2021-2022学年天津市红桥区高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年天津市红桥区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）1. 设全𝑈={−1,0,2,3}，集𝑆={−1,3}，𝑇={0}，(∁𝑈𝑆)∪𝑇=( )A.⌀ B.{0} C.{0,2} D.{−1,0,3}2. 命𝑝：∃𝑥∈𝑅，𝑥+2≤0，则命𝑝的否定( )A.∃𝑥∈𝑅，𝑥+2>0C.∀𝑥∈𝑅，𝑥+2>0

B.∀𝑥∈𝑅，𝑥+2≤0D.∃𝑥∈𝑅，𝑥+2≥03. 设𝑝：𝑥>𝑦，𝑞：𝑥2>𝑦2，𝑝是𝑞成立( )充分不必要条件C.充要条件下列各式不正确的( )A.sin(𝛼+180°)=−𝑠𝑖𝑛𝛼C.sin(−𝛼−360°)=−𝑠𝑖𝑛𝛼

必要不充分条件D.既不必要也不充分条件B.cos(−𝛼+𝛽)=−cos(𝛼−𝛽)D.cos(−𝛼−𝛽)=cos(𝛼+𝛽)如弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长( )A. 1 B.𝑠𝑖𝑛0.5sin0.5

C.2𝑠𝑖𝑛0.5 D.𝑡𝑎𝑛0.56. 为了得到函𝑦=sin(2𝑥−𝜋)的图象，可以将函𝑦=𝑠𝑖𝑛2𝑥的图( )3A.𝜋个单位长度6C.𝜋个单位长度6有以下四个结论②lg(𝑙𝑛𝑒)=0③若10=𝑙𝑔𝑥，则𝑥=10若𝑒=𝑙𝑛𝑥，𝑥=𝑒2，其中正确的( )

B.𝜋个单位长度3D.𝜋个单位长度3①lg(𝑙𝑔10)=0A.①③ B.②④ C.①② D.③④()第1页，共13页A.𝑦=𝑎𝑥+𝑏C.𝑦=𝑎𝑥

B.𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑎D.𝑦=log𝑥𝑎9. 𝑓(𝑥)=𝑥−√𝑥(𝑥>0)，𝑔(𝑥)=𝑥+𝑒𝑥，ℎ(𝑥)=𝑥+𝑙𝑛𝑥的零点分别为𝑥1、𝑥2、𝑥3，( )A.<𝑥2<𝑥3 B.𝑥2<<𝑥3 C.𝑥2<𝑥3<D.𝑥3<<𝑥2二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）10. 计算：sin(−16𝜋)= ；lg1−𝑙𝑔25．3 411. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑡𝑎𝑛𝐴=1,𝑐𝑜𝑠𝐵=3√10，𝑡𝑎𝑛𝐶= ．2 1012. 若一元二次不等2𝑘𝑥2+𝑘𝑥−3<对一切实𝑥都成立，𝑘的范围．813. 𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥−𝑏𝑏𝑥2−𝑎𝑥−1>0的解集为 ．14. 若函𝑓(𝑥)是定义域𝑅的奇函数𝑥>0时=𝑥3−2.则函𝑓(𝑥+的所有零点之和．𝑎𝑥+2−3𝑎,𝑥<015. 已知函𝑓(𝑥)={2𝑥−1 , 𝑥≥0. 若存∈≠𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)成立，则实𝑎的取值范围．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）16. 𝑐𝑜𝑠𝛼=−4，𝛼∈(𝜋35 2(Ⅰ)求𝑠𝑖𝑛𝛼的值；(Ⅱ)求cos(𝛼+𝜋)的值．6第2页，共13页PAGE1313页17. 𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)−1．2(1)若0<𝛼<𝜋，且𝑠𝑖𝑛𝛼=√2，求𝑓(𝛼)的值；2 2(2)求函数𝑓(𝑥)的最小正周期及单调递增区间．18. 𝑓(𝑥)=2𝑥2−4𝑥+𝑎，𝑔(𝑥)=log𝑎𝑥(𝑎>0𝑎≠1)．(1)𝑓(𝑥)[−1,3𝑚]𝑚的取值范围；(2)若𝑓(1)=𝑔(1)①求实数𝑎的值；2②设𝑡1=1𝑓(𝑥)，𝑡2=𝑔(𝑥)，𝑡3=2𝑥，当𝑥∈(0,1)时，试比较𝑡1，𝑡2，𝑡3的大小．219. 30千米外的地方参加社会实践活动．已知该城市出租车的收费标准是：起步价11元(乘车不超过3千米)；行驶3千米后，每千米车费2.2元；行驶10千米后，每千米车费2.8元．(Ⅰ)写出车费𝑦(单位：元)与路程𝑥(单位：千米)的函数关系式；(Ⅱ)为了节省支出，他们设计了三种乘车方案：①不换车：乘一辆出租车行30千米；②分两段乘车：先乘一辆车，行15千米后，换乘另一辆车，再行15千米；③分三段乘车：每乘10千米后，换乘一次车．问哪一种方案最省钱？答案和解析𝐶【解析】解：∵全集𝑈={−1,0,2,3}，集合𝑆={−1,3}，∴∁𝑈𝑆={0,2}，∵𝑇={0}，∴(∁𝑈𝑆)∪𝑇={0,2}，故选：𝐶．根据集合的基本运算即可求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．𝐶【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题𝑝：∃𝑥∈𝑅，𝑥+2≤0，则命题𝑝的否定是：∀𝑥∈𝑅，𝑥+2>0．故选：𝐶．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．本题考查了含有量词的命题的否定属于基础题．𝐷【解析】解：∵𝑥2>𝑦2⇔|𝑥|>|𝑦|，∴𝑝是𝑞成立的既不充分也不必要条件，故选：𝐷．𝑥2>𝑦2⇔|𝑥|>|𝑦|，∴以此可解决此题．本题考查不等式性质及充分、必要条件的判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．𝐵【解析】解：由诱导公式可知sin(𝛼+180°)=−𝑠𝑖𝑛𝛼，A正确cos(−𝛼+𝛽)=cos[−(𝛼−𝛽)]=cos(𝛼−𝛽)，B错误sin(−𝛼−360°)=sin(−𝛼)=−𝑠𝑖𝑛𝛼，C正确cos(−𝛼−𝛽)=cos[−(𝛼+𝛽)]=cos(𝛼+𝛽) D正确综上所述，错误的𝐵故选B应用诱导公式逐个判断做出解答．本题考查诱导公式的正确应用，属于基础题．𝐴【解析】【分析】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．连接圆心与弦的中点，解得半径为1

