.9429＝0.0571。機率表示如下圖。35第6章連續機率分配第235頁標準常態機率分配實例計算z值至少為1.58的機率，也標準常態機率分配實例假定我們要找出某個z值，使得大於此z

值的機率是0.10。下圖是此問題的圖示。36第6章連續機率分配第236頁標準常態機率分配實例假定我們要找出某個z值，使得大於此標準常態機率分配實例從最左欄及最上列找到對應z

值是1.28，因此在z

＝1.28以左的面積接近0.9000(實際為0.8997)。

根據題目的要求，z

值大於1.28的機率約為0.10。37第6章連續機率分配第236頁標準常態機率分配實例從最左欄及最上列找到對應z值是1.計算任何常態分配的機率轉換成標準常態分配一個有平均數μ，標準差σ

的常態分配隨機變數x

轉換為標準常態

z值的公式。38第6章連續機率分配第237頁計算任何常態分配的機率轉換成標準常態分配38第6章連常態分配的機率計算方法當x值等於平均數μ

時，z＝(μ－μ)/σ

＝0。因此，當x值等於平均數μ

時，所對應的z

值為0。現在假設x值大於平均數一個標準差，也就是x＝μ＋σ時，運用式(6.3)，可以算出對應的z

值為z＝[(μ＋σ)－μ]/σ

＝σ/σ＝1。換句話說，我們可以將z

值解釋為常態隨機變數x

距離其平均數μ

的標準差的倍數。39第6章連續機率分配第237頁常態分配的機率計算方法當x值等於平均數μ時，z＝(常態分配的機率計算方法假設有平均數μ＝10及標準差σ＝2的常態分配，隨機變數x介於10到14間的機率值為何？利用式(6.3)，可求得當x＝10時，z＝(x－μ)/σ＝(10－10)/2＝0且當x＝14時，z＝(14－10)/2＝4/2＝2。故欲求x介於10到14間的機率值，就等於是求z

介於標準常態分配0到2之間的機率值。也就是說，我們要求的隨機變數x值的區域面積，剛好等於平均數到距平均數兩個標準差間的面積，利用z＝2.00及封面內頁的標準常態分配機率表，可得P(z

≤

2)=0.9772，由於P(z

≤

0)=0.5000，我們可以計算出P(0.00≤z

≤

200)=P(z

≤

2)−P(z

≤

0)=0.9772–0.5000=

0.4772。因此，x

介於10到14之間的機率為0.4772。40第6章連續機率分配第237頁常態分配的機率計算方法假設有平均數μ＝10及標準差σ＝Grear輪胎公司的問題Grear輪胎公司最近發展出新的輻射鋼圈輪胎，預計將透過全國連鎖商店進行銷售。由於該輪胎是新產品，Grear的管理當局相信哩程保證將是顧客接受與否的重要因素之一。在還未訂定哩程保證方案時，他們想先知道新輪胎的哩程測試資料。Grear的工程師團隊由實際道路測試結果估計平均哩程數可達μ＝36,500哩，標準差為σ＝5,000哩。此外，可合理假設所蒐集資料是常態分配，則輪胎哩程超過40,000哩的機率是多少？此問題可以利用圖6.6的深色區域來回答。41第6章連續機率分配第237頁Grear輪胎公司的問題Grear輪胎公司最近發展出新的Grear輪胎公司的問題42第6章連續機率分配第238頁Grear輪胎公司的問題42第6章連續機率分配Grear輪胎公司的問題當x＝40,000，我們得到

參考圖6.6的下方，x＝40,000對應的標準常態分配z

值等於0.70。運用標準常態機率表，可以看到標準常態曲線下，在z

＝0.70左方的面積為0.7580。因此，1.000−0.7580＝0.2420是z

大於0.70，也是x超過40,000的機率。我們可以判定大約有24.2%的輪胎耐用哩程超過40,000哩。43第6章連續機率分配第237-238頁Grear輪胎公司的問題當x＝40,000，我們得到

