考点三：导数及其应用-五年（2018-2022）高考数学真题专项汇编卷 全国卷版-2023届高三数学二轮专题复习（含解析）

考点三：导数及其应用——五年（2018-2022）高考数学真题专项汇编卷全国卷版1.【2021年全国乙卷(理)】设，若为函数的极大值点，则()A. B. C. D.2.【2022年全国乙卷(理)】已知，和分别是函数（且）的极小值点和极大值点.若，则a的取值范围是_________.3.【2018年全国Ⅱ卷理科】曲线在点处的切线方程为__________.4.【2022年全国乙卷(文)】已知函数.（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求a的取值范围.5.【2021年全国甲卷(文)】设函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.6.【2020年全国Ⅰ卷理科】已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求的取值范围.7.【2020年全国Ⅱ卷文科】已知函数.（1）若，求c的取值范围；（2）设，讨论函数的单调性.8.【2019年全国Ⅰ卷理科】已知函数，为的导数．证明：(1).在区间存在唯一极大值点；(2).有且仅有2个零点．9.【2019年全国Ⅱ卷文科】已知函数.证明：(1).存在唯一的极值点；(2).有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.10.【2018年全国Ⅱ卷文科】已知函数（1）设是的极值点.求a，并求的单调区间；（2）证明：当时，.

答案以及解析1.答案：D解析：本题考查函数的性质、导数的计算与应用.（穿针引线法）当时，若a为极大值点，则如图1，必然有，，可知B项和C项错误；当时，若a为极大值点，则如图2，则有，，可知A项错误，综上所述，可知D项正确.2.答案：解析：解法一由，得.令，得，因为且，所以显然，所以.令，则.令，得.故当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，也是最小值.因为有极小值点和极大值点，故有两个不同的根，，故的图象与直线有两个交点，所以，即，又，所以，又，所以易知当，时，；当时，.若，则当时，，不符合题意，所以，则，所以.解法二由题意，，根据有极小值点和极大值点可知，，为的两个不同的根，又，所以易知当，时，；当时，.由可得.①若，则当时，，不符合题意，舍去.②若，令，，在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示.因为有两个不同的根，所以与的图象需要有两个交点，则过原点且与的图象相切的直线l的斜率.不妨设直线l与的图象的切点坐标为，因为，所以，可得，从而，即，则，又，所以，所以.3.答案：解析：因为:所以:4、（1）答案：-1解析：当时，，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以.（2）答案：解析：，，则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在，上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由(1)得，即，所以，，，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在，上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由(1)得当时，，，所以，此时，存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.5.答案：（1）由题意，的定义域为，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知函数的最小值为，要使的图象与x轴没有公共点，只需的最小值恒大于0，即恒成立，故，得，所以a的取值范围为.6.答案：(1)见解析；(2).解析：(1)当时，，.故当时，；当时，.所以在上单调递减，在单调递增.(2)等价于.设函数，则.若，即，则当时，.所以在单调递增，而，故当时，，不合题意.若，即，则当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.由于，所以当且仅当，即.所以当时，.若，即，则.由于，故由可得.故当时，.综上，的取值范围为.7.答案：（1）设，则，其定义域为，.当时，；当时，.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.从而当时，取得最大值，最大值为.当，即时，.所以c的取值范围为.（2），..取得，，则由（1）知，当时，，即.故当时，，所以，从而.所以在区间，上单调递减.8.答案：(1).设，则，.当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为.则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.(2).的定义域为.①.当时，由1知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.②.当时，由1知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.又，，所以当时，.从而，在没有零点.③.当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.④.当时，，所以，从而在没有零点.综上，有且仅有2个零点.9.答案：(1).的定义域为..因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，，故存在唯一，使得.又当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，存在唯一的极值点.(2).由(1)知，又，所以在内存在唯一根.由得.又，故是在