黄冈中学高考数学二轮复习考点解析09：三角函数图象与性质考点透析

PAGE黄冈中学高考数学二轮复习考点解析09：三角函数图象与性质考点透析【考点聚焦】考点1：函数y=Asin(的图象与函数y=sinx图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；【考题形式】1。由参定形，由形定参。2。对称性、周期性、奇偶性、单调性【考点小测】1.（安徽卷）将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是A．B．C．D．解：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以，因此选C。2.（四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A）（B）（C）（D）解析：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.3．2007年广东5.A.周期为的奇函数；B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数4．（湖南卷）设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是A．2πB.πC.D.解析：设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴最小正周期为π，选B.5．（天津卷）函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（A）（A）（B）（C）（D）6（天津卷）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（C）(A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度(B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度7．（全国卷I）设函数。若是奇函数，则__________。解析：，则=为奇函数，∴φ=.8．（湖南卷）若是偶函数，则a=.解析：是偶函数，取a=－3，可得为偶函数。小测题号12345678答案CDABAC－3【典型考例】★例1★.（2006福建卷）已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.（=1\*ROMANI）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。 解：（I） 的最小正周期 由题意得 即 的单调增区间为 （II）方法一： 先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。 方法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。★例2★（2007全国）设函数图像的一条对称轴是直线。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；（Ⅲ）画出函数在区间上的图像。本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）的图像的对称轴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意得所以函数（Ⅲ）由x0y－1010故函数★例3★.（2006山东卷）已知函数f(x)=A(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求f(x);（2）计算f(1)+f(2)+…+f(2008).解：（=1\*ROMANI）的最大值为2，.又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，.过点，又.（=2\*ROMANII）解法一：，.又的周期为4，，解法二：又的周期为4，，★例4★（2006湖北）设函数，其中向量，，，。（Ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。【课后训练】一选择题.1．（全国卷I）函数的单调增区间为A．B．C．D．2.（全国II）若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝（A）3－cos2x（B）3－sin2x（C）3＋cos2x（D）3＋sin2x3.（浙江卷）函数y=sinx+sinx,x的值域是(A)［-,］(B)［-,］(C)［］(D)［］4.（天津卷）已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（）A．偶函数且它的图象关于点对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点对称5（2004年广东9）当时，函数的最小值是（）6.（北京卷）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（A）sin(α+β)>sinα+sinβ（B）sin(α+β)>cosα+cosβ（C）cos(α+β)<sinα＋sinβ（D）cos(α+β)<cosα＋cosβ7.（全国卷Ⅱ）已知函数y=tan在（-，）内是减函数，则（A）0<≤1（B）-1≤<0（C）≥1（D）≤-18．（湖北卷）若 （） A． B． C． D．9．（山东卷）函数，若，则的所有可能值为（）（A）1（B）（C）（D）10.（上海卷）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________。11.（湖北卷）函数的最小正周期与最大值的和为.12.（重庆卷）已知、均为锐角，且=题号123456789101112答案CCCDDBACB1<k<31二．解答题1.（广东卷）已知函数.(=1\*ROMANI)求的最小正周期；(=2\*ROMANII)求的的最大值和最小值；(=3\*ROMANIII)若，求的值.解：（Ⅰ）的最小正周期为;（Ⅱ）的最大值为和最小值；（Ⅲ）因为，即,即2．已知函数。（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。解：(1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。3.（上海春）已知函数.（1）若，求函数的值；（2）求函数的值域.解：（1），.（2），，函数的值域为.4.(重庆卷)设函数f(x)=cos2ωx+sinxcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.5．已知函数（Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.解：（Ⅰ）由=0即即对称中心的横坐标为（Ⅱ）由已知b2=ac即的值域为.综上所述，，值域为.说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。6．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)++（2sinx·cosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移