最新高考数学极值点偏移问题专题复习

最新高考数学极值点偏移问题专题复习【例1】已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（B）A．当时，，B.当时，，C.当时，，D.当时，，【例2】设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（D）A．当时, B．当时,C．当时, D．当时,【例3】设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（B）A．当时, B．当时,C．当时, D．当时,【例4】（2010东城二模）已知函数．(Ⅰ)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；(Ⅱ)设，，且，求证：．解：(Ⅰ)．………3分因为在上为单调增函数，所以在上恒成立．即在上恒成立．当时，由，得．设，．．所以当且仅当，即时，有最小值．所以．所以．所以的取值范围是．…………7分(Ⅱ)不妨设，则．要证，只需证，即证．只需证．……………11分设．由(Ⅰ)知在上是单调增函数，又，所以．即成立．所以．………………14分【例5】（2010天津）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，证明：当时，.（Ⅲ）如果，且，证明：.解：f’令f’(x)=0,解得x=1当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f’(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内增函数，所以>,即>2.【例6】（2011辽宁）已知函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，证明：当时，；（Ⅲ）若函数的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：.解：（I）（i）若单调增加.（ii）若且当所以单调增加，在单调减少.………………4分（II）设函数则当.故当，………………8分（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（II）得从而由（I）知，………………12分【例7】（2013湖南文）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明：当时，.解:(Ⅰ).所以,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x)<f(-x)即可...【例8】（2016新课标I）已知函数QUOTE有两个零点.(I)求的取值范围；(II)设是的两个零点，证明：解：（Ⅰ）．（i）设,则,只有一个零点．（ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．又,,取满足且,则,故存在两个零点．（iii）设,由得或．若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．综上,的取值范围为．（Ⅱ）不妨设,由（Ⅰ）知,,在上单调递减,所以等价于,即．由于,而,所以．设,则．所以当时,,而,故当时,．从而,故．【例9】已知函数QUOTE.（1）若，求函数在上的零点个数；（2）若有两个零点，证明：【例10】设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：．【例11】设函数，其图象与轴交于，两点，且x1＜x2．（1）求的取值范围；（2）证明：（为函数的导函数）【例12】已知函数，（1）若，求证：函数有极值；（2）若，且函数与的图象有两个相异交点，求证：【例13】已知函数，求证：有唯一零点的充要条件a=e【例14】函数的图像