空间两个向量的夹角并没有你想象中的那么难学

空间两个向量的夹角并没有你想象中的那么难学作者：安宁职中教师张克昌地址：昆腕公路34公里邮编：6503002010年7月

空间两个向量的夹角并没有你想象中的那么难学安宁职业高级中学教师张克昌【摘要】：求空间两个向量的夹角，是中等职业学校学生学习的难点，自己的切身感受告诫我：求空间两个向量的夹角并不是你想象中的那么难学，即：空间两条直线的方向向量夹角的确定。方法是：一、设置情境，引入课题；二、利用引例绘制空间图形，探求新知；三、灵活运用知识，举一反三：四、总结提炼：从教学出发转换到学法探究，重视对学法的探究，使教学为学生学习服务。研究当代学生的新情况，新特点，从学生的实际出发进行教学。空间向量基内积夹角习题空间向量基内积夹角习题空间两个向量的夹角并没有你想象中的那么难学安宁市职业高级中学教师张克昌空间个向量的夹角，在中等职业学校教材，丘维声主编的《数学》第九章〈空间立体儿何〉的学习中占有重要的地位，对空间儿何的学习，起到承前启后的作用，并为后面三垂线定理、直线与平面所形成的角、二面角及儿何体的学习起到铺垫作用。求空间两个向量的夹角并不是你想象中的那么难学，本文从基的确定求方向向量夹角与线段中点求方向向量夹角等方面,通过习题解析的方式进行阐述：一、设置情境，引入公式：(一)、图中拉小车的力F,图中在大海航行的轮船的位移s,以及汽车行驶的速度移,它们有什么共同点？—乙故它们是既有大小乂有方向的量，即向量。在研究空间图形的度量关系时，需要引入空间向量、单位向量、基、向量夹角、空间向量的坐标运算、向量内积等，如：基的确定：空间中取定一个基(应，应，高)设向量W,"b在这个基下的单位向量坐标分别是^=(a1,a2,a3)，-b=(b1,b2,b3),则空间向量和与差的坐标为：空间向量和:二+飞的坐标为(ai+b”a2+b2Ja3+b3)空间向量差：二&的坐标为(a】一b”a?—b?,a3—b3)(二)、如图所示，小李拉一辆小车，所用里F的方向与水平线夹角为30°,F的大小为400N.小车水平向右移动了s=100(m)试问：小李做了多少功？从物理学知道，小李做的功W等于力F在小车移动方向的分量IF1Cos30o与小车移动的距离|s|的乘积：W=|F|cos30°X|S|=400X^3/2X100=2000^3(J)从上看到，力F做的功W等于F的大小、位移s的大小及力F与位移s的夹角的余弦的乘积。由此收到启发，抽象出向量的内积概念。第3页共11页直角坐标计算内积La•飞二a'+a2b2+a3向量内积:F•F=|a||b|cosva,b>向量夹角的余弦为：cosvE,¥>=勺场+a2b2+a3b3Ja；+a；+a；J«+b；向量夹角的余弦为：cosvE,¥>=向量的长度：r*Q-1=Jaj++aj»Ib|=Jbj+bj+bj.这是因为向量的内积是向量的长度和夹角有密切联系的量。二、巧用典型例题，探求新知：空间两条直线的方向向量的夹角。【教材例题】：(如图1),在棱长为1的的正方体中，求向量虱和酿的内积，以及匕AiBD?解：在空间中取一个基：配、威、曲"它们两两垂直，且都为单位向量。建立空间直角坐标系B-xyz,则点8、4、D、的坐标分别为:C(1,O,O),B(0,0,0),A(O,1,0),根据三角形法则，得：赢=BA+函由空间向量分解定理：m=xa+yb+zc,BDX=BAi+AID】=BAi+BC=BC+BA4-BBx因此函i、血】在上述基下的坐标分别为：BAi=(0,1,1),BDi=(1,1,l)o由:"*a•T=a】bi+a2b2+a3b3从而BA】•BDj=0*1+1-1+1•1=2由T*aI=Jaj+a：+aJ:IbI=Jbj+bj+bj.得：IBAJ=a/O2+12+12=41:西ipF+F+F=右由cosV乙，飞>=祎甲脸伞罕得:I&Hb|+a；+Jbj2+b；+bj