Grear輪胎公司的問題現在假設Grear輪胎公司想要提出的哩程保證是若新輪胎未達到此保證哩程，該公司就免費更換新輪胎給顧客。那麼應該訂定多少哩程數，才可使獲得優惠者不超過總數的10%？這個問題可以用圖6.7說明。44第6章連續機率分配第238頁Grear輪胎公司的問題現在假設Grear輪胎公司想要Grear輪胎公司的問題45第6章連續機率分配第238頁Grear輪胎公司的問題45第6章連續機率分配Grear輪胎公司的問題根據圖6.7，在未知的保證哩程數以左的面積是0.10。所以，我們要找出z

值，此z值以左的面積是0.10。運用標準常態分配機率表，可以看出對應的z值是−1.28。因此，z

＝−1.28是對應於Grear輪胎公司的保證哩程數的標準常態隨機變數值。46第6章連續機率分配第238頁Grear輪胎公司的問題根據圖6.7，在未知的保證哩程數Grear輪胎公司的問題要找出對應於z

＝−1.28的常態分配x值，我們可以運用下列換算：又μ

＝36,500且σ

＝5000

x＝36,500−1.28(5000)＝30,10047第6章連續機率分配第238-239頁Grear輪胎公司的問題要找出對應於z＝−1.28Grear輪胎公司的問題因此，哩程標準訂為30,100哩，可以符合約有10%的輪胎未達保證哩程數，或許Grear公司會根據此項資訊，而將哩程保護訂在30,000哩。48第6章連續機率分配第239頁Grear輪胎公司的問題因此，哩程標準訂為30,1006.3二項機率的常態分配近似值二項隨機變數是n個試驗中成功的次數，二項機率關心的是n個試驗中成功次數x的機率。如果試驗的次數很大，不論是用手算或是使用計算機，要求得二項機率函數的計算都很困難。在np≥5及n(1－p)≥5時，使用常態分配可很容易地求出二項分配的近似值，我們令μ

=

np及

來定義常態曲線。49第6章連續機率分配第242頁6.3二項機率的常態分配近似值二項隨機變數是n個試驗二項機率的常態分配近似值求連續機率分配的機率值，必須算出機率密度函數下方的圖形面積。因此，任ㄧ特定隨機變數值的機率為0。所以，要以常態近似法求出12次成功的二項機率近似值，要求算的是介於11.5到12.5之間的常態曲線下方面積。我們稱由12加減的0.5為連續校正因子(continuitycorrectionfactor)。因為要以連續分配來近似離散分配的值，因此要以連續校正因子校正。離散二項分配的機率值P(x＝12)可以利用連續常態分配的P(11.5≤

x≤12.5)來近似之。50第6章連續機率分配第242-243頁二項機率的常態分配近似值求連續機率分配的機率值，必須算出機率二項機率的常態分配近似值將常態分配轉換為標準常態分配，以計算P(11.5≤x≤12.5)。我們可以利用下列的式子：

以及運用常態標準機率表，可找到12.5以左的曲線下方面積是0.7967

(見圖6.8)。同樣地，11.5以左的曲線下方的面積是0.6915。因此，介於11.5到12.5之間的面積是0.7967–0.6915=0.1052。在100次試驗中，12次成功的常態分配近似值是0.1052。51第6章連續機率分配第243頁二項機率的常態分配近似值將常態分配轉換為標準常態分配，以計算二項機率的常態分配近似值52第6章連續機率分配第242頁二項機率的常態分配近似值52第6章連續機率分配第二項機率的常態分配近似值如果想知道100張發票中，13張(含)以下有錯誤的機率。圖6.9顯示近似此二項分配機率為常態曲線下方的面積。請注意，使用連續校正因子的結果是，我們要以13.5來求近似機率。對應於x＝13.5的z

值是

標準常態機率表顯示，在z=1.17以左的曲線下方的面積是0.8790。100張發票中，13張(含)以下有錯誤的機率是陰影的部分。53第6章連續機率分配第243頁二項機率的常態分配近似值如果想知道100張發票中，13二項機率的常態分配近似值54第6章連續機率分配第243頁二項機率的常態分配近似值54第6章連續機率分配第6.4指數機率分配計算指數分配的機率卜瓦松分配與指數分配的關係55第6章連續機率分配第245-247頁6.4指數機率分配計算指數分配的機率55第6章連續指數機率分配常被用來描述完成工作所需時間的連續機率分配是指數機率分配

