线性代数复习二

在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性相当一部分同学在复习做题过程中会有这样的体会：对问题所涉及的概念、原理都很清楚，计算方法也知道，但就是无法算出正确答案来，或是计算有误，或是根本无法演算下去，造成不应有的丢分.例1(2003年数学三)已知齐次线性方程组(a+b)x+ax+ax+•••+ax=0,axii+(a2+b)x2+ax+•••+ax=0,ax+ax+(a+b)x+•..+ax=0,ax+ax+ax.+•..+(a+b)xn=0.其中壬a尹0.试讨论a,a,…,a和b满足何种关系时,i12ni=1方程组仅有零解；方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.分析本题思路方法比较直接：当系数矩阵的行列式不为零时，仅有零解；当系数矩阵的行列式等于零时，有非零解.但涉及到行列式的计算、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基础解系等大量的计算问题，特别是含有多个参数，进-步增加了计算的难度.解方程组的系数行列式a+baa•a123naa+ba•a123n1A1=aaa+b•a1!2:3!n!aaa•a+b123n乙a+baa•ai23ni=1乙a+ba+ba•a1a2a・・3ani23n1a+ba・・ai=1n23n=丫、乙a+baa+b…a=(丈a+b)1a2a+b•-ani23ni=1!:!!i=1!:!-1aa・・-a+b23n歹乙ai+ba2a3•a+bi=1

1aa…a23n0b0…0(fa+b)00b.0，一F，、=bn-1(乙a+b).i=1::::i=1000…b(1)当b尹0且歹乙a+b尹0时,1A1.尹0,方程组仅有零解i=1(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为ax+ax+…+ax=0.TOC\o"1-5"\h\z1122由&尹0可知a,.(i=1,2,…,n)不全为零，不妨设a尹0.因为秩r(A)=1，取x,x,…，xi123n为自由未知量，可得方程组基础解系为n-1=(-a,0,0,…,a.)T.a=(-a,a,0,•••,0)n-1=(-a,0,0,…,a.)T.121231当b=-£a时,由芫a尹0知b尹0，系数矩阵可化为-110•.-110•.0-100•.0:-1:0:0•-:1000••0—，由于秩r(A)=n-1易知^^=0的基础解系为a=(1,1,1,…，1)匚'a+b-b-b•.•a2b0.a•30•b•.-a'00.Trn\-an-0-0a1-Eai-1-1a210a•30•1•I-b00•-b/:1-1:0:0•::7i=1AT评注1本题行列式的计算方法很多，例如，系数矩阵可表示为aa•a12aa•a12aa•a1:2::aa•a12nA=nn7+bE=B+bE,的特征值为而r(B)=1,可方便地求出B的特征值为0,0,„,0fa，于是A=B+bEi=1的特征值为nn-1X—b,X—b,•・・，X—b,X—b+2La,in-1从而根据特征值可求出行列式为IAI—IB+bEI—bn-1□（£a+b）.i-1评注2当b=-£a时，注意到系数矩阵A的秩为r（A）=n-1,而a-（1,1,…，1）T尹0显「322、r010、例2（2003年数学一）设矩阵A—232,P—101、223?、001?i-1然为Ax=0的一个解，即可作为基础解系.,B-P-1A*P,求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.然后计算B=P-1A^P及B+2E，分析然后计算B=P-1A^P及B+2E，于是r700、r900\-25-4,B+2E—-27-4、-2-25JJ「-2-25J0B-P-1A*P-r322、r5-2-2、r01\解由A-232可得A*--25-2,又由P-10:223J「-2-25J:00J最后求B+2E的特征值、特征向量，但计算量大稍有疏忽将很难得到最终的正确结果.