江苏省东台市第四联盟2022-2023学年九年级上学期第一次质量检测数学试题（含答案）

第21页/共21页江苏省东台市第四联盟2022-2023学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷一、选择题（每题3分，计24分）1.下列方程中，属于一元二次方程是（）A.x2＋3y＝1 B.x2＋3x＝1 C.ax2＋bx＋c＝2 D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】解：A、是二元二次方程，故本选项不合题意；B、是一元二次方程，故本选项符合题意；C、当a0时，是一元二次方程，故本选项不合题意；D、是分式方程，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2.如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝48°，则圆周角∠ACB的度数是（）A.48° B.24° C.36° D.96°【答案】B【解析】【分析】根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”直接求解．【详解】解：∵∠AOB＝48°，∴∠ACB＝＝24°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，明确“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．3.已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（）A.点A在圆上 B.点A在圆外 C.点A在圆内 D.不确定【答案】B【解析】【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，OA小于半径则在圆内，OA等于半径则在圆上，OA大于半径则在圆外．【详解】解：∵⊙O的半径为3，，即A与点O的距离大于圆的半径，所以点A与⊙O外．故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．4.关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定【答案】A【解析】【分析】先计算出，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：根据题意得：，所以有两个不相等的实数根．故选A．【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系．熟练掌握判别式大于0，一元二次方程有两个不相等的实数根；判别式等于0，一元二次方程有两个相等的实数根；判别式小于0，一元二次方程没有实数根，是解题的关键．5.如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（）A.3.1 B.4.2 C.5.3 D.6.4【答案】B【解析】【分析】取AB的中点O，分别连接OC、OB，由垂径定理及勾股定理可求得OC的长，根据垂线段小于斜线段，则OP的值介于OC与OB之间，由此可求得结果．【详解】如图，取AB的中点O，分别连接OC、OB，则OC⊥AB，且在Rt△OBC中，OB=5，由勾股定理得：点P线段BC上，则，即由对称性，当点P在线段AC上时，∴当点P在弦AB上时，∵∴选项B符合题意故选：B【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段小于斜线段等知识，垂线段小于斜线段是问题的关键．6已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.平行【答案】A【解析】【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．【详解】解：∵，∴，，∵的半径是一元二次方程的一个根，∴，∵，∴，∴直线l与的位置关系是相交，故选：A．【点睛】本题考查的解一元二次方程以及直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定直线与圆的位置关系是解题的关键．7.2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（）A.x（1＋x）＝256 B.x＋（1＋x）2＝256C.x＋x（1＋x）＝256 D.1＋x＋x（1＋x）＝256【答案】D【解析】【分析】分别计算出每轮的人数，然后求和即可得出方程．【详解】解：第一轮传染x个人，一轮后的人数为（1+x）人；第二轮的人数为x(1+x)，两轮的总人数为：1+x+x(1+x)=256，故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．8.如图，是的直径，若，则长等于（）A.4 B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆周角定理得出，，求出，根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练应用圆周角定理是解此题的关键．二、填空题（每题3分，计24分）9.已知是一元二次方程的两根，则=_____．【答案】4【解析】【分析】直接根据两根之和的公式可得答案．【详解】解：∵是一元二次方程的两根，∴．故答案为：4．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．10直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是_____．【答案】或6【解析】【分析】分为两种情况，①当斜边是12时，②当两直角边是5和12时，求出即可．【详解】解：分为两种情况：①当斜边是12时，直角三角形的外接圆的半径是；②当两直角边是5和12时，由勾股定理得：斜边为，直角三角形的外接圆的半径是；故答案为：或6．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆的应用，注意：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半．11.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是_______．【答案】120°【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补，得∠A=180°-∠BCD=60°，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠BOD=2∠A=120°.【详解】∵∠BCD＝120°，∴∠A=180°-∠BCD=60°，∴∠BOD=2∠A=120°.故答案为120°.【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质.12.已知x=m是一元二次方程x2−x−1=0的一个根，则代数式m2−m+2021的值为____________．【答案】2022【解析】【分析】将x=m代入原方程即可求m2-m的值，然后整体代入代数式求解即可．【详解】解：将x=m代入方程x2-x-1=0，得m2-m-1=0，即m2-m=1，∴m2−m+2021=1+2021=2022，故答案为：2022．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把m2-m当成一个整体，利用了整体的思想．13.如图，切于点，延长线交于点，连接，若，则的度数为_____．【答案】##25度【解析】【分析】连接，先根据切线的性质求出，再根据，∠AOB＝∠C+∠OBC即可解决问题．【详解】解：如图，连接．∵是的切线，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质等知识。