(exponentialprobabilitydistribution)。指數隨機變數可以用來描述隨機變數，諸如車輛到達洗車廠的時間間隔、貨車裝貨時間，以及公路路面損壞的間隔距離等。56第6章連續機率分配第245頁指數機率分配常被用來描述完成工作所需時間的連續機率分配是指數指數機率分配指數機率密度函數

其中=期望值或平均值57第6章連續機率分配第245頁指數機率分配指數機率密度函數57第6章連續機率分配指數機率分配58第6章連續機率分配第245頁指數機率分配58第6章連續機率分配第245頁計算指數分配機率的方法如同其他連續機率分配，分配曲線下的區段面積就是隨機變數在該區段內的機率。Schips碼頭的例子中，裝貨時間少於(含)

6分鐘的機率P(x≤6)是圖6.10中x＝0到

x＝6之間的曲線下面積；同樣地，裝貨時間少於(含)

18分鐘的機率P(x≤18)則是x＝0到x＝18之間的曲線下面積。另外，裝貨時間為6分鐘到18分鐘的機率P(6≤x≤18)則是計算x＝6到x＝18之間曲線下的面積59第6章連續機率分配第245頁計算指數分配機率的方法如同其他連續機率分配，分配曲線下的區段計算指數分配機率的方法指數分配：累積機率60第6章連續機率分配第246頁計算指數分配機率的方法指數分配：累積機率60第6章連計算指數分配機率的方法Schips碼頭的例子，x＝裝貨時間且μ

＝15分鐘，套用式(6.5) 所以，裝貨時間少於(含)6分鐘的機率為使用式(6.5)，則裝貨時間少於(含)18分鐘的機率則為因此，裝貨時間介於6分鐘到18分鐘的機率等於0.6988

–0.3297＝0.3691。我們可以用相同的方法算出任何區間的機率值。61第6章連續機率分配第246頁計算指數分配機率的方法Schips碼頭的例子，x＝裝貨時間計算指數分配機率的方法前述例子的裝貨所需平均時間為μ

＝15分鐘。指數分配的性質之一是，平均數與標準差相等。因此，裝貨時間的標準差σ＝15分鐘，變異數為σ2＝(15)2＝225。62第6章連續機率分配第246頁計算指數分配機率的方法前述例子的裝貨所需平均時間為μ＝1卜瓦松分配與指數分配的關係63第6章連續機率分配第246頁卜瓦松分配適合用來表示某一區間內的事件發生次數的機率指數分配可以描述二次事件發生的時間間隔的機率卜瓦松分配與指數分配的關係63第6章連續機率分配卜瓦松分配與指數分配的關係假設洗車場的來車數量呈卜瓦松機率分配，平均每小時10輛汽車，則以x表示到達車數的卜瓦松機率函數將是

由於平均到達車數為每小時10輛，則連續到達的2輛汽車之間的時間間隔為64第6章連續機率分配第246頁卜瓦松分配與指數分配的關係假設洗車場的來車數量呈卜瓦松機率分卜瓦松分配與指數分配的關係因此，對應的指數分配是平均數為μ

＝0.1小時／車；而指數機率密度函數為65第6章連續機率分配第247頁卜瓦松分配與指數分配的關係因此，對應的指數分配是平均數為μ評註如圖6.10所示，指數分配是右偏分配。事實上，指數分配的偏度是2。指數分配恰好可以讓我們瞭解此種偏度分配形狀。66第6章連續機率分配第247頁評註如圖6.10所示，指數分配是右偏分配。事實上，指數分EndofChapter667EndofChapter667第6章連續機率分配第6章連續機率分配本章內容6.1均勻機率分配6.2常態機率分配6.3二項機率的常態近似6.4指數機率分配69本章內容6.1均勻機率分配2連續機率分配對離散隨機而言，機率函數f(x)提供隨機變數x的特定值所對應的機率值。對連續隨機變數而言，也有一種函數類似機率函數，稱為機率密度函數(probabilitydensity

function)。計算連續隨機變數的機率可說是計算在此區間之內任何隨機變數值的機率。70第6章連續機率分配第226-227頁連續機率分配對離散隨機而言，機率函數f(x)提供隨機變數連續機率分配連續隨機變數的機率定義另一個涵義之一是任何特定隨機變數值的機率值為0。6.1節將介紹均勻機率分配以說明連續隨機變數的相關概念。71第6章連續機率分配第226-227頁f(x)

