空间向量及其运算（重难点突破） 高二数学上学期对点训练（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量及其运算知识结构思维导图学法指导与考点梳理（一）、空间向量及其运算知识点1：空间向量的有关概念1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知识点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知识点2：空间向量的线性运算(1)、向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)、空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点3：共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知识点4：向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。知识点5：空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知识点6：利用数量积证明空间垂直关系当a⊥b时，a·b＝0.知识点七：夹角问题1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。知识点7：空间向量的长度定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；。2.利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。（二）、空间向量的基本定理知识点8：空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.知识点9：空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识点10：用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立（三）、空间向量及其运算的坐标表示知识点11、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.知识点12、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.知识点13、空间向量的坐标运算（1）空间两点的距离公式若，则①即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。②，或.知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。（2）空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.（3）向量加减法、数乘的坐标运算若，则①;②;③;（4）向量数量积的坐标运算若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则(1).(2).（6）空间向量平行和垂直的条件若，则①②规定：与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.重难点题型突破重难点1空间向量的概念及其线性运算例1．（1）、（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．空间向量不可以平行移动C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量【答案】D【分析】根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.故选：D.（2）、（2022·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，设，若，则=（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项.【详解】连接.故选：A（3）、（2022·全国·高二课时练习）（多选题）下列结论正确的是（

）A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C．若，是两个不共线的向量，且，且，则，，构成空间的一个基底D．若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面【答案】ABD【分析】根据空间向量基本定理即可判断出各个选项的正误．【详解】解：对于选项A：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项A正确，对于选项B：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，所以选项B正确，对于选项C：、且、，，，共面，不能构成基底，所以选项C错误，对于选项D：、、共起点，若、、、四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项D正确，故选：ABD．【变式训练1-1】、（2022·全国·高二专题练习）有下列命题：①若与平行，则与所在的直线平行；②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；③若、、两两共面，则、、一定也共面；④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据空间向量共线、共面及基本定理判断即可；【详解】解：①若向量，平行，则向量，所在的直线平行或重合，因此①不正确；②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，是共面向量，因此②不正确；③若三个向量，，两两共面，则向量，，不一定共面，可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，因此③不正确；④若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，但是直线可以平行平面，则与、共面，故④错误．故选：A【变式训练1-2】、（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】故选：A【变式训练1-3】、（2021·江苏·周市高级中学高二阶段练习）(多选题)下列说法正确的是（

）A．空间中任意两非零向量共面B．直线的方向向量是唯一确定的C．若，则A，B，C，D四点共面D．在四面体中，E，F为，中点，G为中点，则【答案】AC【分析】由空间中任意两个向量都共面判断A；由直线的方向向量定义判断B；由共面定理的推理判断C；根据向量的平行四边形法则判断D.【详解】对于A，空间中任意两个向量都共面，故A正确；对于B，空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量，故B错误；对于C，因为，所以，，因为，所以A，B，C，D四点共面，故C正确；对于D，因为E，F为，中点，G为中点，所以，，故D错误；故选：AC重难点2空间向量的基本定理例2．（1）、为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，因为，所以共面，不能构成基底，排除A，对于B，因为，所以共面，不能构成基底，排除B，对于D，，所以共面，不能构成基底，排除D，对于C，若共面，则，则共面，与为空间向量的一组基底相矛盾，故可以构成空间向量的一组基底，故选C（2）、（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）（多选题）已知是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（

