选修4-2矩阵与变换习题

第16页共16页第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。一、二阶矩阵1.矩阵的概念—2—3—yx23OP(2,3)①eq\o(OP,\d\fo1()\s\up5(→))(2,3)，将eq\o(OP,\d\fo1()\s\up5(→))的坐标排成一列，并简记为eq\b\bc\—2—3—yx23OP(2,3)eq\b\bc\[(\a\al\vs2(2,3))②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛eq\b\beq\b\bc\[(\a\al\vs4(8090,8688))甲8090乙868823m3－24简记为③简记为概念一：象eq\b\bc\[(\a\al\vs2(2,3))的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示，横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。③行矩阵：[a11,a12]（仅有一行）④列矩阵：eq\b\bc\[(\a\al\vs2(a11,a21))（仅有一列）⑤向量＝（x,y），平面上的点P（x,y）都可以看成行矩阵或列矩阵，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量的形式。练习1：1.已知,，若A=B，试求2.设，，若A=B，求x,y,m,n的值。概念二：由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。①零矩阵：所有元素均为0，即，记为0。②二阶单位矩阵：，记为E2.二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=，与向量的乘积为，即＝＝练习2：1.（1）＝（2）＝2.=，求三、二阶矩阵与线性变换1.旋转变换问题1:P（x,y）绕原点逆时针旋转180o得到P’(x’,y’),称P’为P在此旋转变换作用下的象。其结果为，也可以表示为，即＝＝怎么算出来的？问题2.P（x,y）绕原点逆时针旋转30o得到P’(x’,y’),试完成以下任务①写出象P’；②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.3030o问题3.把问题2中的旋转30o改为旋转角，其结果又如何？2.反射变换定义：把平面上任意一点P对应到它关于直线的对称点P’的线性变换叫做关于直线的反射。研究：P（x,y）关于x轴的反射变换下的象P’(x’,y’)的坐标公式与二阶矩阵。3.伸缩变换定义：将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，（、均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。试分别研究以下问题：①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.②.将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.4.投影变换定义：将平面上每个点P对应到它在直线上的投影P’（即垂足），这个变换称为关于直线的投影变换。研究：P（x,y）在x轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。5.切变变换定义：将每一点P（x,y）沿着与x轴平行的方向平移个单位，称为平行于x轴的切变变换。将每一点P（x,y）沿着与y轴平行的方向平移个单位，称为平行于y轴的切变变换。研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。练习：P101.2.3.4四、简单应用1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。练习：P131.2.3.4.5【第一讲.作业】1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为7.设，，且A=B.则x＝8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为10.已知点A（2，－1），B（－2，3），则向量在矩阵对应的线性变换下得到的向量坐标为11.向量在矩阵的作用下变为与向量平行的单位向量，则＝12.已知，＝，＝，设，，①求，；13.已知，＝，＝，若与的夹角为135o，求x.14.一种线性变换对应的矩阵为。①若点A在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A的坐标；②解释该线性变换的几何意义。15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为。求①点A（1/5,3）在该变换作用下的像；②圆上任意一点在该变换作用下的像。答案：1.2.3.4.5.6.7.－18.9.（0，5）10.（2，8）11.，12.、13.ｘ＝2/314.(5,y)15.,第二讲线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法数乘平面向量与平面向量的加法运算1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则2.平面向量的加法：设，，则性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：；②分配律：【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。二、直线在线性变换下的图形研究分别在以下变换下的像所形成的图形。①伸缩变换：②旋转变换：③切变变换：④特别地：直线x=a关于x轴的投影变换？性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成.（证明见课本P19）三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。恒等变换：②旋转变换：③切变变换：④反射变换：⑤投影变换：【练习：P27】【应用】试研究函数在旋转变换作用下得到的新曲线的方程。四、复合变换与二阶矩阵的乘法1.研究任意向量先在旋转变换：作用，再经过切变变换：作用的向量2.二阶矩阵的乘积定义：设矩阵A＝，B＝，则A与B的乘积AB＝＝【应用】1.计算＝2.A＝，B＝，求AB3.求在经过切变变换：A=，及切变变换：B=两次变换后的像。4.