|BA1|.|BD1|于是通过反余弦函数求两向量夹角为:ZABD1=<BA1,BD1>=arccos—0.6153小结：此例通过确定空间中的一个基：就、BA.函（y轴，x轴，z轴），确定0点坐标为：（0,0,0）,来求向量的坐标，向量的内积及向量的夹角。此例的学习，并不只在学会这道题，更多的是，能否融会贯通，在脑海里建立空间立体儿何的概念，为后面的举一反三，真正掌握好空间向量的知识和培养素质能力打下基础。三、灵活运用知识，举一反三：【中等职业学校教育《数学》教材第二册（基础版、修订版）155页，练习A组学生黑板练习，教师修正】（1）砥与bK\的夹角（2）庙】与DIG的夹角（1）砥与bK\的夹角（2）庙】与DIG的夹角（4）血】与曲】的夹角DiCi（3）AC与BG的夹角DiCi解：（1）底与BK的夹角（如图2）•/AA^BBj.•・夹角：<AAL,BIC,>=ZBBC=90°总结：中等学生画图解答，交线垂直夹角是90°解：（2）曲与DW的夹角（如图2）夹角:<ABnD德〉=/ABA=45°小结：中等学生画图解答，等量代换,交线夹角是直角的一半45°o解：（3）AC与BCi的夹角（如图2）连接AD】,由于BC】=ADx=CD】,因此ADiAC是等边三角形夹角:ZDiAC=NACDi=ZCDXA=〈AC,BC】>=60°。

<|、结：中等学生画图解答，等量代换组成等边三角形,d客线夹角是60°(4)求：胡1与茂】的夹角(如图3),解：在空间中取一个基：庙、而、菇“它们两两垂直，且都为单位向量。建立空间直角坐标系刀一xyz,则点8、4、D、的坐标分别为:B(l,0,0),A(0,0,0),D(0,l,0),.・•由图知：血|与胡|共面,茂1是葩+BA+福i的向量和,曲1是花+BA+AA1的向量和，空间向量分解定理：m=xa+yb+zc»得：CAX=CB+BA+AA]=-1BC-1AB+1AAXCA】坐标为：(-1,-1,1)oBD]=BA+AD+AA]=-1AB+1AD+1AAXBDX坐标为：(~1,1,1)CAx-BDX=(-1)X(-1)+(-1)XI+1X1=1由IhI=Jaj++aj:131=J*+b：+bj.得：ICAX|=^/i2+l2+i2=；|BDX|=^12+12+12=又,:a,b=\a\\b\cos<a,b>ajbj+a3b-)+=Ja]+a5+a]•Jbj~+b；+bj,cos<a，£>>—►—♦,BDi•CAj1i/.—►—♦,BDi•CAj1i/.cos〈.BDi,CAJ=cosZBMC==rr=-|BDJ-|CAJJ33通过反余弦函数求两向量夹角为：〈.血i，CAi)=ZBMC=arccos-3从作图知，可用解任意三角形的余弦定理检验以上计算的正误：a2=b2+c2-2bccos/Ab2=a2+c2-2accosZB第6页共c2=b2+a2-2abcosZC得,cos-ZA=甘+。2_瑚2be/•cos〈.BD”CAD=cosZBMC(-BDx得,cos-ZA=甘+。2_瑚2be/•cos〈.BD”CAD=cosZBMC(-BDx)2+(-CA*—(BC)2)22(Lbd】•Lcaj22-r)+2(•——)一2即：cos(.BDX,CAi)=cosZBMC==厂厂I航I•|CAx|V3通过反余弦函数求两向量夹角为：〈.血”预】〉=ZBMC=arccos-<>3两式得数相同，说明计算无误。小结：由易到难，引入空间中的一个基：曲、而、福“确定向量坐标、内积、用反余弦函数值求夹角。并独创性的引入用解任意三角形的余弦定理来检验计算的正误，让学生真真切切体会到空间夹角的存在，并能用其他方法加以证明，让学生习惯于探究，习惯于运用知识，而不是死记硬背知识。以此提高学生的探究精神，为培养学生的创新精神提供了最佳环境。增强了学生学习数学的积极性与趣味性。习题2、(如图4),在棱长为1的正方体中，M、N分别是AB、BB】的中点，求下列线段所成的角：(1)厢与血的夹角(2)氐与雨的夹角(1)求：两与血的夹角，(如图4)、解：在空间取一个基：两、而、疝“它们两两垂直，且都为单位向量建立空间直角坐标系4—xyz,则点8、4、D、的坐标分别为：8(1,0,0),Z(0,0,0),D(0,1,0),M是AB中点。由空间向量分解定理m=xa+yb+zc；得:■二Iab+oad+aax2

厢坐标为：(L,°,1)2BD=-1AB+1AD+OAAi坐标为：(-1,1,0),由二.•飞二a】bi+a2b2+a3b3,得:AM•BD=lx(-1)+0X1+IX0二--22由Ia|=Jaj++a：,Ib|=Jbj+b：+bj,得：|AM|=./(1)2+02+12=g；|BD|=yl(-1)2+l2+I2=VI一一T•7由cos<a,b>=cos<Afi,BD>=a】b]+a.b?+-363.得.