，，1可得11(0\1根据耸一9以E-以E-(B+2E)1-人一7-（人一9）2（人一3）,人-5)可知B+2E的特征值为X1—X2—9,X3—3.解［9E-（B+2E）］x=0,得基础解系为a,因此属于X1-9的所有特征向量为k1(-11\-1,k,k有特征向量为k11\J解[3E-(B+2E)]x=0,得基础解系为a=3.因此属于气=3的所有特征向量为k3为非零的任意常数.评注本题直接计算，工作量是相当大的.若由定义Aa=入a,有A*aB(P-1a)=(P-1A*P)(P-1a)=P-AaIAlP-g,入riaii(B+2E)(P-1a)=+2P-1a.nj|AI若求出A的特征值入及对应特征向量a,则B+2E的特征值为——+2及对应特征向量力r22P」a这样就不必求A*.且根据A=22[22r2212的特征值为0,0,6,从而A2J的特征值为1,1,7.二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径线性代数概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式与结论，往往可以达到简化计算的目的.例如有关A*的公式结论有:AA*=A*A=IAIE，由此还可推出一系列相关的公式:(1)IA*I=IAIn-1(n>2),(A*)*=IAIn-2A(n>3),(kA)*=kn-1A*(n>2).(2)若A可逆，则A*=IAIA-1,(A*)-1=—A.IAI(3)1,r(A)=n一1,(n>2).r(A*)=<0,r(A)<n-1.(AT)*=(A*)t,(a-1)*=(A*)-1.(5)若A可逆，且入为A的特征值，则A*有一个特征值为凶入，且ABA-1=BA」+3E，例3（2000年数学一）设矩阵A的伴随矩阵A*=其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B.分析本题相当于解矩阵方程.若先从A*，且ABA-1=BA」+3E，其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B.分析本题相当于解矩阵方程.若先从A*求出A」及A量会相当大.考虑到题设与A*有关，若先用A*A=AA*=lAlE化简，则方便得多.解由ABA1=BA1+3E先右乘A，得AB=B+3A,再左乘A*，并利用A*A=lAlE，得A*AB=A*B+3A*A,即lAlB=A*B+3lAlE.再由lA*l=lAl4-1=Al3,得于是有2B=A*B+6E,（2E-A*）B=6E.故A|3=8，即再代入已知关系式求B,则计算Al=2.r1000-1r600010006006=-101060601030-Ji030—J一般均可考虑利用AA*=A*A=Al£及其相关公式，结论先化B=6(E—A*-)=评注题设与A*有关时简、再计算.r211ar1a121可逆，向量a=b、11a/1IJ（2003年数学四）设矩阵A=是矩阵A*的一个试求a,b和人的值.，特征向量入是a对应的特征值，其中A*是A的伴随矩阵分析解已知A*a=入a，利用AA*=lAlE，有lAla=入Aa，lAlxa'题设与A*有关，先用AA*=A*A=lAlE化简.因为A可逆，知lA40,人圣0,于是有Aa=r211ar1ar1alAl121b_bx111aJI1JI1J解此方程组得a=2,b=1或-2.又lAl==4，由式①可知:当又lAl==4，由式①可知:当b=1时入=1;当b=-2时入=4.又如，有关特征值与相似矩阵的重要公式和结论有：（1）设人，也，…，％为n阶方阵A的n个特征值，值，其中f（A）为A的多项式.且则如］），…她〃）为f（A）的n个特征人+人+…+人=a+a+…+a,人人…人

