《高等数学(一)》复习资料

,,,,,专业参考资料,,,,,专业参考资料,,,,,,,,,,word,,,,,,资料下载可编辑高等数学(一)复习资料注：如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、客观部分：(单项选择、多项选择、不定项选择、判断)(一)、单项选择部分一一 1V1 ….函数f(x)(——Rx(——『)'为()。.3 2 .3(A)奇函数； (B)周期函数； (C)幕函数； (D)偶函数★考核知识点：函数的性质，参见P4-7附1.1.1(考核知识点解释及答案)：函数的基本特性：有界性：设函数f(x)的定义域为D,如果有M0,使得对xD,都有f(x)M,则称f(x)在D上有界。如果对xD,使得f(x)M,则称f(x)在D上有上界。单调性：设函数f(x)的定义域为D,如果对x1,x2D,当x1x2时，包有f(xjf(x2),就称f(x)在D上为单调递增函数。同理，可以定义单调递减函数。我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。奇偶性：设f(x)的定义域为D,对xD,如果f(x)f(x),则称该函数为奇函数；f(x)f(x),则称该函数为偶函数.周期性：设函数f(x)的定义域为D,如果存在TW0,使得对xD,总有f(xT)f(x)则称f(x)为D上的周期函数，T为f(x)的一个周期.通常周期函数有无穷多个周期.习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期f(-x)(―1=)-x(―1=)-x=TOC\o"1-5"\h\z2.3 2.3计算过程如下：=(23)-x(23户=(2 3)(2.3) (2..3)(2..3)二(—1—)x(―1—)x=f(x)2.3 2、3答案：(D)偶函数。2.函数f(x)ln(1sinx)(x0)为( )。(A)无穷小量； (B)无穷大量； (C)零函数； (D)常数函数★考核知识点：无穷小与无穷大，参见P25-27附1.1.2(考核知识点解释及答案)：当x x0时，如果函数f(x)值绝对值大于任意预先给定的正数 M,则我们称函数f(x)为当x x0时的无穷大量，记为limf(x) 。xxo若limf(x)0,则称函数f(x)在该极限过程中为无穷小量.简称无穷小。xx0答案：(A)无穷小量。3.函数y也在点x0处( )0x(A)可导； (B)间断； (C)可微； (D)连续★考核知识点：连续与可导性，参见P40-46附1.1.3(考核知识点解释及答案】)：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件 .若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.答案：(B)间断。4.若f(x)ln(2sinx),则f(0) ( )。(A)-1; (B)0; (C)1; (D)12★考核知识点：复合函数微分法，参见P61-63附1.1.4(考核知识点解释及答案)：下述“基本的求导公式”是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握在这里作为复习我们全部给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。

基本的求导公式基本初等函数求导公式c0(c为常数)(x) x1 (为实数)(ax)axIna(ex) ex(lOgax)xlna1(lnx)一x(sinx)cosx(cosx)sinx2(tanx)secx(cotx) csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx1(arcsinx), V1x21(arccosx) —Jix21(arctanx) 21x， ，、 1(arccotx) -1x复合函数的求导法则：若函数ug(x)在点x处可导，而yf(u)在点ug(x)处可导，则复合函数yf[g(x)]在点x处可导，且其导数为—f(u)g(x)dx或 dydydudxdudx本题计算用到复合函数的求导法则和导数的四则运算法则。导数的四则运算法则：如果函数uu(x)及vv(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数，且

' ' 'u(x)v(x)u(x)v(x);u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x);(3)u(x)

v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v(3)u(x)

