用Jacobi-迭代法-Gauss-Seidol迭代法求解线性方程组-讨论收敛性

实验六解线性方程组的迭代法一、实验目标1、理解求解线性方程组的两种迭代法的求解思想：Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。2、掌握迭代法收敛的条件，并会判断Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。3、学会编程实现Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，掌握终止迭代的技术（X(k1)X(k)<或k（予给的迭代次数）与发散性判断的方法。4、体会初始解X(0)，松弛因子的选取，对计算结果的影响。二、实验问题解线性方程组AXb.1 5 1 8(1)A4 1 1,b13; 2 1 6 2 1 5 15(2)A4 8 1,b21; (3)

4 1 1 74 2312100008 6536501004 20 22115312311013914

512 12 3 2A4 2

1 6

3 3 2 3，

3b 8 6 8

7

2 6 3 5 460 2

3 4

5 3 0 1

13 16 10 11 9 17

2 1 2 2

384 6 2 7 13

2 0 12 4

19 0 0 1 8 3 24 8 6 3 2

=(1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2)T.对称正定阵系数阵24024024024021213211418352161431812241033441112531011406334264 0 062240

0 06 203 23A , b .2 4

922 0 2

15 0 1945精确解*= (1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2)T.11000000041000000141000000141000000141000000141000000141000000141000000140000000141

0 70 5 0 0 130 0 2 0 0 6A , b .0 0 12 0 0 0 0

14 4 0

5 0

4

5精确解*=(2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1)T.三、实验要求1、试用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol(1)，(2)，讨论收敛性。2、编写Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法解线性方程组的一般程序，对不同精度要求，如103,104,105，求解线性方程组(1)，(2)，由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢。3、使用SOR方法求解方程组(3)，(4)，(5)，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，观察松弛因子的不同取法对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者。附录一：

《数值分析》实验报告（模板）【实验课题】 用Jacobi迭代法迭代法求解线性方程组论收敛性【实验目标】

word专业资料-可复制编辑-欢迎下载、 理解求解线性方程组的Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法的求解思想2、 了解迭代法收敛的条件会判断Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。3、 学会编程实现Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法掌握终止迭代的术（X(k)X(k) < 或k（予给的迭代次数）与发散性判断的方法。【理论概述与算法描述】雅可比迭代法对于矩阵A，A=D-L-U，令M=D，则A=D-N，则雅克比迭代法xk1=Bxk+f，其中B-I-1/DA=D^-1(L+U)=J,计xk=(Xk,Xk)T所以axk1

1i1

naxknaxkbiii

j

ijj ijjji1

i,因此雅可比迭代法得计算公式x0(X0,X0 X0)T1 2 n

xk1(bnaxk)/ai i ijj iij1,i=1,2,3.......,k=0,1,2.....高斯塞德尔迭代法令M=D-L,A=M-N,得B=(D-L)^-1U=G,G为高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵，得axk1

i1

axk1

axkb到iii

j1

ijj

ijjji1

i，所以高斯塞德尔计算公式为x0(X0,X0 X0)T，1xk1=（

2i1

naxk1

axkb）/a，ij1

ijj

ijj iji1

ii i=1,2,3.......,k=0,1,2.....word专业资料-可复制编辑-欢迎下载【实验问题】用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法求解线性方程组，判断收敛性【实验过程与结果】1.2.matlab编程实现3.对实验结果进行分析，比较两种方法，并判断收敛性【结果分析、讨论与结论】两种方法得到的结果一样，雅可比k=17x=-0.1348-1.0829word专业资料-可复制编辑-欢迎下载3.92032.高斯塞德尔k=17x=-0.1348-1.08293.9203【附程序】雅可比程序算法function n=length(b);x=zeros(n,1);x=x0+1;k=0;whilenorm(x-x0)>tolifk>20disp('jacobifails')end

break;

word专业资料-可复制编辑-欢迎下载k=k+1;fori=1:nx0=x;x(i)=(b(i)-A(i,1:n)*x0+A(i,i)*x(i))/A(i,i);endendk高斯塞德尔程序算法functionx=gaussseided(A,b,x0,tol)n=length(b);x=zeros(n,1);x=x0+1;k=0;whilenorm(x-x0)>tolifk>20disp('gaussseidedfails:')break;endk=k+1;fori=1:nx0=x;

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