x均勻

x1

x2

x1

x2指數xf(x)x1

x2xf(x)常態

x1

x2連續機率分配連續隨機變數的機率定義另一個涵義之一是任何特定隨6.1均勻機率分配以面積衡量機率72第6章連續機率分配第227-229頁6.1均勻機率分配以面積衡量機率5第6章連續機率分配均勻機率分配只要機率值與區間長度成比例時，此隨機變數即為均勻分配。均勻機率分配(uniformprobabilitydistribution)的機率密度函數73第6章連續機率分配第227頁均勻機率分配只要機率值與區間長度成比例時，此隨機變數即為均勻均勻機率分配實例班機由芝加哥飛往紐約的飛行時間，假設我們得到大量的實際飛行資料，並獲知飛行時間為120分鐘至140分鐘之內任一分鐘的機率都是相同的。飛行時間和機率密度函數可用均勻機率分配表示為74第6章連續機率分配第227頁均勻機率分配實例班機由芝加哥飛往紐約的飛行時間，假設我們得到均勻機率分配實例圖6.1是此機率密度函數的圖形。對飛行時間的隨機變數而言，a＝120而b＝140。75第6章連續機率分配第227-228頁均勻機率分配實例圖6.1是此機率密度函數的圖形。對飛行時均勻機率分配實例以飛行時間的例子而言，可接受的機率是：飛行時間介於120分鐘到130分鐘的機率是多少？也就是P(120≤x≤130)是多少？由於飛行時間必須介於120分鐘到140分鐘之間，而且是均勻分配，我們可以說P(120≤x≤130)＝0.50。接下來，我們將說明此機率值可以利用介於x＝120到130的f(x)圖形下方面積求得(見圖6.2)。76第6章連續機率分配第227頁均勻機率分配實例以飛行時間的例子而言，可接受的機率是：飛行時均勻機率分配實例77第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配實例10第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配實例−以面積衡量機率圖6.2中介於120至130間，f(x)圖形下方的面積。此區域是長方形，長方形面積是寬度乘以高度。寬度是130−120＝10，而高度是機率密度函數f(x)＝1/20，面積則為寬度×高度＝10(1/20)＝10/20＝0.50。一旦確認了機率密度函數f(x)，x介於較小的x1與較大的x2

之間的機率，可以經由計算x1

到x2

區間的f(x)圖形下方的面積而得到。78第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配實例−以面積衡量機率圖6.2中介於120至1均勻機率分配實例−以面積衡量機率已知飛行時間的均勻機率分配，及機率函數圖形下方的面積就等於機率，我們便可以回答關於飛行時間的機率問題。例如，飛行時間為128分鐘到136分鐘的機率是多少？區間的寬度是136－128＝8，高度則是f(x)＝1/20，所以，P(128≤x≤136)＝8(1/20)＝0.40。請注意P(120≤x≤140)＝20(1/20)＝1，也就是說機率密度函數下的總面積等於1。此一特性對所有的連續機率分配皆成立，而且此特性可類比為離散機率函數之總和等於1。對連續機率密度函數而言，任一x值的f(x)≥0也是必要的，這個條件亦可類比為離散機率函數的f(x)≥0。第6章連續機率分配

第226頁79均勻機率分配實例−以面積衡量機率已知飛行時間的均勻機率分配，均勻機率分配實例−以面積衡量機率相對於離散隨機變數處理連續隨機變數，有兩個主要的不同點：我們不再說某一特定變數值的機率值，而是隨機變數值在某一區間的機率。隨機變數在已知區間x1

至x2

的機率值，定義為在x1

至x2區間、機率密度函數圖形下方的面積。因為單一點是某個長度為0的區間，意味著連續隨機變數在任何特定值時的機率是0。這也表示，無論是否包含區間的端點，並不會影響某個特定區間的隨機變數的機率值。80第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配實例−以面積衡量機率相對於離散隨機變數處理連續隨均勻機率分配x的期望值x的變異數81第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配x的期望值14第6章連續機率分配第均勻機率分配實例應用這些公式來計算從芝加哥到紐約的飛行時間之均勻分配，我們可以得到：