v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x)(v(x)0)1答案：(C)-2.若f(x)xex,则f(0) ( )0(A)-2; (B)-1; (C)1; (D)2★考核知识点：二阶导数计算，参见P65-68附1.1.5(考核知识点解释及答案)：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外(直接法)，还常常利用已知的高阶导数公式，通过导数的四则运算，变量代换等方法，问接求出指定的高阶导数(间接法).复合函数的求导法则若函数ug(x)在点x处可导，而yf(u)在点ug(x)处可导，则复合函数yf[g(x)]在点x处可导，且其导数为f(u)g(x)dx或 生出曳dxdudx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.这一法则又称为链式法则.复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函数的导数时，首先要分清函数的复合层次，然后从外向里，逐层推进求导，不要遗漏，也不要重复.在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数.在开始时可以先设中间变量，一步一步去做.熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.答案：(D)2.函数f(x)lg1x为( )。1cosx(A)奇函数； (B)偶函数； (C)幕函数； (D)周期函数★考核知识点：函数的性质，参见P4-7附1.1.6(考核知识点解释及答案)：奇偶性：设f(x)的定义域为D,对xD,如果f(x)f(x),则称该函数为奇函数；f(x)f(x),则称该函数为偶函数.周期性：设函数f(x)的定义域为D,如果存在TW0,使得对xD,总有f(xT)f(x)则称f(x)为D上的周期函数，T为f(x)的一个周期.通常周期函数有无穷多个周期.习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期答案：(B)偶函数。7.函数f(x)2x1(x0)为( )。(A)零函数； (B)无穷大量； (C)无穷小量； (D)常数★考核知识点：无穷小与无穷大，参见P25-27附1.1.7(考核知识点解释及答案)：当x x0时，如果函数f(x)的绝对值大于任意预先给定的正数M,则我们称函数f(x)为当x x0时的无穷大量，记为limf(x) 。Xx0若limf(x)0,则称函数f(x)在该极限过程中为无穷小量.简称无穷小。xx0答案：(C)无穷小量。.函数yx在点x0处( )。(A)间断； (B)可导；(C)可微； (D)连续★考核知识点：连续与可导性，参见P40-46附1.1.8(考核知识点解释及答案)：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件 .若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.答案：(D)连续。.若f(x)esinx,则f(0)( )。(A)-1; (B)0; (C)1; (D)2★考核知识点：复合函数微分法,参见P61-63附1.1.9(考核知识点解释及答案)：初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则。若函数ug(x)在点x处可导，而yf(u)在点ug(x)处可导，则复合函数yf[g(x)]在点x处可导，且其导数为孚f(u)g(x)dx或 dydydudxdudx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.在求复合函数的导数时，首先要分清函数的复合层次，然后从外向里，逐层推进求导，不要遗漏，也不要重复.在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数.在开始时可以先设中间变量，一步一步去做.熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来 .答案：(C)0。210.若f(x)ex,则f(0)( )。(A)-2; (B)-1; (C)1; (D)2★考核知识点：二阶导数计算，参见P65-68附1.1.10(考核知识点解释及答案)：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外(直接法)，还常常利用已知的高阶导数公式，通过导数的四则运算，变量代换等方法，问接求出指定的高阶导数(间接法).答案：(A)-2。x..函数f(x)lg 为()。1x(A)奇函数； (B)偶函数； (C)指数函数； (D)周期函数★考核知识点：函数的性质，参见P4-7附1.1.11(考核知识点解释及答案)：函数的奇偶性：设f(x)的定义域为D,对xD,如果f(x)f(x),则称该函数为奇函数；f(x)f(x),则称该函数为偶函数.函数的周期性：设函数f(x)的定义域为D,如果存在T*0,使得对xD，总有f(xT)f(x)则称f(x)为D上的周期函数，T为f(x)的一个周期.通常周期函数有无穷多个周期.习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期答案：(A)奇函数。112.函数f(x)xcos-(x0)为( )。x(A)零函数； (B)无穷大量； (C)无穷小量； (D)常数★考核知识点：无穷小与无穷大，参见P25-27附1.1.12(考核知识点解释及答案)：当x x0时，如果函数f(x)值绝对值大于任意预先给定的正数 M,则我们称函数f(x)为当xx。时的无穷大量，记为limf(x)。xx。若limf(x)0,则称函数f(x)在该极限过程中为无穷小量.简称无穷小。xx。答案：(C)无穷小量。13.函数f(x)tanx|在x=0处( )。(A)间断； (B)可导；(C)可微； (D)连续★考核知识点：连续与可导性，参见P40-46附1.1.13(考核知识点解释及答案)：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件 .若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.答案：(D)连续。14.若f(x)in土」，则f(Y2)( )。x1 2(A)2; (B)-2; (C)4; (D)-4★考核知识点：复合函数微分法,参见P61-63附1.1.14(考核知识点解释及答案)：基本初等函数的导数公式①C0(C为常数)； ②(xn) nxn1(nR但不为零)；1③(e)e; ④(inx)—；x⑤(sinx)cosx； ⑥(cosx)sinx；⑦(ax)axina; ⑧(logax)—1—.xina若函数ug(x)在点x处可导，而yf(u)在点ug(x)处可导，则复合函数yf[g(x)]在点x处可导，且其导数为当f(u)g(x)dx或 dydydudxdudx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.答案：(C)4。15.若f(x)in(1x2)，则f(0)( )。(A)-2; (B)-1; (C)1; (D)2★考核知识点：二阶导数计算，参见P65-68附1.1.15(考核知识点解释及答案)：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外(直接法)，还常常利用已知的高阶导数公式，通过导数的四则运算，变量代换等方法，问接求出指定的高阶导数(间接法).导数的四则运算法则：