12n1122nn12(2)若r(A)=1，则A的特征值为入1=入2=…=入n1=lAl.=0,入n=a11+a22+„+ann.⑶若A〜B,则⑷=1B\,r(A)=r(B),特征多项式相同：UE-A1=1XE-B\,VX，从而特征值相同，进而有a+a+„+a=bt+b+„+b.1122nn1122nn例5(2000年数学三)若4阶方阵A与B相似，矩阵A的特征值为-1,1,1,1，则行2345列式\B-1-E\=.分析利用相似矩阵有相同的特征值的结论及通过特征值求行列式的结论即可.解由A〜B，知B的特征值是1,1,1,1，于是B-1的特征值是2,3,4,5,从而B-E的特2345征值是1，2，3，4，故行列式\B-1-E\=1•2•3-4=24.r1111:r4000\11110000例6(2001年数学一、三)设A=,B=11110000U111；10000J则A与B(A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(D)不合同且不相似.分析本题的关键知识点是：两个实对称矩阵若相似，则必合同.又r(A)=1，其特征值为4,人2=气=人4=0.显然A、B为实对称矩阵，且A〜B，于是A与B也合同.故应选(A).评注当A、B为实对称矩阵时，若A〜B，则A、B有相同的特征值nx也与xTBx有相同的正负惯性指数nA与B合同.但若A、B为非对称矩阵，则A与B不合同(合同矩阵必为对称矩阵).例7(2007例7(2007年数学一至四)r2一1-1]r100、-12一1，B=010<-1一12/<000/设矩阵A=，则A与B(A)合同，且相似.(C)(A)合同，且相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同，又不相似.从而A与B不相似.解由!人E-A\=0得A的特征值为0,3,3,而B的特征值为0,1,1又r(A)=r(B)=2,且A、B有相同的正惯性指数，因此A与从而A与B不相似.评注1)若A与B相似，贝0\A\=\B\；r(A)=r(B)；tr(A)=tr(B);A与B有相同的特征值.2)若A、B为实对称矩阵，则A与B合同0r(A)=r(B),且A、B有相同的正惯性指数.三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查.例如：①行列式⑷=00矩阵A不可逆0秩r(A)<n0A的行(列)向量组线性相关0Ax=0有非零解0久=0是矩阵A的特征值®fl可由a1，a2,…，an惟一线性表示8=xa+xa+„+xaK1122nnoAx=P有惟一解x=(x「x2,…,xn)T,妇气,缶…,aor(A)=r(Afi)=noAl尹0oAx=0只有零解o久=0不是A的特征值③AB=0oA(4,b2,…,b)=0,B=(bi,b2,…,bs)oAbj=0,j=1,2,••槌ob],b2，…,bs均为Ax=0的解(nr(A)+r(B)Wn)o若b产0且A为n阶方阵时，b.为对应特征值*=0的特征向量®AB=CoA(bi,b2,…,br)=(q,C2,„,C)3oAb.=C.,j=1,2,„,rob为Ax=q的解.oC「C2,…,Cr可由A的列向量组a1,a2,…,a线性表示.[nr(C)=r(AB)Wr(A)或r(B)].例8(2003年数学一)设向量组I:a1,a2,…,a可由向量组II:耻,"••,、线性表示，则(A)当r<s时，向量组II必线性相关.(B)当r>s时，向量组II必线性相关.(C)当r<s时，向量组I必线性相关.(C)当r>s时，向量组I必线性相关.TOC\o"1-5"\h\z分析本题可由定理“若a1,a2,…,a可由孔,%,•••,£线性表出，且s>t，则a^a2,…,a线性相关”，直接得正确选项(D).S'S若不熟悉上述定理，可由反例通过排除法找到正确选项.也可根据上述结论④用秩来判定：由题设，存在sXr矩阵尸，使(a「缶…,4)=(允顶,…,供PsX则r(a,a，…,a)=r{(fi，…顶)P}Wr(fl，…顶)Ws.12r1s1s当r>s时，有r(a,a，…,a)Ws<r，此时a,a,…,a必线性相关.12r12r例9(2002年数学一、二)已知4阶方阵A=a1,a2,a3,a4),a1,a,a3,a4均为4维列向量，其中a，a，a线性无关，a=2a-a，如果fi=a+a+a+a,求线性方程组Ax=fi的通解.匕。J_匕。J_匕。分析本题可将A=(分析本题可将A=(a,,a,a,aJ,fi=a+a+a+a及x=vP2’34,化1234X2X3代入血”，找出具体的方程，再按通常方法求解.