標準差為變異數的正平方根，因此，σ＝5.77分鐘。82第6章連續機率分配第228頁均勻機率分配實例應用這些公式來計算從芝加哥到紐約的飛行時間之評註為了進一步瞭解機率密度函數的機率不是高度，可以觀察下列的均勻機率分配：

在x值為0到0.5之間的機率密度函數f(x)高度為2。然而，我們都瞭解機率值一定不會大於1。因此，不能視機率密度函數值f(x)為機率值x。83第6章連續機率分配第229頁評註為了進一步瞭解機率密度函數的機率不是高度，可以觀察下列的6.2常態機率分配常態曲線標準常態機率分配計算任何常態機率分配的機率Grear輪胎公司的問題84第6章連續機率分配第231-239頁6.2常態機率分配常態曲線17第6章連續機率分配常態機率分配常態機率分配(normalprobabilitydistribution)可以說是描述連續隨機變數最重要的機率分配。常態分配的運用範圍很廣，諸如身高、體重、測驗分數、科學測量、降雨量及其他類似值。85第6章連續機率分配第231頁常態機率分配常態機率分配(normalprobabili常態機率分配常態機率分配其中μ

=平均數σ

=標準差π

=3.14159e=2.7182886第6章連續機率分配第231頁常態機率分配常態機率分配19第6章連續機率分配第常態機率分配87第6章連續機率分配第231頁常態機率分配20第6章連續機率分配第231頁常態機率分配特性所有常態分配是由兩種參數來決定其特徵：平均數μ和標準差σ。常態曲線的最高點落在平均數，平均數同時也是分配的中位數和眾數。88第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性21第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性常態分配的平均數可以是任意數值：負值、零或正值，下圖是三個標準差相同但平均數不同(－10、0及20)的三個常態分配。89第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性22第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性常態分配是對稱的，以平均數為對稱的中心點，平均數左邊的曲線是右邊曲線的鏡像，常態分配曲線的尾部向兩端無限延長，而且理論上並不會與水平軸接觸。由於曲線是對稱的，常態分配的偏度為0。90第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性23第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性標準差可以決定曲線的寬度與扁平程度，標準差較大的曲線較寬較扁平，這表示資料比較分散。91第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性24第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性常態隨機變數的機率可以由曲線下方的面積求得。常態分配曲線下所涵蓋的總面積為1。由於分配是對稱的，平均數以左的曲線下方的總面積是0.50，平均數以右的曲線下方的總面積也是0.50。92第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性25第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性較常用的區間機率百分比為68.3%的常態隨機變數值落在離平均數±1個標準差內的範圍內。95.4%的常態隨機變數值落在離平均數±1個標準差內的範圍內。99.7%的常態隨機變數值落在離平均數±1個標準差內的範圍內。圖6.4是(a)、(b)、(c)的圖示。93第6章連續機率分配第232頁常態機率分配特性26第6章連續機率分配第232頁常態機率分配94第6章連續機率分配第233頁常態機率分配27第6章連續機率分配第233頁標準常態機率分配隨機變數具有常態分配且其平均數為0、標準差為1時，稱此變數具有標準常態機率分配(standardnormalprobabilitydistribution)。標準常態密度函數95第6章連續機率分配第233頁標準常態機率分配隨機變數具有常態分配且其平均數為0、標準差標準常態機率分配字母z常被用來代表這個特殊的常態隨機變數。96第6章連續機率分配第233頁標準常態機率分配字母z常被用來代表這個特殊的常態隨機變數標準常態機率分配實例標準常態隨機變數的z

值若小於或等於1.0，則其相對應的機率將是多少？也就是P(z

≤1.00)是多少？下圖中的陰影部分即為此面積或機率。97第6章連續機率分配第234頁標準常態機率分配實例標準常態隨機變數的z值若小於或等於1標準常態機率分配實例參考本書封面內頁的標準常態機率表，對應於z＝1.00的累積機率是標記為1.0的列及標記為0.00的行的交會處。首先，在表的左欄找到1.0，然後在機率表的最上列找到0.00。之後檢視表格，1.0與0.00交會處的數值為0.8413；因此，P(z≤1.00)＝0.8413。下方是部分機率表，顯示上述步驟。98第6章連續機率分配第234頁標準常態機率分配實例參考本書封面內頁的標準常態機率表，對應於標準常態機率分配實例99第6章連續機率分配第234頁標準常態機率分配實例32第6章連續機率分配第23標準常態機率分配實例為了示範第二類問題的機率計算，我們要說明計算z值介於−0.50與1.25之間的機率，也就是P(−0.50≤z≤1.25)。由機率表中找到P(z