削b|-Ja：+a；+a一一T•7由cos<a,b>=cos<Afi,BD>=而10・•・通过反余弦函数求两向量夹角为:〈前,BD>=arccos(-)由于余弦为负值，空间两条直线的方向向量的夹角已大于90°需转换为小于90°的角,从而AM与BD所成的角为：TT-<AM,BD>=tt-arccos(-)e1.24910，苜、结：增加难度，确定中点坐标，让优等学生上黑板独立进行探究性学习，想出新办法,AB获得新知识，解决新问题，强调：空间中两条直线的方向向量的夹角中不大于90°的哪个角叫做这两条直线所成角DiCiAB(2)求:无与茹的夹角，(如图5)、解：建立空间直角坐标系A-xyz,则点8、4、D、的坐标分别为:8(1,0,0),Z(0,0,0),D(0,1,0),N是B瓦中点。由空间向量分解定理m=xa+yb+zc；得：CN=OAB-1AD+1aAx2

麻坐标为：（0,-1,-）2瓯在中，由空间向量分解定理m=xa+yb+zc；得:AG=AC+CCi-AB+BC+AAXAC】坐标为：（1,1,1）由二•飞二a】bi+a2b2+a3b3,得:ACX•CN=OX1+1X(-1)+1X-=--22plIIa|=Jaj++a、,Ib|=Jbj+b：+蜡，得:|ACJ=^12+12+12=^3;|CN|=a/02+(-1)2+(y)2由C0S<-^,2>=--ACX-CNCOS〈AC”CN)二lACil-由C0S<-^,2>=--ACX-CNCOS〈AC”CN)二lACil-|CN|Ja；+a；+a；Jb；+b；+b；TOC\o"1-5"\h\z(--)厂V=(-匝)扁直152・•・通过反余弦函数求两向量夹角为：瓦,CN>=arccos（--）由于余弦为负值，空间两条直线的方向向量的夹角己大于90°需转换为小于90°的角,从而网与国所成的角为：7T-<AC1,CN>=TT-arccos（-R1.310154、结：再次增加难度，让优等学生上黑板独立进行探充性学习，通过习题解析，加深了对各知识点的理解，对所学内容做更进一步的巩固和掌握；同时，对分析问题的能力和灵活运用知识综合能力也是一次检验。探究学力题：循序渐进增加难度，直接确定关键点坐标。再求向量夹角如图（六），在正方体ABCD-AB]C]D]中，B】E]=D]F]=鱼生，求与DF]所成的角的余弦值?解：设己知正方体的棱长为1个单位长度，且设DA=i,DC=J,DD1=A.

以I、j、A为坐标向量建立空间直角坐标系Q—xyz,则点3、3、D、R的坐标BTOC\o"1-5"\h\z1分别为：Ei(l-,1),D(0,0,0),Fi(0-,1)4由a—b=31—&技2-b2,a3-1)3);得:BAABE1=(1,1)-(1,1,0)=(0,1),44DF1=(0,—,1)—(0,0,0)=(0,—,1).44由|g|=Ja；+a；+a；,\b\=Jb：+b；+b：,得：|瓦|二半，|商|=手，BE1-DF1=^|.A・.・cosv函，函＞=BE】DF|_15四、总结提炼：求空间两条直线的方向向量的夹角，是中等职业学校学生学习的难点，自己的切身感受告诫我：过去认为教师只要讲深讲透，学生自然会了，实践证明，这是极大的误解。教不等于学，教过不等于学会，教师的滔滔不绝的讲，占用了课堂宝贵时间和空间，学生被动接受,主动性，创造性难以发挥。求空间两条直线的方向向量的夹角，关键是先确定(如图1)空间的一个基：曲、BA>”它们两两垂直，且都为单位向量,建立空间直角坐标系B-xyz。(图4)在空间取的另一个基是：房、疝、AAU建立空间直角坐标系A-xyz.由于所确定单位向量位置不同、它们所确定的基跟上面不一样。其次，方向、大小改变，所确定的坐标也改变。学生是课堂的“主人”。以上6道习题6个学生上黑板解析，教师用探充的教学理念、教学方法启发，引导，点拨、修正，效果很好。习题解析学生学有所“得”，很高兴，自然就对《数学》的学习产生情感与趣味。并能培养学生的空间想象能力，抽象逻辑思维能力，为培养学生的创新精神提供了最佳环境。为今后的学习打下基础。总之，空间两个向量的夹角并没有你想象中的那么难学，从教学出发转换到学法探究，重视对学法的探究，使教学为学生学习服务。研究当代学生的新情况，新特点，从学生的实际出发进行教学。跟