为Ax=fi的特解，也可由fi=a1+a2+a3+a4即fi可由a1,a,a3为Ax=fi的特解，为Ax=0的基础解系.再根据解的结构理及ai-2a2+a3+0•«4=0与a2,a为Ax=0的基础解系.再根据解的结构理r1、r1\1+k-211<1>L0Jx=,k为任意常数.评注Ax=0的解与p可由A的列向量组线性表示之间可相互转换.例10已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x,Ax,A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x.记P=(x,Ax,A2x)，求3阶矩阵8，使A=PBP-i；计算行列式IA+EI.分析A=PBP」。AP=PB。P」AP=B.本题(1)有多种方法求解:设法求出A的特征值、特征向量；将B的每个元素作为未知量直接代入等式求解等等.但根据结论④，由已知一组关系式：Ax=Ax,A2x=A2x，及A3x=3Ax-2A2x合并起来有(Ax,A2xA3x)=(Ax，A2x,3Ax-2A2x),即A(x即A(x,r000、r000、103,也即AP=P103、01-2/、01-2/Ax,A2x)=(x,Ax,A2x)，可方便地求得(000\B=103.、01-2/至于行列式的计算可用特征值(A、B有相同特征值)或相似矩阵计算即可(A〜BnA+E〜B+E).评注从本题可见，矩阵运算AB=C与关系式Ab=C之间的转换可化为线性方程组的jj解、矩阵的相似与对角化，进而还可利用特征值、相似矩阵求行列式等等.四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，下面介绍几个综合性较强的例题.例11设A、B为三阶相似非零实矩阵，矩阵A=(ajj)3>3满足%=入司(诺=1,2,3)气为气的代数余子式，矩阵B满足IE+2BI=IE+3BI=0,计算行列式A*B-A*+B-El.“""分析由IA*B-A*+B-EI=IA*(B-E)+(B-E)I=I(A*+E)(B-E)I=IA*+EI-IB-EI，知，只需计算IA*+EI及IB-EI.若能求出A或B的所有特征值，则问题即可解决.解由％=A.j知，At=A*，于是AAt=AA*=IAIE，从而⑷2=aati=iaiei=IAI3，即IA|2(1-IAl)=0：于是IAI=0或IAI=1.又A丰0，不妨设a丰0,由AI=aA+aA+aA=a2+a2+a2丰又A丰0，不妨设a丰0,由AI=aA+aA+aA=a2+a2+a2丰0,知AI=1.11111112121313111213由IE+2BI=IE+3BI=0,知X=-X=--为B的两个特征值.1223-3也为A的两个特征值.设X3为A、B的另一特征值，根因为A〜B，所以X1=-§X2=1=IAI=XXX=^X12363因为A*B-A*+B-EI=I(A*+E)(B-E)I=A*+EI-IB-EI=IAt+EI-IB-EI..一.—，一.127At+EI=I(A+E)ti=a+EI=(X+1)(X+1)(X+1)=□—B=-123233r3)r41—一□—□5=10,2)L3JIB-EI=(X-1)(X-1)(X-1)=故A*B-A*+B-EI=7□10=70.33评注本题综合考查了矩阵运算、值求行列式等多个知识点.行列式按行(列)展开定理、特征值的概念及利用特征例12(A)A、(C)A、分析设A、B为mXn矩阵，则Ax=0与Bx=0同解的充要条件是B为等价矩阵.(B)ATx=0与BTx=0同解.B的行向量组等价.(D)A、B的列向量组等价.对于(A)，相当于r(A)=r(B)，显然只是必要可用反例通过排除法得到正确选项.而非充分条件；对于(B)，例如A=r1001，B=r20012v200/v100J显然Ax=0与Bx=0同解，但ATx=0与8X=0并不同解，排除(B)；对于(C)、(D)，考虑A=r1101，B=r0101v101jv001j，，故应选(C).，显然A、B的列向量组等价，但Ax=0与Bx=0不同解，排除(D)向量组等价与齐次方程组同解等多个知识点.评注本题综合考查了矩阵等价、对于(C)成立，也可这样证明：若Ax=0与Bx=0同解，考虑(I)Ax=0，(II){Ax=0，Bx=0(III)Bx=0.