≤1.25)=0.8944

P(zz

≤−0.50)=0.3085所以(−0.50≤z≤1.25)=0.8944–0.3085=0.5859100第6章連續機率分配第234-235頁標準常態機率分配實例為了示範第二類問題的機率計算，我們要說明標準常態機率分配實例101第6章連續機率分配第235頁標準常態機率分配實例34第6章連續機率分配第23標準常態機率分配實例計算z

值至少為1.58的機率，也就是P(z

≥1.58)。機率表中位於z

＝1.5列及z

＝0.08行的相交處的值是0.9429，所以P(z

,1.58)＝0.9429。然而，因為整個曲線下方的面積為1，P(z

$≥1.58)＝1－0.9429＝0.0571。機率表示如下圖。102第6章連續機率分配第235頁標準常態機率分配實例計算z值至少為1.58的機率，也標準常態機率分配實例假定我們要找出某個z值，使得大於此z

值的機率是0.10。下圖是此問題的圖示。103第6章連續機率分配第236頁標準常態機率分配實例假定我們要找出某個z值，使得大於此標準常態機率分配實例從最左欄及最上列找到對應z

值是1.28，因此在z

＝1.28以左的面積接近0.9000(實際為0.8997)。

根據題目的要求，z

值大於1.28的機率約為0.10。104第6章連續機率分配第236頁標準常態機率分配實例從最左欄及最上列找到對應z值是1.計算任何常態分配的機率轉換成標準常態分配一個有平均數μ，標準差σ

的常態分配隨機變數x

轉換為標準常態

z值的公式。105第6章連續機率分配第237頁計算任何常態分配的機率轉換成標準常態分配38第6章連常態分配的機率計算方法當x值等於平均數μ

時，z＝(μ－μ)/σ

＝0。因此，當x值等於平均數μ

時，所對應的z

值為0。現在假設x值大於平均數一個標準差，也就是x＝μ＋σ時，運用式(6.3)，可以算出對應的z

值為z＝[(μ＋σ)－μ]/σ

＝σ/σ＝1。換句話說，我們可以將z

值解釋為常態隨機變數x

距離其平均數μ

的標準差的倍數。106第6章連續機率分配第237頁常態分配的機率計算方法當x值等於平均數μ時，z＝(常態分配的機率計算方法假設有平均數μ＝10及標準差σ＝2的常態分配，隨機變數x介於10到14間的機率值為何？利用式(6.3)，可求得當x＝10時，z＝(x－μ)/σ＝(10－10)/2＝0且當x＝14時，z＝(14－10)/2＝4/2＝2。故欲求x介於10到14間的機率值，就等於是求z

介於標準常態分配0到2之間的機率值。也就是說，我們要求的隨機變數x值的區域面積，剛好等於平均數到距平均數兩個標準差間的面積，利用z＝2.00及封面內頁的標準常態分配機率表，可得P(z

≤

2)=0.9772，由於P(z

≤

0)=0.5000，我們可以計算出P(0.00≤z

≤

200)=P(z

≤

2)−P(z

≤

0)=0.9772–0.5000=

0.4772。因此，x

介於10到14之間的機率為0.4772。107第6章連續機率分配第237頁常態分配的機率計算方法假設有平均數μ＝10及標準差σ＝Grear輪胎公司的問題Grear輪胎公司最近發展出新的輻射鋼圈輪胎，預計將透過全國連鎖商店進行銷售。由於該輪胎是新產品，Grear的管理當局相信哩程保證將是顧客接受與否的重要因素之一。在還未訂定哩程保證方案時，他們想先知道新輪胎的哩程測試資料。Grear的工程師團隊由實際道路測試結果估計平均哩程數可達μ＝36,500哩，標準差為σ＝5,000哩。此外，可合理假設所蒐集資料是常態分配，則輪胎哩程超過40,000哩的機率是多少？此問題可以利用圖6.6的深色區域來回答。108第6章連續機率分配第237頁Grear輪胎公司的問題Grear輪胎公司最近發展出新的Grear輪胎公司的問題109第6章連續機率分配第238頁Grear輪胎公司的問題42第6章連續機率分配Grear輪胎公司的問題當x＝40,000，我們得到

