2022届高考数学一轮复习第七章立体几何第2节空间几何体的表面积与体积课时作业【含答案】

第七章立体几何授课提示：对应学生用书第303页[A组基础保分练]1．已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1A.eq\f(\r(3),12) B．eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D．eq\f(\r(6),4)答案：A2．如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为()A．4eq\r(2)π2 B．2eq\r(2)π2C．5eq\r(2)π2 D．4π2答案：A3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面圆面积为π，则球的表面积为()A．8eq\r(2)π B．4eq\r(2)πC．8π D．4π答案：C4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A.eq\f(5,9)倍 B．eq\f(9,5)倍C．2倍 D．3倍解析：设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，eq\f(36π,20π)＝eq\f(9,5).答案：B5．(西安模拟)已知三棱锥S­ABC中，∠SAB＝∠ABC＝eq\f(π,2)，SB＝4，SC＝2eq\r(13)，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S­ABC的体积是()A．4 B．6C．4eq\r(3) D．6eq\r(3)解析：由∠ABC＝eq\f(π,2)，AB＝2，BC＝6，得AC＝2eq\r(10).由∠SAB＝eq\f(π,2)，AB＝2，SB＝4，得SA＝2eq\r(3)，则SA2＋AC2＝SC2，得SA⊥AC，又SA⊥AB，所以SA⊥平面ABC.所以三棱锥S­ABC的体积为eq\f(1,3)S△ABC·SA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×6×2eq\r(3)＝4eq\r(3).答案：C6．(石家庄摸底)已知正三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2eq\r(3)的正三角形，侧棱长为2eq\r(5)，则球O的表面积为()A．25π B．20πC．16π D．30π解析：如图，延长SO交球O于点D，设△ABC的外心为E，连接AE，AD，由正弦定理得2AE＝eq\f(2\r(3),sin60°)＝4，∴AE＝2，易知SE⊥平面ABC，由勾股定理可知，三棱锥S­ABC的高SE＝eq\r(SA2－AE2)＝eq\r(2\r(5)2－22)＝4，由于点A是以SD为直径的球O上一点，∴∠SAD＝90°，由射影定理可知，球O的直径2R＝SD＝eq\f(SA2,SE)＝5，因此，球O的表面积为4πR2＝π×(2R)2＝25π.答案：A7．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________．答案：eq\f(32,3)π8.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，表面积为S1，球O的体积为V2，表面积为S2，则eq\f(V1,V2)的值是________，eq\f(S1,S2)＝________.解析：设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2)，eq\f(S1,S2)＝eq\f(2πR·2R＋2πR2,4πR2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)eq\f(3,2)9．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq\r(3)的圆柱，求圆柱的表面积．解析：如图所示，设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).易知△AEB∽△AOC，所以eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3）＝eq\f(r,2)，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2eq\r(3)π.所以S＝S底＋S侧＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.10.如图，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，△ABC为等边三角形，AA′⊥平面ABC，AB＝3，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为eq\r(29)，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥C­MNP的体积．解析：(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为eq\r(42＋92)＝eq\r(97).(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，如图所示．设PC＝x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2.∵MP＝eq\r(29)，MA＝2，AC＝3，∴x＝2，即PC＝2.又∵NC∥AM，故eq\f(PC,PA)＝eq\f(NC,AM)，即eq\f(2,5)＝eq\f(NC,2)，∴NC＝eq\f(4,5).(3)S△PCN＝eq\f(1,2)×CP×CN＝eq\f(1,2)×2×eq\f(4,5)＝eq\f(4,5).在三棱锥M­PCN中，M到平面PCN的距离，即h＝eq\f(\r(3),2)×3＝eq\f(3\r(3),2).∴VC­MNP＝VM­PCN＝eq\f(1,3)·h·S△PCN＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(2\r(3),5).[B组能力提升练]1．(青岛检测)已知球O与各棱长均为4的四面体的各棱都相切，则球O的表面积为()A．8π B．eq\f(8\r(2),3)πC．32π D．24π答案：A2.