）A．存在不全为零的实数，，，使得B．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有D．不存在另一个基底，使得【答案】BC【分析】根据空间向量基底概念分别判断即可．【详解】对于A，若存在不全为零的实数，，，使得，，，不能构成空间的一个基底，所以A错；对于B，因为，，构成空间的一个基底，所以对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，，，使得，所以B对；对于C，因为，，所以，，不能与，构成空间另一个基底；又因为设，，若，所以与，构成空间另一个基底；所以在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有，所以C对；对于D，存在，根据向量运算几何意义，表示以为顶点，以，，为相邻三边的长方体对角线，绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底，，，都满足，所以D错误．故选：BC【变式训练2-1】、（2022·全国·高二课时练习）（多选题）若向量{，，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．，，2 B．，，C．，， D．2，，【答案】ABD【分析】直接利用向量的基底和向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．【详解】解：对于A：由于向量{，，}构成空间的一个基底，且满足，故A正确；对于B：由于，故B正确；对于C：由于，故C错误；对于D：由于，故D正确．故选：ABD．【变式训练2-2】（2022·全国·高二课时练习）（多选题）若是空间的一个基底，则下列向量组也可以作为空间一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ACD【分析】结合空间向量基底的概念逐项分析判断即可得出结论.【详解】A选项：设，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作为一个基底；B选项：设，即，令，此时等式成立，即，，共面，故不可以作为一个基底；C选项：设，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作为一个基底；D选项：设，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作为一个基底.故选：ACD.重难点3空间向量的坐标与空间直角坐标系例3．（1）、（2022·全国·高二课时练习）化简算式：______．【答案】【分析】根据向量的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由题意得.故答案为：.（2）、（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）若向量，，则______．【答案】19【分析】根据空间向量的坐标运算，求得的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示求得答案.【详解】∵，，∴，∴,故答案为：19（3）、（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的数乘以及减法运算，即可求得答案.【详解】,故选:D．【变式训练3-1】、（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，=___________.【答案】【分析】利用空间向量的数量积的运算律及模长公式即求.【详解】∵空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，∴，∴.故答案为：.【变式训练3-2】、（2021·全国·高二课时练习）（多选题）已知向量，下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据条件可得出，然后可看出选项A的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B，C都正确；根据和即可判断选项D正确．【详解】，∴，A：，∴该等式错误；B：，，∴该等式正确；C：，∴该等式正确；D：，，∴，∴该等式正确．故选：BCD．【变式训练3-3】、（2022·全国·高三专题练习）已知，，则向量与的夹角为（

）A．90° B．60° C．30° D．0°【答案】A【分析】结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结果.【详解】因为，，所以，，设向量与的夹角为，则，因为，所以，故向量与的夹角为，故选：A.重难点4平行与垂直例4．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，若，则实数的值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】利用列方程，即可求解.【详解】因为向量，，且，所以，解得：.故选：C（2）、（2022·江苏省江浦高级中学高二期中）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由空间向量垂直的坐标表示计算．【详解】由题意，，，，因为，所以，．故选：A．【变式训练4-1】、（2022·全国·高二专题练习）已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为____．【答案】或##或【分析】利用空间向量垂直充要条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值【详解】，，，解得或．故答案为：或．【变式训练4-2】、（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知空间向量，，则下列选项正确的为（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【分析】对于A、B分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算；对于C、D分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得.【详解】向量，对于A.若，则，所以，故此选项错误；对于B.若，，则，故此选项正确；对于C.若，则，则，故此选项正确；对于D.若，则，所以，故此选项正确；故答案为：BCD例5．（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）已知空间中三点的坐标分别为，，，且，．(1)求向量与夹角的余弦值；(2)若与互相垂直，求实数的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；（2）表示出与的坐标，根据与互相垂直可得关于k的方程，即可求得答案.（1），，所以．（2）因为，，且与互相垂直，所以，解得．例6．（2022·全国·高二专题练习）已知：，，，求：(1)；(2)与所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，求出，由求出，得出答案；（2）利用空间向量的坐标运算和夹角公式可得出答案.(1)，，解得，故又因为，所以，即，解得，故(2)由(1)可得设向量与所成的角为，，则．

课堂定时训练（45分钟）1、（2022·全国·高二单元测试）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（

）A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点不共面D．O，A，B，C四点中任意三点不共线【答案】B【分析】根据基底的含义，非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，即可判断【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，所以A、C、D选项说法正确，B错误．故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）如图，设，，，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量是线性运算法则，计算即可得答案.【详解】由题意得=.故选：A3．（2022·全国·高二）设，向量，且，则（