如果函数uu（x）及vv（x）都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点X具有导数，且TOC\o"1-5"\h\z' ' 'u(x)v(x)u(x)v(x);I

' 'u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x);' 'u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)(3)\o"CurrentDocument"2 (v(x) 0)(3)v(x) v(x)答案：（A）-2二、主观部分：（一）、填空部分一一 2x1 .函数yarcsin 的止义域是 ^7★考核知识点：函数的概念，参见P1-6附2.1.1（考核知识点解释及答案【解答过程】）：函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念：设D是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规则 f,使得对xD,都有唯一的实数y与之对应，就称f确定了一个一元函数，通常记为yf（x）,称x为自变量，y为函数（因变量），D为定义域，函数值的集合称为值域.函数表示的通常方式为公式法，自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法TOC\o"1-5"\h\z计算过程如下：1 17答案：[3,4]o2.xtanx2.lim 3—x0 3★考核知识点：洛必达法则求极限，参见P90-95附2.1.2（考核知识点解释及答案【解答过程】）：如果函数f(x)和g(x)满足以下三个条件：⑴limf(x)0,limg(x)0;xX0 xxof(x)和g(x)在点xo的某去心邻域内可导，且g(x)0;lim工9存在(或无穷大).xx0g(x)则极限lim3存在(或无穷大)，且xxog(x)..f(x)f(x)lim lim xxog(x)xx0g(x)这种求极限的方法称为洛必达法则.法则中的x xo改为x后法则仍成立.。33.设函数f(x)arctanxe,则f(x)=.★考核知识点：复合函数微分法，参见P61-63附2.1.3(考核知识点解释及答案)：若函数ug(x)在点x处可导，而yf(u)在点ug(x)处可导，则复合函数yf[g(x)]在点x处可导，且其导数为—f(u)g(x)dx或 dydydudxdudx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.导数的四则运算法则：如果函数uu(x)及vv(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数，且

u(x)v(x)u(x)v(x);u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x);(3)(v(x)0)u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)2(3)(v(x)0)v(x) v(x)2x1x42x1x43x2ex3。2.设y(x1)sinx,则dy★考核知识点：微分计算，参见P74-79附2.1.4(考核知识点解释及答案)：微分的定义：设函数yf(x)在某区间内有定义，％及刈x在这区间内，如果函数的增量yf(x0 x)f(x0)可表示为yAxo(x)其中A是与x无关的常数，则称函数yf(x)在点x°可微，并且称Ax为函数yf(x)在点％处相应于自变量改变量 x的微分，记作dy,即dyAx函数可微的条件：函数yf(x)在点x。可微的充分必要条件是函数yf(x)在点9可导，且当yf(x)在点x。可微时，其微分一定是:dyf(x)dxdy

dxf(x)即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商dy

dxf(x)即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商因此，导数又称为“微商”微分公式基本初等函数微分公式dc0(c为常数)d(x)xdx(为头数)d(ax) axlnadxd(ex)exdx，，， 1 .d(logax) dxxlna1d(lnx)_dxxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdx2d(tanx)secxdx2d(cotx)cscxdxd(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdx一.、 1 1d(arcsinx) dxJ1x21 ,d(arccosx) , dxJix2〃 ，、 1 .d(arctanx) 2dx1x2，、 1 ,d(arccotx) 2dx1x上述“基本的微分公式”是各种微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里为了方便我们给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。答案：(2xsinx(x21)conx)dx。.函数f(x)(x21)31的极值点为.★考核知识点：函数极值的计算，参见P96-101附2.1.5(考核知识点解释及答案【解答过程】)：确定极值点和极值的步骤(1)求出函数的定义域和导数f(x)(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点(3)利用第一充分条件，根据f(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极大值点或极小值点 如函数存在二阶导数，也可根据第二充分条件判定；(4)求出函数的极值