(江西宜春质监)如图所示的粮仓可近似看作一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为eq\r(5)－1和3，则此组合体外接球的表面积是()A．16π B．20πC．24π D．28π解析：设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为O1，则OOeq\o\al(2,1)＋12＝R2，而OO1＝eq\r(5)－1＋3－R，故R2＝1＋(eq\r(5)＋2－R)2，解得R＝eq\r(5)，此组合体外接球的表面积S＝4πR2＝20π.答案：B3．(多选题)(山东济南模拟)已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为eq\r(3)，A，B为底面圆周上两个动点(A与B不重合)，则下列说法正确的是()A．圆锥的体积为πB．三角形PAB为等腰三角形C．三角形PAB面积的最大值为eq\r(3)D．直线PA与圆锥底面所成角的大小为eq\f(π,6)解析：如图所示，点O为点P在圆锥底面上的射影，连接OA，OB.PO＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，圆锥的体积V＝eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，A正确；PA＝PB＝2，B正确；易知直线PA与圆锥底面所成的角为∠PAO＝eq\f(π,6)，D正确；取AB中点C，连接PC，设∠PAC＝θ，则θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2）)，S△PAB＝2sinθ·2cosθ＝2sin2θ，当θ＝eq\f(π,4)时，△PAB面积取得最大值2，C错误．答案：ABD4.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高l为eq\f(61,24)的圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为()A．3 B．4C．5 D．6答案：C5．(多选题)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的eq\f(1,3)，则下列结论正确的是()A．球O的表面积为6πB．球O的内接正方体的棱长为1C．球O的外切正方体的棱长为eq\f(4,3)D．球O的内接正四面体的棱长为2解析：设球O的半径为r，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为R.易得R＝eq\f(2\r(3),3).因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的eq\f(1,3)，所以r2－eq\f(1,9)r2＝eq\f(4,3)，得r2＝eq\f(3,2).所以球O的表面积S＝4πr2＝4π×eq\f(3,2)＝6π，选项A正确；球O的内接正方体的棱长a满足eq\r(3)a＝2r，显然选项B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2r，显然选项C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c＝eq\f(2\r(6),3)r＝eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),2)＝2，选项D正确．答案：AD6．(东北三省四市联考)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O.剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A(B)，C，D，O为顶点的四面体的外接球的体积为()A．8eq\r(6)π B．24πC.eq\r(6)π D．48π解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2eq\r(2)的正三棱锥O­ACD，如图所示，取CD的中点E，连接AE，作OF⊥平面ACD，交AE于F，则F是△ACD的重心，由题意知AE＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3)，AF＝eq\f(2,3)AE＝eq\f(4\r(3),3)，OF＝eq\r(2\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3）)2)＝eq\f(2\r(6),3).设G为四面体的外接球的球心，球的半径为R，则G在直线OF上，连接AG，则OG＝AG＝R，由AG2＝AF2＋GF2，得R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3）)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)－R）2，解得R＝eq\r(6)，所以以A(B)，C，D，O为顶点的四面体的外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝8eq\r(6)π.答案：A[C组创新应用练]1．(济宁模拟)张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A­BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝eq\r(3)，BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为()A．30 B．10eq\r(10)C．33 D．12eq\r(10)答案：B2．已知四面体ABCD内接于半径为R的球O内，BC＝eq\r(3)AB＝3eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，若球心O到平面ABC的距离为eq\f(R,2)，则四面体ABCD体积的最大值为()A．2eq\r(3) B．eq\r(3)C.eq\f(29,4) D．eq\f(27,4)解析：设△ABC外接圆的圆心为O′，半径为r，则eq\f(3\r(3),sin\f(2π,3）＝2r，得r＝3.连接OO′，BO′，OB，则R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2）)2＋32，得R＝2eq\r(3).易知当点D到平面ABC的距离为eq\f(3,2)R时，四面