留学生-第六章数理统计学是一门关于数据收集、分析和推

第六章数理统计基础§6.1数理统计中的几个概§6.2数理统计中常用的三个分§6.1数理统计中的几个概 的集合𝑿𝟏,𝑿𝟐,⋯,𝑿𝒏 ,其中𝒏为样𝑿𝟏,𝑿𝟐,⋯,𝑿𝒏是相互独立的随 量，则称𝑿𝟏,𝑿𝟐,⋯,𝑿𝒏 由定义，若𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝒏为一组样本，且它们的分布函数都是𝑭,则随量(𝑿𝟏,𝑿𝟐,⋯,𝑿𝒏)的联合分布函数为 𝒙𝟏,𝒙𝟐,⋯,

=又若𝑿具有概率密度𝒇，则(𝑿𝟏𝑿𝟐

𝒙𝟏,𝒙𝟐,⋯,

=统计量：关于样本不含任何未知参数的函(设𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝒏是来自总体𝑿的一个样本，𝒈(𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝒏)𝒈(𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝒏)思考：设(𝑿𝟏,𝑿𝟐,𝑿𝟑)为取自总体𝑿~𝑵(𝝁,𝝈𝟐)的样本,其中𝝁已知，𝝈未 𝑿𝟏+𝑿𝟐+ 3.𝐦𝐚𝐱{𝑿𝟏,𝑿𝟐, 𝟏σ𝟑

−𝑿

几个常用的统计量：设(𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝒏为取自总体𝑿=𝟏 𝑿

𝑺𝟐 𝒏−

ഥ

𝟐 𝒏−

𝒊𝟐−𝒏

−

(𝒌=𝟏,𝟐,⋯ 𝑩𝒌=𝒏 𝑿𝒊− ，(𝒌=𝟐,𝟑,⋯注：将样本观测值代入统计量即可得对应的样本均值、样本方差、样本𝒌矩§6.2数理统计中常用的三个分（一）𝝌𝟐分布（卡方分布）[Helmert&Pearson分别 𝝌𝟐=𝑿𝟐+𝑿𝟐+⋯+ 服从自由度为𝒏的𝝌𝟐分布，记为 𝒏𝝌𝟐分布（卡方分布）𝝌𝟐分布的可加性：设

𝒏𝟏，𝝌𝟐~𝝌𝟐𝒏𝟐，并且𝝌𝟐 𝝌𝟐相互独立，则𝝌𝟐+𝝌𝟐~𝝌𝟐𝒏𝟏+𝒏𝟐 𝝌𝟐分布的数学期望和方差：若𝝌𝟐~𝝌𝟐(𝒏)，则𝑬 = 𝑫 =𝝌𝟐分布的上分位点对于给定的正数𝟎<𝜶<𝟏，满足𝑷𝝌𝟐> =

𝒇𝒚𝒅𝒚=的点𝝌𝟐(𝒏)就是𝝌𝟐(𝒏)分布的上𝜶分位点【可查附表4，P215】例.设𝑿~𝑵(𝝁𝝈𝟐)，且𝝁𝝈𝟐都已知，𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝒏是取自总体𝑿求𝝌𝟐=

𝟏σ𝒏

𝑿𝒊𝝁𝟐𝒏𝟓，若𝒂𝑿𝟏𝑿𝟐𝟐𝐛𝟐𝐗𝟑𝐗𝟒𝐗𝟓𝟐~𝝌𝟐(𝒌)，求𝒂𝒃（二）𝒕分布（学生氏分布、小样本分布）[W.Gosset于1908年提出设𝑿~𝑵𝟎,𝟏,𝒀~𝜒𝟐(𝒏),且𝑿,𝒀相互独立，则称 𝒕

服从自由度为𝒏的𝒕分布，记为𝒕~𝒕𝒏.𝑺𝝈𝒕分布的上分位点对于给定的正数𝟎𝜶<𝟏，满足条𝑷𝒕> = 𝒉𝒕𝒅𝒕=的点𝒕𝜶(𝒏)就是𝒕分布的上𝜶分位点【可查附表3，P214】𝒕分布的𝒕分布是对称分布，其均值（期望）为0方差趋于1，即随着𝒏的增大，𝒕分布近于标准根据对𝒕𝟏−𝜶𝒏=−𝒕𝜶𝒏例.设𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝟔是取自总体𝑿~𝑵(𝟎,𝝈𝟐)的一组样本，求𝒂𝒂(𝑿𝟏+𝑿𝟐+𝑿𝟐+𝑿𝟐+𝑿𝟐+设𝑼~𝝌𝟐(𝒏𝟏),𝑽~𝜒𝟐(𝒏𝟐),且𝑼,𝑽相互独立，则称 𝑭服从自由度为(𝒏𝟏,𝒏𝟐)的𝑭分布，记为𝑭~𝑭𝒏𝟏𝒏𝟐.𝑭分布的上分位点对于给定的正数𝟎𝜶<𝟏，满足条𝑷𝑭>𝑭𝜶(𝒏𝟏, = 𝝍𝒚𝒅𝒚=,𝟏~𝑭𝒏,

𝒏,

例.设𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝟓是取自总体𝑿~𝑵(𝟎,𝝈𝟐)的一组样本，求𝒂𝒂(𝑿𝟐+𝑭 𝑿𝟐+𝑿𝟐 正态总体的样本均值与样本方差的分设总体𝑿(不管服从什么分布，只要均值和方差存在)的均值为𝝁,方差为𝝈𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝒏是来自𝑿的一组样本ഥ和𝑺𝟐是样本均值和样本方差，则𝑬而

= 𝑫𝑬 =

定理一：设𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝒏是来自正态总体𝑿~𝐍(𝝁𝝈𝟐)ഥ是 ഥ𝑺𝟐分别是样本均值和样本方

𝒏−𝟏

𝒏−𝟏

与𝑺𝟐相互独ഥഥ−

~𝒕𝒏−𝟏定理四：设𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝒏𝟏与𝒀𝟏𝒀𝟐𝒀𝒏𝟐𝑵(𝝁𝟏𝝈𝟐)和𝑵(𝝁,𝝈𝟐)的样本，且ഥ

𝑿和ഥ

𝒀

σ𝒏𝟏 𝑿𝒊−ഥ𝟐和 𝒏𝟏

σ𝒏𝟐

𝒀−ഥ𝟐𝒏𝟐 𝟏 𝟐~𝑭𝒏𝟏−𝟏,𝒏𝟐−𝟏