计算过程如下:1,x2 0»31而f(x)在x1处的左右1,x2 0»31而f(x)在x1处的左右又f(x)6(x21)(5x21),所以f(0)6因此f(x)在x0处取得极小值 极小值为f(0)因为f(1)f(1)0所以用定理3无法判别邻域内f(x)0.所以f(x)在x 1处没有极值同理“*)在乂1处也没有极值答案：x00.函数ylg1lgx的定义域是★考核知识点：函数的概念，参见P1-6附2.1.6(考核知识点解释及答案)：函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念:设D是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规则 f,使得对xD,都有唯一的实数y都有唯一的实数y与之对应，就称f确定了一个一元函数，通常记为yf(x),称x称x为自变量，y为函数(因变量),D为定义域，函数值的集合称为值域.答案:(0,10)。1.lim(12x)x.P33-37★考核知识点：求极限，参见上册附2.1.7(考核知识点解释及答案)P33-37两个重要极限如下：xsinx 1一lim 1,lim1-e。x0x xx

运用第二个重要极限计算该题。答案：e2o.设函数f(ex)e2xex1,则f(x)=★考核知识点：复合函数微分法，参见P61-63附2.1.8(考核知识点解释及答案)：复合函数的求导法则若函数ug(x)在点x处可导，而yf(u)在点ug(x)处可导，则复合函数yf[g(x)]在点x处可导，且其导数为dx复合函数的导数，等于函数对中间变量的导dydydudx复合函数的导数，等于函数对中间变量的导复合函数的求导法则可叙述为:数乘以中间变量对自变量的导数.基本初等函数的导数公式①C0(C为常数)；屹n、(x)③基本初等函数的导数公式①C0(C为常数)；屹n、(x)③(ex) ex;④(lnx)nxn1(nR但不为零)；1一.?x⑤(sinx)cosx；⑥(cosx)⑦(ax) axlna;⑧(logax)sinx；1.xlna答案：2xe。.设yln(1x2)，贝Udy★考核知识点：微分计算，参见P74-79附2.1.9(考核知识点解释及答案)：函数yf(x)在点xo可微的充分必要条件是函数yf(x)在点xo可导,且当yf(x)在点X0可微时，其微分一定是:dyf(x)dxdyf(x)dx即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商2x1x22.曲线yxex1的斜渐近线为★考核知识点：求渐近线，参见P109-111附2.1.10(考核知识点解释及答案)：yf(x)的斜渐近线的计算：如果lim[f(x)kx]b,x则斜渐近线就是直线ykxb… 1 1x,,、，一.函数y1lg」的定义域是x1x★考核知识点：函数的概念，参见P1-6附2.1.11(考核知识点解释及答案【解答过程】)：设D是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规则 f,使得对xD,都有唯一的实数y与之对应，就称f确定了一个一元函数，通常记为yf(x),称x为自变量，y为函数(因变量)，D为定义域，函数值的集合称为值域.函数表示的通常方式为公式法，自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法计算过程如下：x0且」0,x11x答案：(1,0) (0,1)0

tanxsinx12.lim 3x0sinx★考核知识点：洛必达法则求极限,参见P90-95附2.1.12(考核知识点解释及答案)：如果函数f(x)和g(x)满足以下三个条件：⑴limf(x)0,⑴limf(x)0,limg(x)0;XxoXxof(x)和g(x)在点x0的某去心邻域内可导，且g(x)0;⑶lim工色存在(或无穷大).xx°g(x)则极限lim则极限limxxo3存在(或无穷大)，且g(x)limfM1而止xxog(x)xxog(x)这种求极限的方法称为洛必达法则.法则中的x xo改为x 后法则仍成立.答案：2。.设y(x23)3,贝Udy★考核知识点：微分计算，参见P74-79附2.1.13(考核知识点解释及答案)：函数yf(x)在点xo可微的充分必要条件是函数 yf(x)在点xo可导，且当yf(x)在点xo可微时，其微分一■定是:dyf(x)dxdyf(x)dx即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商答案：6x(x23)2dxo