，由弧长公式求弧长即可．【解答】

𝑠𝑖𝑛0.5解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角为0.5，故半径为1𝑠𝑖𝑛0.5这个圆心角所对的弧长为1×故选：𝐴．

1𝑠𝑖𝑛0.5

= 1𝑠𝑖𝑛0.5𝐴【解析】解：∵函数𝑦=sin(2𝑥−𝜋)=sin[2(𝑥−𝜋)]，3 6∴为了得到函数𝑦=sin(2𝑥−𝜋)的图象，可以将函数𝑦=𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象向右平移𝜋个单位3 6长度故选：𝐴．先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时𝑥的系数，属于基础题．𝐶【解析】解：对于①∵lg(𝑙𝑔10)=𝑙𝑔1=𝑙𝑔0，故①对对于②∵lg(𝑙𝑛𝑒)=𝑙𝑔1=0∴②对对于③，∵10=𝑙𝑔𝑥∴𝑥=1010∴③错对于④，∵𝑒=𝑙𝑛𝑥∴𝑥=𝑒𝑒∴④错故选C通过底数的对数是1，1的对数为0判断出①②对；通过对数式与指数式间的转化判断出③④错．本题考查两个特殊的对数值：底数的对数是1，1的对数为0、考查对数式与指数式间的互化．𝐵【解析】解：由图象可知，治愈率先减后增，选项B符合题意，𝐴𝐶𝐷选项均是单调函数，不符合题意．故选：𝐵．根据已知条件，结合函数图象，以及函数的单调性，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握函数的单调性是解本题的关键，属于基础题．𝐶【解析】解：∵𝑓(𝑥)=𝑥−√𝑥(𝑥>0)的零点为：1；𝑔(𝑥)=𝑥+𝑒𝑥=0，可知𝑒𝑥>0，方程的解𝑥必须小于0，所以函数的零点必定小于零，ℎ(𝑥)=𝑥+𝑙𝑛𝑥=0，𝑥>1时，𝑥+𝑙𝑛𝑥>0，所以函数的零点必位于(0,1)内，∴𝑥2<𝑥3<𝑥1．故选：𝐶．分别确定函数零点的大致范围，即可得到结论．本题考查函数零点的定义，利用估算方法比较出各函数零点的大致位置是解题的关键．【答案√3 −22【解析】解：sin(−16𝜋)=−sin(5𝜋+𝜋)=sin𝜋=√3；3(2)lg1−𝑙𝑔25=lg1 =4 100

3 3 23(22利用对数的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．−1【解析】【分析】𝑡𝑎𝑛𝐶=−tan(𝐴+𝐵)再结合两角和与差求解即可．【解答】解：在△𝐴𝐵𝐶中，𝑡𝑎𝑛𝐴=1,𝑐𝑜𝑠𝐵=3√10>0，2 10∴𝑠𝑖𝑛𝐵=√1−cos2𝐵=√10．10那么𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵

=1．3

𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑡𝑎𝑛𝐵

=−1+1

=−1．则𝑡𝑎𝑛𝐶=−tan(𝐴+𝐵)=−故答案为−1．12.【答案】−3<𝑘<0

1−𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵

231−1×123【解析】解：∵一元二次不等式2𝑘𝑥2+𝑘𝑥−3<0对一切实数𝑥都成立，82𝑘<0∴𝑘≠0，且满足{△=𝑘2−4×2𝑘(−3)<0,8即 ，即 ，𝑘2+3𝑘<0解得−3<𝑘<0，故答案为：−3<𝑘<0．利用一元二次不等式和函数之间的关系，利用判别式进行求解即可．本题主要考查一元二次不等式的解法，利用不等式恒成立转化为判别式<0是解决本题的关键．13.11)2 3𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥−𝑏和和是方程𝑥2−𝑎𝑥−𝑏=的两个解，2×3=所+3=𝑎 ，解𝑎==−62×3=𝑥2−𝑥−1>0𝑥2−𝑥−1>𝑥2+𝑥+1<0−1<2𝑥<−1，3所以不等式𝑏𝑥2−𝑎𝑥−1>0的解集为(−1,−1).2 3故答案为：(−1,−1).2 3𝑎𝑏求解集．题，是基础题．−6【解析】解：当𝑥>0时，由题意可得函数𝑓(𝑥)=0只有一个零点，奇函数满足𝑓(0)=0，结合奇函数的对称性可得函数𝑓(𝑥)有3个零点，而𝑓(𝑥)=0的零点之和为0，且把𝑓(𝑥)的图象向左平移2个单位可得函数𝑓(𝑥+2)的图象∴函数𝑓(𝑥+2)的所有零点之和为−6故答案为：−6．𝑓(𝑥)最终结果．的理解和计算能力，属于中等题．15.【答案】(−∞,2)3【解析】解：当𝑥≥0时，2𝑥−1≥0，当𝑥<0时，若𝑎=0，则𝑓(𝑥)=2恒成立，满足条件；𝑎>)<2−𝑎12∈𝑅1≠2𝑥1)=𝑥22−𝑎>0，即𝑎∈(0,2)；3𝑎>)<2−𝑎12∈𝑅1≠2𝑥1)=𝑥22−𝑎>0，即𝑎∈(0,2)；3若𝑎<0，则𝑓(𝑥)>2−3𝑎，满足条件，综上可得：𝑎∈(−∞,2)；3故答案为：(−∞,2)3𝑥≥02𝑥−1≥12∈𝑅1≠2𝑥1)=𝑥2𝑥<0时，存在不小于0的函数值，进而得到答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，函数的图象和性质，难度中档．16.【答案】解：(Ⅰ)因为𝑐𝑜𝑠𝛼=−4，𝛼∈(𝜋,3𝜋)，5 2所以𝑠𝑖𝑛𝛼=−√1−cos2𝛼=−√1−(−4)2=−3；5 5(Ⅱ)cos(𝛼+𝜋)=𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝜋−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝜋=(−4)×√3−(−3)×1=3−4√3．6 6 6 5 2 5 2 10【解析】(Ⅰ)由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．(Ⅱ)根据两角和的余弦公式即可求解．考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵0<𝛼<𝜋，且𝑠𝑖𝑛𝛼=√22 2∴𝑐𝑜𝑠𝛼=√2，2∴𝑓(𝛼)=𝑐𝑜𝑠𝛼(𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼)−12=√2×(√2+√2 12 2 2)−2=1；2(2)∵函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)−121=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+cos2𝑥−21 1+𝑐𝑜𝑠2𝑥 1=2𝑠𝑖𝑛2𝑥1

2 −2=√2sin(2𝑥+𝜋)，

=2(𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥)2 4∴𝑓(𝑥)的最小正周期为𝑇=2𝜋=𝜋；2令2𝑘𝜋−𝜋≤2𝑥+𝜋≤2𝑘𝜋+𝜋，𝑘∈𝑍，2 4 2解得𝑘𝜋−3𝜋≤𝑥≤𝑘𝜋+𝜋，𝑘∈𝑍；8 8∴𝑓(𝑥)的单调增区间为[𝑘𝜋−3𝜋,𝑘𝜋+𝜋]，𝑘∈𝑍．8 8【解析】(1)根据题意，利用𝑠𝑖𝑛𝛼求出𝑐𝑜𝑠𝛼的值，再计算𝑓(𝛼)的值；𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)的最小正周期与单调增区间即可．本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目．18.【答案】解：(1)因为抛物线𝑦=2𝑥2−4𝑥+𝑎开口向上，对称轴为𝑥=1，所以函数𝑓(𝑥)在(−∞,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，因为函数𝑓(𝑥)在[−1,3𝑚]上不单调，所以3𝑚>1，…(2分)得𝑚>1，…(3分)3(2)①因为𝑓(1)=𝑔(1)，所以−2+𝑎=0，…(4分)所以实数𝑎的值为2.…(5分)1因𝑡 =1𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥+1=(𝑥−1)2，12𝑡2=𝑔(𝑥)=log2𝑥，𝑡3=2𝑥，所以当𝑥∈(0,1)时，𝑡1∈(0,1)，…(7分)𝑡2∈(−∞,0)，…(9分)𝑡3∈(1,2)，…(11分)所以𝑡2<𝑡1<𝑡3.…(12分)【解析】(1)函数