參考圖6.6的下方，x＝40,000對應的標準常態分配z

值等於0.70。運用標準常態機率表，可以看到標準常態曲線下，在z

＝0.70左方的面積為0.7580。因此，1.000−0.7580＝0.2420是z

大於0.70，也是x超過40,000的機率。我們可以判定大約有24.2%的輪胎耐用哩程超過40,000哩。110第6章連續機率分配第237-238頁Grear輪胎公司的問題當x＝40,000，我們得到

Grear輪胎公司的問題現在假設Grear輪胎公司想要提出的哩程保證是若新輪胎未達到此保證哩程，該公司就免費更換新輪胎給顧客。那麼應該訂定多少哩程數，才可使獲得優惠者不超過總數的10%？這個問題可以用圖6.7說明。111第6章連續機率分配第238頁Grear輪胎公司的問題現在假設Grear輪胎公司想要Grear輪胎公司的問題112第6章連續機率分配第238頁Grear輪胎公司的問題45第6章連續機率分配Grear輪胎公司的問題根據圖6.7，在未知的保證哩程數以左的面積是0.10。所以，我們要找出z

值，此z值以左的面積是0.10。運用標準常態分配機率表，可以看出對應的z值是−1.28。因此，z

＝−1.28是對應於Grear輪胎公司的保證哩程數的標準常態隨機變數值。113第6章連續機率分配第238頁Grear輪胎公司的問題根據圖6.7，在未知的保證哩程數Grear輪胎公司的問題要找出對應於z

＝−1.28的常態分配x值，我們可以運用下列換算：又μ

＝36,500且σ

＝5000

x＝36,500−1.28(5000)＝30,100114第6章連續機率分配第238-239頁Grear輪胎公司的問題要找出對應於z＝−1.28Grear輪胎公司的問題因此，哩程標準訂為30,100哩，可以符合約有10%的輪胎未達保證哩程數，或許Grear公司會根據此項資訊，而將哩程保護訂在30,000哩。115第6章連續機率分配第239頁Grear輪胎公司的問題因此，哩程標準訂為30,1006.3二項機率的常態分配近似值二項隨機變數是n個試驗中成功的次數，二項機率關心的是n個試驗中成功次數x的機率。如果試驗的次數很大，不論是用手算或是使用計算機，要求得二項機率函數的計算都很困難。在np≥5及n(1－p)≥5時，使用常態分配可很容易地求出二項分配的近似值，我們令μ

=

np及

來定義常態曲線。116第6章連續機率分配第242頁6.3二項機率的常態分配近似值二項隨機變數是n個試驗二項機率的常態分配近似值求連續機率分配的機率值，必須算出機率密度函數下方的圖形面積。因此，任ㄧ特定隨機變數值的機率為0。所以，要以常態近似法求出12次成功的二項機率近似值，要求算的是介於11.5到12.5之間的常態曲線下方面積。我們稱由12加減的0.5為連續校正因子(continuitycorrectionfactor)。因為要以連續分配來近似離散分配的值，因此要以連續校正因子校正。離散二項分配的機率值P(x＝12)可以利用連續常態分配的P(11.5≤

x≤12.5)來近似之。117第6章連續機率分配第242-243頁二項機率的常態分配近似值求連續機率分配的機率值，必須算出機率二項機率的常態分配近似值將常態分配轉換為標準常態分配，以計算P(11.5≤x≤12.5)。我們可以利用下列的式子：

以及運用常態標準機率表，可找到12.5以左的曲線下方面積是0.7967

(見圖6.8)。同樣地，11.5以左的曲線下方的面積是0.6915。因此，介於11.5到12.5之間的面積是0.7967–0.6915=0.1052。在100次試驗中，12次成功的常態分配近似值是0.1052。