.设y2x2ax3在点x=1取得极小值，则a.★考核知识点：极值的确定，参见下册P98-101附2.1.14(考核知识点解释及答案)：确定极值点(1)求出函数的定义域和导数f(x)(2)求出f(x)的驻点和不可导点(3)令f(x)00如函数存在二阶导数，可根据第二充分条件判定。答案：4。.曲线yx33x24x的拐点坐标为★考核知识点：求拐点，参见P108-109附2.1.15(考核知识点解释及答案【解答过程】)：如果f(x)的二阶导数f(x)在x。的左右两侧变号,则(x°,f(x。))就是拐点。计算过程如下：f(x)6x60, x=1,f(1)=2答案：(1,2)。(二)、计算题1.求yex的导数.★考核知识点：导数计算，参见P56-63附2.2.1(考核知识点解释及答案【解答过程】)：复合函数的求导法则：若函数ug(x)在点x处可导，而yf(u)在点ug(x)处可导，则复合函数yf[g(x)]在点x处可导，且其导数为f(u)g(x)dxdyf(u)g(x)dxdydydudxdudx复合函数的导数，等于函数对中间变量的导复合函数的求导法则可叙述为:数乘以中间变量对自变量的导数.复合函数的导数，等于函数对中间变量的导复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函数的导数时，首先要分清函数的复合层次，然后从外向里，逐层推进求导，不要遗漏，也不要重复.在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量（不管是自变量还是中间变量）的导数.在开始时可以先设中间变量，一步一步去做.熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则。基本的求导公式基本初等函数求导公式c0（c为常数）（x） x1 （为实数）x x(a)aIna(ex) ex,,、 1(lOgax)——xlna1(lnx)一x(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec?x(cotx) csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx1(arcsinx), 2V1x, 1(arccosx) ।Jix21(arctanx) 21x(arccotx) 21x上述“基本的求导公式”是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里为了方便我们再次给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。TOC\o"1-5"\h\zcos_ cos_ 1yexex(cos-)x1 1cos_ 11 1cos_ 1ex(sin)() 2exsinXxx x2.求由方程xyexey0确定的隐函数yy(x)的导数。★考核知识点：隐函数求导，参见P69-71附2.2.2(考核知识点解释及答案【解答过程】)：隐函数的导数：假设由方程F(x,y)0所确定的函数为yy(x),则把它代回方程F(x,y)0中，得到恒等式F(x,f(x))0利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数dy,这就是隐函数求导法.dx导数的四则运算法则：如果函数uu(x)及vv(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、TOC\o"1-5"\h\z商(除分母为零的点外)都在点x具有导数，且

' ' 'u(x)v(x)u(x)v(x);I' ,u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x);' '.u(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 2 (v(x)0)v(x) v(x)参考答案：对原方程，两边关于x求导，其中y=y(x)，有xyyxyeey0xeyV oeyx3.求y(lnx)x的导数.★考核知识点：导数计算，参见P56-63附2.2.3(考核知识点解释及答案【解答过程】)：

对数求导法：形如yu(x)v(x)的函数称为幕指函数.直接使用前面介绍的求导法则不能求出幕指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数.我们把这种方法称为对数求导法.基本初等函数的导数公式①C0(C为常数)； ②(xn) nxn1(nR但不为零)；1③(e)e; ④(lnx)—；x⑤(sinx)cosx； ⑥(cosx)sinx；1⑦(a)alna; ⑧(logax) .xlna(xInInx)x xlnlnxxlnln(xInInx)y(lnx)(e)ev v 1(xlnx)(lnlnxx(lnlnx))(lnx)(lnlnx——)lnx4.求由方程xyyx确定的隐函数yy(x)的导数。★考核知识点：隐函数求导，参见P69-71附2.2.4(考核知识点解释及答案【解答过程】)：隐函数的导数：假设由方程F(x,y)0所确定的函数为yy(x),则把它代回方程F(x,y)0中，得到恒等式F(x,f(x))0利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量 x求导，再解出所求导数dy,这就是隐函数求导法.dx对数求导法：形如yu(x)v(x)的函数称为幕指函数.直接使用前面介绍的求导法则不能求出幕指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数.我们把这种方法称为对数求导法.原方程化为ey1nx exlny,两边对x求导，其中y=y(x),有