解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．14.关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意，得，解得，即k的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．15.如图，的半径为1，是的一条弦，且，则弦AB所对的圆周角的度数为_____．【答案】或【解析】【分析】连接，，判定是等边三角形，再根据圆周角定理可得，根据圆内接四边形的性质，即可得到答案．【详解】解：如图：连接，，在优弧AB上取一点C，在劣弧AB上取一点D，，的半径为1，，是等边三角形，，∴，，∴弦所对的圆周角的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．16.如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，则线段DE的最小值为_____．【答案】##【解析】【分析】连接，取的中点，连接，根据圆周角的性质可知，点在正方形内以为直径的上，可推出，由勾股定理可得，再结合三角形三边关系得出当且仅当三点共线时，线段取得最小值．【详解】解：连接，∵是的直径，∴，∴，∴点在以为直径的上，连接，∵正方形的边长是点是边的中点，∴，∵是的中点，∴∴在中，，∵，∴当且仅当三点共线时，∴线段的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点E的运动轨迹．三、简答题（本大题11题，17-21题每题8分，22-26题每题10分，27题12分）17.解下列方程：（1）；（2）．（配方法）【答案】（1），（2），【解析】【分析】(1)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；(2)利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．【小问1详解】解：，，或，解得，；【小问2详解】解：，，，，，或，解得，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18.如图，在中，，，求的度数．【答案】50°【解析】【分析】利用得到，再根据平行线的性质得到，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．【详解】解：∵，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了平行线的性质．19.关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．【答案】另一个根是﹣4，m的值为10．【解析】【详解】试题分析：已知x=是方程的一个根，把它代入方程即可求出m的值，再由根与系数的关系来求方程的另一根即可．试题解析：设方程的另一根为t．依题意得：3×（）2+m﹣8=0，解得m=10．又t=﹣，所以t=﹣4．综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．考点：根与系数的关系．20.如图，用尺规作出△ABC的外接圆⊙O，保留作图痕迹，不写作法．【答案】见解析.【解析】【分析】分别作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点O，连结OB，然后以点O为圆心，OB为半径作圆即可．【详解】如图，⊙O为所作．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形外心．21.如图,在⊙O中，弧AC=BC，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE．【答案】证明见解析【解析】【分析】连接OC．只要证明△COD≌△COE，推出OD=OE即可解决问题；【详解】解：连接OC，∵，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．【点睛】本题考查是圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的性质和判定．熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．22.关于x的一元二次方程x2-4x+n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．【答案】（1）n＜4；（2）n=0，x1=0，x2=4【解析】【分析】（1）先根据方程有两个不相等的实数根得出Δ=（-4）2-4•n＞0，解之可得；（2）在以上所求m的范围内取一值，如n=0，再解方程即可得．【小问1详解】解：∵，，，∴Δ=（-4）2-4•n＞0，解得n＜4；【小问2详解】由（1）知，n＜4，则n=0符合题意．当n=0时，x2-4x=0．整理，得x（x-4）=0．解得x1=0，x2=4（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．23.已知的直径，是的弦．（1）如图1，若，垂足为M，，求的长；（2）如图2，若平分，求的长．【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）连接，如图1，先计算出，再根据出径定理得到，接着利用勾股定理计算出，从而得到的长；（2）连接，由圆周角定理得出，由角平分线的定义得出，根据勾股定理可求出答案．【小问1详解】解：连接OC，如图1，∵，，∴，∵，∴，在中，，∴；【小问2详解】如图2，连接，∵是的直径，∴，∵平分，∴，∴，∴，设，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．24.某品牌服装平均每天可以售出件，每件盈利元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出件，如果需要盈利元，那么每件降价多少元？【答案】每件降价元或元【解析】【分析】设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，依题意得：，整理得：，解得：，．答：每件降价元或元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25.如图，在中，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点．（1）求证：是切线；（2）若求的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）要证是的切线，只要连接，再证即可．（2）过点作，根据角平分线的性质可知，由勾股定理得到的长，再通过证明，根据相似三角形的性质得出的长．【小问1详解】连接；∵是的平分线，．，．．．∵．．∵是的半径，∴是的切线．【小问2详解】过点作，∵是的平分线，．∴,在中，，由勾股定理得：，∵，∴．∴．∴．∴．【点睛】本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到的长，及相似三角形的性质．26.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；（2）已知关于的二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值【答案】（1）是，理由见解析（2）8或6【解析】【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况．【小问1详解】解：解方程得：或，∵，∴是“邻根方程”；【小问2详解】由方程解得：或，由于关于x的二次方程（m是常数）是“邻根方程”，则或，解得或6．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．27.问题情境：如图1，P是外的一点，直线