则易知(I)、(II)、(III)同解，从而有r(A)=r=r(B)，由此可推导出A、B的行向量组等价.反过来，若A、B的行向量组等价，令fa\1a2:，B=邛\^或J"J,mm即列向量组aT,aT,,aT与0T,pt,,pt等价，于是存在矩阵pyQ,使(at,at,,at)=TOC\o"1-5"\h\z12m12m12m(pT,pT,,pT)p，(pt,pt,,pt)=(aT,aT,,aT)Q，即A=PTB,B=QTA.12m12m12m从而由Ax=0有Bx=QTAx=0；反过来，由Bx=0，有Ax=PTBx=0，即Ax=0与Bx=0同解.例13设A为三阶矩阵，人，人，人是A的三个不同特征值，对应特征向量为a,a,a，123123令p=a.+a+a.⑴证明p,Ap,A2p线性无关;(2)若A3p=Ap，求秩r(A-E)及行列式A+2EI.分析证明一组向量线性无关一般用定义法，而求秩r(A-E)及行列式A+2EI，由于不知道A的具体形式，无法直接计算，可考虑先求出A的相似矩阵，再根据相似矩阵有相同的秩及行列式求解即可.解(1)设k1p+k2Ap+k3A2p=o，①由题设Aa^=Xa(i=1,2,3)，于是Ap=Aa+Aa+Aa=Xa+Xa+Xa，A2p=X2a.+X2a+X2a，代入①整理得(k+kX+kX2)a+(k+kX+kX2)a+(k+kX+kX2)a=0.TOC\o"1-5"\h\z121311122322123333因为a1,a2,a3是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有k+kX+kX2=0,12131<k+kX+kX2=0,12232k+kX+kX2=0.I123331其系数行列式11X1其系数行列式11X1X2X3X2X2尹0，X2必有k1=k2=k3=0，故p,Ap,A2p线性无关.(2)由A3p=Ap有A(0,AB,A20)=(AP,A20,A30)=(A0,A20,A§)fo00、=(P,AP,A2P)101,^01ojf000、令P=(P,AP,A2P)，则P可逆，且P-1AP=101=B.[010J即A〜B，于是A-E~B-E,A+2E~B+2E.从而有f-100、200r(A-E)=r(B-E)=r1-11=2,A+2EI=IB+2EI=121=6.[01-1j012评注本题综合考查了行列式、矩阵的秩、线性无关、特征值与特征向量以及相似矩阵的性质等多个重要知识点.例14设随机变量X的概率密度为1x—co尸，＜0c〈兀f(x)=7220,其他，对X独立地重复观察6次，用Y表示观察值大于-的次数，3又已知A=y4-2具有重特征值.[-3-35J求A可对角化的概率；当A可对角化时，求可逆矩阵P，使PAP为对角形矩阵.分析y服从二项分布B(6,p)，其中p=PjX>；]，而判定A可对角化，应先求出A的特征值，再根据特征值气的重数气与其线性无关特征向量的个数相等：n-r(入E-A)=k，将可对角化问题转化为特征矩阵入E-A的秩：r(入E-A)=n-k，由此确定Yiiiii的取值及其相应概率.解(1)由于P<X>—>=j—cos—dx=—，于是Y~B6,上.3-222[2J3

X—11—1X—110IXE—A=—YX—42=—YX—4X—233X-533X—2X—110X—110(X—2)—YX—41=(X—2)—3—YX—703313311—1124—2—3—35，(人一2)(人2—8人+10+Y).，①若入=2为重根，则22-8X2+10+Y=0,即Y=2.此时A=1—1—223—3因为r(2E-A)=r—2r1=1，以E-AI=(入-2)2(入-6).特征值为人=人=2属于特征值X1=X2=2的线性无关特征向量个数为3-因为r(2E-A)=r—2r1=1，②若X=2为非重根，则人2-8人+10+Y=0有重根，则有此时A=82-4(10+Y)=0，得此时A=—2，IXE—AI=(X—6)2(X—2)，特征值为X=X=6，X=2.I-3因为r(6E-A)=r—6=2尹1，表明A因为r(6E-A)=r—6=2尹1，表明A不可对角化.故A可对角化的概率为r1)2r1)c2d—匚1——6nV