eylnx(ylnx) exlny(xlny)TOC\o"1-5"\h\zxy(yInx—)yx(lny—y)x yx y1 y y1ylnyxyxInyx yyxyInxxyx1 xyInxx.xy/yy(xlnyy)

x(yInxx)5.求yarctan(sinx2ecosx)的导数。★考核知识点：复合函数的求导，参见P56-63附2.2.5(考核知识点解释及答案【解答过程】)：复合函数的求导法则：若函数ug(x)在点x处可导，而yf(u)在点ug(x)处可导，则复合函数yf[g(x)]在点x处可导，且其导数为5f(u)g(x)dx或 dydydudxdudx复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.cosx cosx・yarctan(sinx2ecosx)(sinx2e)cosx2esinx

1(sinx2ecosx)2 1(sinx2ecosxyarctan(sinx2ecosx)6.求由方程xyexy确定的隐函数yy(x)的导数。★考核知识点：隐函数求导，参见P69-71附2.2.6(考核知识点解释及答案【解答过程】)：隐函数的导数：假设由方程F(x,y)0所确定的函数为yy(x),则把它代回方程F(x,y)0中，得到恒等式F(x,f(x))0利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量 x求导，再解出所求导数出，这就是隐函数求导法.dx

由xy故有y,有yxy exy由xy故有xy xyxyeyey,xyeyxyxe27.求f(x)(2x1)(x2)3的极值。★考核知识点：求极值，参见P96-101附2.2.7(考核知识点解释及答案【解答过程】):确定极值点和极值的步骤(1)求出函数的定义域和导数f(x)(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点(3)利用第一充分条件，根据f(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极大值点或极小值点 如函数存在二阶导数，也可根据第二充分条件判定；(4)求出函数的极值由f(x)吁1)0得到x1为驻点；33x2102x5 10 3 10c又f⑶三। 4，所以f(1)二丁T093(x2)4 91 3所以f(x)在x1处取得极大值，且极大值为f(1)3。又f(x)在x2处不可导，在x2的充分小邻域内，当x2时，f(x)0;当x2时，f(x)0,由极值的第一充分条件知f(x)在x2处取得极小值，且极小值为f(2)=0,所以f(x)在x=1处取得极大值3,在x=2处取得极小值00x(,1)1(1,2)2(2,)f(x)不存在一0f(x)极大值f(1)3极小值f(2)08.设函数f(x)JX1ax,其中a>0,求f(x)的单调区问。★考核知识点：函数单调性判定，参见P96-98附2.2.8(考核知识点解释及答案【解答过程】)：函数单调性判定定理设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，则(1)如果在(a,b)内f(x)0,则f(x)在［a,b］上单调增加.(2)如果在(a,b)内f(x)0,则f(x)在［a,b］上单调减少.若将定理的条件换成开区间或无穷区问，判定定理的结论仍然成立.若函数f(x)在区间I上可导，且使f(x)0的点x仅有有限个，则f(x)在区间I上为严格递增(减)函数的充要条件为：对一切xI有f(x)()0.利用一阶导数符号判断函数的单调性。 求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些 .f/(x)1 a,x21①当a>1时，有xia,此时f/(x)<0,.x21・•・函数f(x)在区间(，)上是单调递减函数。②当0<a<1时，解不等式f/(x)<0得x,a；,1a2•f(x)在区间(，丁餐］上是单调递减函数。解不等式f/(x)>0得x,a,1a2f(x)在区间［十a=,)上是单调递增函数。,1a2.求函数f(x)=3(x2-2x)2,(0x3)的最大值和最小值。★考核知识点：求函数的最大最小值，参见P102-105附2.2.9(考核知识点解释及答案【解答过程】)：

求函数f(x)(axb)的最大最小值的步骤:(1)求函数的所有驻点，不可导点;(2)比较f(a遇b) 和驻点的函数值以及不可导点的函数值,取其中的最大值和最小值即可.参考答案：f(x)在［0,3］上连续，导数为f(x)=4(x-1)33xf(x)=4(x-1)33x22x令f(x)=0,于是比较得驻点x=1.f(x)的不可导点为x=0,2.f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0 和f(3)=3/9可知，f(x) 的最大值为3/9,最小值为0..求函数f(x)色、的间断点,指出间断点的类型；ln(x1)并给出函数的连续区间.★考核知识点：函数的连续性，参见P40-43附2.2.10(考核知识点解释及答