五年级奥数第5讲-等积变形-课件

白汀水小学奥数三角形的等积变形DABC相似等相1PPT课件白汀水小学奥数三角形的等积变形DABC相似等相1PPT课件白汀水三角形的等积变形一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系。这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）。同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）。这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．当三角形的底和高

的积保持不变，三角形的面积就不变。只有当三角形底和高的乘积

变化时，三角形的面积才发生变化。

三角形面积的计算公式：

三角形面积=底×高÷2

底高2PPT课件白汀水三角形的等积变形一个三角形在面积不改变的情况下，可以有白汀水①等底等高的两个三角形面积相等．它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．ABCDE3PPT课件白汀水①等底等高的两个三角形面积相等．它们所对的顶点白汀水例如在下图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．DABC4PPT课件白汀水例如在下图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是白汀水例如下图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．CABDHE5PPT课件白汀水例如下图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是B白汀水例1用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AB、AC中点E、F，并连结DE、DF．从而得到四个等积三角形，即△ADE、△BDE、△DCF、△ADF等积．ABCDEF方法1：如左图，将BC四等分，（BD=DE=EF=FC=BC/4）、连结AD、AE、AF，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC等积．BACDEF6PPT课件白汀水例1用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相白汀水方法3：如左图，取△ABC三条边的中点D、E、F

连结DE、DF、EF，则△BED、△EAF、△DFC、△EFD等积．BACDEF方法4：如右图，取点D，使BD=BC/3，连结AD、取点E、F，使AE=EF=FD，则△ABD、△CAE、△CEF、△CFD等积．BACDEF7PPT课件白汀水方法3：如左图，取△ABC三条边的中点D、E、F连白汀水例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．

方法2：如上右图，先取BC中点，再取AB的1/4分点，连结AD、DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．方法1：如上左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．BACEDBACDE1341348PPT课件白汀水例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形白汀水方法2：如下图，先取AB中点D，再连结CD，再取CD上的1/4分点E，连结AE，从而得到三个三角形：△ACE、△ADE、△BCD．其面积比为1∶3∶4．BACDE

当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．1349PPT课件白汀水方法2：如下图，先取AB中点D，再连结CD，再取CD上白汀水例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．

证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵S△AOB=S△ABC—S△BOC

S△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．DABCO10PPT课件白汀水例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其白汀水例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如上图，

把顶点A移到CB的延长线上的A′处，

△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点。DCBAA′解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．11PPT课件白汀水例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．白汀水例5如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．

解法1：连结BD，在△ABD中∵BE=3AE，∴S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．在△ABC中，∵CD=2AD，∴S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，

∵CD=2AD，∴S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．在△ABC中，∵BE=3AE∴S△ABC=4S△ACE

=4×3=12（平方厘米）．ABCDE1ABCDE112PPT课件白汀水例5如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2白汀水例6如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=BC/3，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？

解：连结BG，在△ABG中，

∴S△ADG+S△BDE+S△CFG=（2/9+2/9+1/9）S⊿ABC=5/9⊿ABC

∵BD=2AD，∴S⊿ADG=S⊿ABG，在⊿ABC中，ABCDGEF∵AG=2CG，∴S⊿ABG=2/3S⊿ABC，∴S⊿ADG=（1/3）×（2/3）S⊿ABC=（2/9）S⊿ABC。同理S⊿BDE=（2/9）S⊿ABC；S⊿CFG=（1/9）S⊿ABC

∴阴影部分面积=（1-5/9）S△ABC=4/9△ABC13PPT课件白汀水例6如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2C白汀水例7如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．

解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．BCDAEF4？14PPT课件白汀水例7如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果白汀水例8如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．

同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．CDBAHGEF1？S1S2

解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=S△FBD+S△DBC=2S1．连结HB，同理S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．15PPT课件白汀水例8如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，B白汀水例9如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．

解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE

ABCDEF？

又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴

S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．16PPT课件白汀水例9如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于白汀水再见17PPT课件白汀水再见17PPT课件白汀水小学奥数三角形的等积变形DABC相似等相18PPT课件白汀水小学奥数三角形的等积变形DABC相似等相1PPT课件白汀水三角形的等积变形一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系。这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）。同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）。这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．当三角形的底和高

的积保持不变，三角形的面积就不变。只有当三角形底和高的乘积

变化时，三角形的面积才发生变化。

三角形面积的计算公式：

三角形面积=底×高÷2

底高19PPT课件白汀水三角形的等积变形一个三角形在面积不改变的情况下，可以有白汀水①等底等高的两个三角形面积相等．它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．ABCDE20PPT课件白汀水①等底等高的两个三角形面积相等．它们所对的顶点白汀水例如在下图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．DABC21PPT课件白汀水例如在下图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是白汀水例如下图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．CABDHE22PPT课件白汀水例如下图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是B白汀水例1用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AB、AC中点E、F，并连结DE、DF．从而得到四个等积三角形，即△ADE、△BDE、△DCF、△ADF等积．ABCDEF方法1：如左图，将BC四等分，（BD=DE=EF=FC=BC/4）、连结AD、AE、AF，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC等积．BACDEF23PPT课件白汀水例1用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相白汀水方法3：如左图，取△ABC三条边的中点D、E、F

连结DE、DF、EF，则△BED、△EAF、△DFC、△EFD等积．BACDEF方法4：如右图，取点D，使BD=BC/3，连结AD、取点E、F，使AE=EF=FD，则△ABD、△CAE、△CEF、△CFD等积．BACDEF24PPT课件白汀水方法3：如左图，取△ABC三条边的中点D、E、F连白汀水例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．

方法2：如上右图，先取BC中点，再取AB的1/4分点，连结AD、DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．方法1：如上左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．BACEDBACDE13413425PPT课件白汀水例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形白汀水方法2：如下图，先取AB中点D，再连结CD，再取CD上的1/4分点E，连结AE，从而得到三个三角形：△ACE、△ADE、△BCD．其面积比为1∶3∶4．BACDE

当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．13426PPT课件白汀水方法2：如下图，先取AB中点D，再连结CD，再取CD上白汀水例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．

证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵S△AOB=S△ABC—S△BOC

S△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．DABCO27PPT课件白汀水例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其白汀水例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如上图，

把顶点A移到CB的延长线上的A′处，

△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点。DCBAA′解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．28PPT课件白汀水例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．白汀水例5如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．

解法1：连结BD，在△ABD中∵BE=3AE，∴S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．在△ABC中，∵CD=2AD，∴S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，

∵CD=2AD，∴S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．在△ABC中，∵BE=3AE∴S△ABC=4S△ACE

=4×3=12（平方厘米）．ABCDE1ABCDE129PPT课件白汀水例5如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2白汀水例6如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=BC/3，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？

解：连结BG，在△ABG中，

∴S△ADG+S△BDE+S△CFG=（2/9+2/9+1/9）S⊿ABC=5/9⊿ABC

∵BD=2AD，∴S⊿ADG=S⊿ABG，在⊿ABC中，ABCDGEF∵AG=2CG，∴S⊿ABG=2/3S⊿ABC，∴S⊿ADG=（1/3）×（2/3）S⊿ABC=（2/9）S⊿ABC。同理S⊿BDE=（2/9）S⊿ABC；S⊿CFG=（1/9）S⊿ABC

∴阴影部分面积=（1-5/9）S△ABC=4/9△ABC30PPT课件白汀水例6如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2C白汀水