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2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数和复数,则为A. B. C. D.2.已知复数满足,则()A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为,若,则等差数列公差()A.2 B. C.3 D.44.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为的长方形,侧视图是边长为2的等边三角形,俯视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.5.已知集合,,则()A. B. C. D.6.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取得最大值时,点恰好在以为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A. B. C. D.8.已知函数是上的减函数,当最小时,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.9.已知底面为边长为的正方形,侧棱长为的直四棱柱中,是上底面上的动点.给出以下四个结论中,正确的个数是()①与点距离为的点形成一条曲线,则该曲线的长度是;②若面,则与面所成角的正切值取值范围是;③若,则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.A. B. C. D.10.如图,已知平面,,、是直线上的两点,、是平面内的两点,且,,,,.是平面上的一动点,且直线,与平面所成角相等,则二面角的余弦值的最小值是()A. B. C. D.11.设是虚数单位,则“复数为纯虚数”是“”的()A.充要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件12.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.对于下列说法:①越小,则国民分配越公平;②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.其中正确的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在四面体中,与都是边长为2的等边三角形,且平面平面,则该四面体外接球的体积为_______.14.已知集合,则_______.15.如图,四面体的一条棱长为,其余棱长均为1,记四面体的体积为,则函数的单调增区间是____;最大值为____.16.已知函数,则________;满足的的取值范围为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中.(1)函数在处的切线与直线垂直,求实数的值;(2)若函数在定义域上有两个极值点,且.①求实数的取值范围;②求证:.18.(12分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.19.(12分)在创建“全国文明卫生城”过程中,运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次),通过随机抽样,得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示:.组别频数(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求;(2)在(1)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:①得分不低于的可以获赠次随机话费,得分低于的可以获赠次随机话费;②每次获赠的随机话费和对应的概率为:赠送话费的金额(单位:元)概率现有市民甲参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.附:参考数据与公式:,若,则,,20.(12分)已知函数.(1)若,求函数的单调区间;(2)若恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在的范围内,规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.(1)求的值;(2)填写下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?文科生理科生合计获奖6不获奖合计400(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为,求的分布列及数学期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)如图,底面ABCD是边长为2的菱形,,平面ABCD,,,BE与平面ABCD所成的角为.(1)求证:平面平面BDE;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.【详解】z1z2=(cos23°+isin23°)•(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案为C.【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键,复数问题高考必考,常见考点有:点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.2.A【解析】
根据复数的运算法则,可得,然后利用复数模的概念,可得结果.【详解】由题可知:由,所以所以故选:A【点睛】本题主要考查复数的运算,考验计算,属基础题.3.C【解析】
根据等差数列的求和公式即可得出.【详解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4.B【解析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱,由此可求得体积.【详解】由题意原几何体是正三棱柱,.故选:B.【点睛】本题考查三视图,考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.5.D【解析】
先求出集合B,再与集合A求交集即可.【详解】由已知,,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查集合的交集运算,考查学生的基本运算能力,是一道容易题.6.B【解析】
设,利用两点间的距离公式求出的表达式,结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标,结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设,因为是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,所以,则,当时,,当时,,当且仅当时取等号,此时,,点在以为焦点的椭圆上,,由椭圆的定义得,所以椭圆的离心率,故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.7.C【解析】
将圆锥的体积用两种方式表达,即,解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,则,又,故,所以,.故选:C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用,考查学生的运算求解能力、创新能力.8.A【解析】
首先根据为上的减函数,列出不等式组,求得,所以当最小时,,之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题,画出图形,数形结合得到结果.【详解】由于为上的减函数,则有,可得,所以当最小时,,函数恰有两个零点等价于方程有两个实根,等价于函数与的图像有两个交点.画出函数的简图如下,而函数恒过定点,数形结合可得的取值范围为.故选:A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围,根据函数零点个数求参数的取值范围,数形结合思想的应用,属于中档题目.9.C【解析】
