2023高考真题知识总结方法总结题型突破：05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题(学生版)

专题05函数的奇偶性(对称性)与周期性问题【高考真题】1．(2022·全国乙文)若是奇函数，则_____，______．2．(2022·新高考Ⅱ)已知函数的定义域为R，且，则()A．B．C．0D．13．(2022·全国乙理)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7．若y＝g(x)的图像关于直线x＝2对称，g(2)＝4．则()A．－21B．－22C．－23D．－244．(2022·新高考Ⅰ)已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则()A．B．C．D．【常用结论】1．函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，那么f(0)＝0．结论2：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．结论3：若函数y＝f(x＋b)是定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．结论4：若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．结论5：已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0．推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c．推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇．结论7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论8：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论9：函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数；函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝eq\f(ax＋1,ax－1)(a>0且a≠1)是奇函数；结论10：函数f(x)＝logaeq\f(x－b,x＋b)(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝loga(eq\r(1＋m2x2)±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．结论11：函数y＝f(x)是可导的奇函数，则导函数y＝f′(x)是偶函数；函数y＝f(x)是可导的偶函数，则导函数y＝f′(x)是奇函数；结论12：导函数y＝f′(x)是连续的奇函数，则所有的原函数y＝f(x)都是偶函数；导函数y＝f′(x)是连续的偶函数，则原函数y＝f(x)中只有一个是奇函数；2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)f(2a－x)＝f(x)f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)f(2a－x)＝－f(x)f(2a＋x)＝－f(－x)(4)原函数与导函数的对称性的关系定理1：可导函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称．定理2：可导函数y＝f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称．3．函数周期性常用的结论结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a；结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a；结论3：若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；结论4：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；结论5：若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则f(x)的一个周期为2a；结论6：若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则f(x)的一个周期为2a；结论7：若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．结论8：若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．结论9：若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．结论10：若函数f(x)可导，并且是周期为T的周期函数，则f′(x)也是的周期为T的周期函数；若函数f(x)可导，其导函数f′(x)是周期为T的周期函数，且f(0)＝f(T)，则f(x)也是的周期为T的周期函数结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．【同类问题】题型一函数的奇偶性与周期性1．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝()A．－2B．0C．2D．12．(2021·全国甲)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b．若f(0)＋f(3)＝6，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))等于()A．－eq\f(9,4)B．－eq\f(3,2)C．eq\f(7,4)D．eq\f(5,2)3．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x＋2)是偶函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x，则f(－2022)＋f(2023)＝()A．－3B．－2C．1D．04．(多选)(2022·威海模拟)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则()A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x＋3)是偶函数D．f(x)＝f(x＋4)5．(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则()A．f(3)＝0B．f(3)＝f(5)C．f(x＋3)＝f(x－1)D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝16．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2022)＝________．7．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f(x)的判断正确的是()A．f(0)是函数的最小值B．f(x)的图象关于点(1，0)对称C．f(x)在[2，4]上单调递增D．f(x)的图象关于直线x＝2对称8．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式____________．9．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2020)＋f(2021)＋f(2022)的值为________．题型二函数的奇偶性与对称性10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是()A．y＝(x－1)f(x－1)B．y＝(x＋1)f(x＋1)C．y＝xf(x)＋1D．y＝xf(x)－111．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)的周期为2，在[－1，0]上单调递增，那么f(x)在[1，3]上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在区间[1，2]上单调递减，令a＝ln2，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))，c＝logeq\f(1,2)2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是()A．f(b)<f(c)<f(a)B．f(a)<f(c)<f(b)C．f(c)<f(b)<f(a)D．f(c)<f(a)<f(b)13．定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则()A．f(11)<f(12)<f(21)B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)D．f(21)<f(11)<f(12)14．写出一个满足f(x)＝f(2－x)的偶函数f(x)＝________．题型三函数的周期性与对称性15．(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称且f(x＋3)＝f(x－3)，当x∈[0，3]时，f(x)＝2x＋2x－11，则下列结论正确的是()A．f(x)为偶函数B．f(x)在[－6，－3]上单调递减C．f(x)的图象关于直线x＝3对称D．f(2023)＝－716．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝2，则f(2025)＝________．17．已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是()A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x＋2)为偶函数D．函数f(x－3)为偶函数18．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3－3x，则f(2023)等于()A．1B．－2C．－1D．219．已知函数f(x)满足：f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，当2≤x≤3时，f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(11,2)))，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(219,2)))的值为()A．2B．3C．4D．620．设函数f(x)为定义在R上的函数，对∀x∈R都有：f(x)＝f(－x)，f(x)＝f(2－x)；且函数f(x)对∀x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，设a＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2)))，b＝f(log43)，c＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，则a，b，c的大小关系为________．21．(多选)已知奇函数f(x)的定义域为R，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，以下关于函数f(x)的说法正确的为()A．f(x)满足f(8－x)＝f(x)B．8为f(x)的一个周期C．f(x)＝sineq\f(πx,4)是满足条件的一个函数D．f(x)有无数个零点22．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是()A．f(2021)＝0B．2是f(x)的一个周期C．当x∈(1，3)时，f(x)＝(1－x)3D．f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)题型四抽象函数23．设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(8)＝3，则f(eq\r(2))＝________．24．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝________．25．(多选)定义在R上的函数f