①与点距离为的点形成以为圆心,半径为的圆弧,利用弧长公式,可得结论;②当在(或时,与面所成角(或的正切值为最小,当在时,与面所成角的正切值为最大,可得正切值取值范围是;③设,,,则,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影长,即可求出六个面上的正投影长度之和.【详解】如图:①错误,因为,与点距离为的点形成以为圆心,半径为的圆弧,长度为;②正确,因为面面,所以点必须在面对角线上运动,当在(或)时,与面所成角(或)的正切值为最小(为下底面面对角线的交点),当在时,与面所成角的正切值为最大,所以正切值取值范围是;③正确,设,则,即,在前后、左右、上下面上的正投影长分别为,,,所以六个面上的正投影长度之,当且仅当在时取等号.故选:.【点睛】本题以命题的真假判断为载体,考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点,综合性强,属于难题.10.B【解析】
为所求的二面角的平面角,由得出,求出在内的轨迹,根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值【详解】,,,,同理为直线与平面所成的角,为直线与平面所成的角,又,在平面内,以为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系则,设,整理可得:在内的轨迹为为圆心,以为半径的上半圆平面平面,,为二面角的平面角,当与圆相切时,最大,取得最小值此时故选【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依据题目选择方法求出结果.11.D【解析】
结合纯虚数的概念,可得,再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数为纯虚数,则,所以,若,不妨设,此时复数,不是纯虚数,所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选:D【点睛】本题考查充分条件和必要条件,考查了纯虚数的概念,理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键,属于基础题.12.A【解析】
对于①,根据基尼系数公式,可得基尼系数越小,不平等区域的面积越小,国民分配越公平,所以①正确.对于②,根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线,由图得,均有,可得,所以②错误.对于③,因为,所以,所以③错误.对于④,因为,所以,所以④正确.故选A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先确定球心的位置,结合勾股定理可求球的半径,进而可得球的面积.【详解】取的外心为,设为球心,连接,则平面,取的中点,连接,,过做于点,易知四边形为矩形,连接,,设,.连接,则,,三点共线,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题,外接球的半径的求解一般有两个思路:一是确定球心位置,利用勾股定理求解半径;二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.14.【解析】
由可得集合是奇数集,由此可以得出结果.【详解】解:因为所以集合中的元素为奇数,所以.【点睛】本题考查了集合的交集,解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键.15.(或写成)【解析】试题分析:设,取中点则,因此,所以,因为在单调递增,最大值为所以单调增区间是,最大值为考点:函数最值,函数单调区间16.【解析】
首先由分段函数的解析式代入求值即可得到,分和两种情况讨论可得;【详解】解:因为,所以,∵,∴当时,满足题意,∴;当时,由,解得.综合可知:满足的的取值范围为.故答案为:;.【点睛】本题考查分段函数的性质的应用,分类讨论思想,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)①;②详见解析.【解析】
(1)由函数在处的切线与直线垂直,即可得,对其求导并表示,代入上述方程即可解得答案;(2)①已知要求等价于在上有两个根,且,即在上有两个不相等的根,由二次函数的图象与性质构建不等式组,解得答案,最后分析此时单调性推及极值说明即可;②由①可知,是方程的两个不等的实根,由韦达定理可表达根与系数的关系,进而用含的式子表示,令,对求导分析单调性,即可知道存在常数使在上单调递减,在上单调递增,进而求最值证明不等式成立.【详解】解:(1)依题意,,,故,所以,据题意可知,,解得.所以实数的值为.(2)①因为函数在定义域上有两个极值点,且,所以在上有两个根,且,即在上有两个不相等的根.所以解得.当时,若或,,,函数在和上单调递增;若,,,函数在上单调递减,故函数在上有两个极值点,且.所以,实数的取值范围是.②由①可知,是方程的两个不等的实根,所以其中.故,令,其中.故,令,,在上单调递增.由于,,所以存在常数,使得,即,,且当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增,所以当时,,又,,所以,即,故得证.【点睛】本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题,还考查了利用导数证明不等式成立,属于难题.18.(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可;(2)由(1)可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【详解】解:(1)因为,所以又,故,所以,所以(2)由(1)得,,,所以,所以,因为且,即,解得,因为,所以,所以,所以,所以【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.19.(1)(2)详见解析【解析】
由题意,根据平均数公式求得,再根据,参照数据求解.由题意得,获赠话费的可能取值为,求得相应的概率,列出分布列求期望.【详解】由题意得综上,由题意得,获赠话费的可能取值为,,的分布列为:【点睛】本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20.(1)增区间为,减区间为;(2).【解析】
(1)将代入函数的解析式,利用导数可得出函数的单调区间;(2)求函数的导数,分类讨论的范围,利用导数分析函数的单调性,求出函数的最值可判断是否恒成立,可得实数的取值范围.【详解】(1)当时,,则,当时,,则,此时,函数为减函数;当时,,则,此时,函数为增函数.所以,函数的增区间为,减区间为;(2),则,.①当时,即当时,,由,得,此时,函数为增函数;由,得,此时,函数为减函数.则,不合乎题意;②当时,即时,.不妨设,其中,令,则或.(i)当时,,当时,,此时,函数为增函数;当时,,此时,函数为减函数;当时,,此时,函数为增函数.此时,而,构造函数,,则,所以,函数在区间上单调递增,则,即当时,,所以,.,符合题意;②当时,,函数在上为增函数,,符合题意;③当时,同理可得函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,此时,则,解得.综上所述,实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,正确求导和分类讨论是关键,属于难题.21.(1),,.(2)填表见解析;在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关(3)详见解析【解析】
(1)根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列,即可得解;(2)由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表,再用的计算公式运算即可;(3)获奖的概率为,随机变量,再根据二项分布即可求出其分布列与期望.
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