设压缩变换：A＝，旋转变换：B＝，将两个变换进行复合，①求向量在复合变换下的像；②求在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图形？5.试研究椭圆①伸缩变换：②旋转变换：；③切变变换：；④反射变换：；⑤投影变换：五种变换作用下的新曲线方程。进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。【练习：P35】【第二讲.作业】A.B.C.D.1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（）A.反射变换B.投影变换C.切变变换D.伸缩变换2.在切变变换：作用下，直线y=2x-1变为3.在A＝作用下，直线变为y=-2x-3,则直线为4.在对应的线性边变换作用下，椭圆变为5.已知平面内矩形区域为（0≤x1≤1,0≤x2≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为6.将椭圆绕原点顺时针旋转45ｏ后得到新的椭圆方程为7.在对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1变为8.计算：①＝②＝③＝9.向量经过和两次变换后得到的向量为10.向量先逆时针旋转45o，再顺时针旋转15o得到的向量为11.函数的图像经过的伸缩变换，和的反射变换后的函数是12.椭圆先后经过反射变换和伸缩变换后得到的曲线方程为13.已知Ｍ＝，且ＭＮ＝，求矩阵Ｎ。14.分别求出在、、对应的线性边变换作用下，椭圆变换后的方程，并作出图形。15.函数先后经过怎样的变换可以得到？写出相应的矩阵。答案：1.Ａ2.y=-13.3x-y+3=04.y=-x5.6.7.y=x（－2≤x≤0）8.、、9.10.11.12.13.14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、15.＝第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵矩阵乘法的性质1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。结论：2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。3.单位矩阵的性质【应用】1.设Ａ＝，求Ａ82.【练习：P41】二、逆变换与逆矩阵1.逆变换：设是一个线性变换，如果存在一个线性变换，使得＝＝，（是恒等变换）则称变换可逆，其中是的逆变换。2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。符号、记法：，读作Ａ的逆。【应用】1.试寻找Ｒ30o的逆变换。【应用】1.A＝，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵。2.A＝，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵。由以上两题，总结一般矩阵A＝可逆的必要条件。三、逆矩阵的性质1.二阶矩阵可逆的唯一性。2.设二阶矩阵A、B均可逆，则也可逆，且【练习：P50】【第三讲.作业】1.已知非零二阶矩阵A、B、C，下列结论正确的是（）A.AB=BAB.(AB)C=A(BC)C.若AC=BC则A=BD.若CA=CB则A=B2.下列变换不存在逆变换的是（）A.沿x轴方向，向y轴作投影变换。B.变换。C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。D.以y轴为反射变换3.下列矩阵不存在逆矩阵的是（）A.B.C.D.4.设A,B可逆，下列式子不正确的是（）A.B.C.D.5.，则Ｎ2＝6.＝7.＝8.设，则向量经过先Ａ再Ｂ的变换后的向量为经过先Ｂ再A的变换后的向量为9.关于x轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是10.变换将（3，2）变成（1，0），设的逆变换为－1，则－1将（1，0）变成点11.矩阵的逆矩阵为12.设：＝，点（－2，3）在－1的作用下的点的坐标为13.A＝，则=14.△ABC的顶点A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果将三角形先后经过和两次变换变成△A‘B’C’,求△A‘B’C’的面积。15.已知A＝，B＝，求圆在变换作用下的图形。16.已知，试分别计算：,,,答案：1.B2.A3.D4.A5.6.7.8.、9.10.（3，2）11.12.（1，3）13.14.115.16.、、、第四讲二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组一.二阶行列式与逆矩阵【概念】如果矩阵A＝是可逆的，则0.其中称为二阶行列式，记作，即＝，也称为行列式的展开式。符号记为：detA或|A|【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A＝可逆，当且仅当detA=0.此时（请同学一起证明此定理）【应用】1.计算二阶行列式：①②2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。①A＝②B＝【练习：P55】二、二元一次方程组的矩阵形式1.二元一次方程组的矩阵形式一般的，方程组可写成矩阵形式为：2.二元一次方程组的线性变换意义设变换：，向量、，则方程组，意即：＝三、逆矩阵与二元一次方程组1.研究方程组：的矩阵形式与逆矩阵的关系。【定理】如果关于x,y的二元一次方程组的系数矩阵A＝是可逆的，则该方程组有唯一解：＝【推论】关于x,y的二元一次方程组（a,b,c,d,均不为0），有非零解＝0【应用】1.用逆矩阵解二元一次方程组【思考】课本60页思考的系数矩阵A＝不可逆，方程组的解如何？【练习：P61】【应用】1.为何值时，二元一次方程组＝有非零解？三、三阶矩阵与三阶行列式1.三阶矩阵的形式2.三阶行列式的运算【第四讲.作业】1.矩阵A＝，则|A|=2.矩阵A＝，若A是不可逆的，则x=3.的逆矩阵为4.A＝，B＝，则＝5.A＝，，若A不可逆，则＝6.若关于x,y的二元一次方程组有非零解，则m＝7.设二元一次方程组＝没有非零解，则m所有值的集合为8.向量在旋转变换的作用下变为，则向量＝9.若＝，则x+y＝10.A＝，B＝，向量满足＝，则向量＝11.用逆矩阵的方法解方程组：①②12.求下列未知的二阶矩阵X：①②13.当为何值时，二元一次方程组＝有非零解？14.设A＝，矩阵B满足＝，求矩阵B.答案：1.22.3.4.5.6.-33/47.8.9.－310.11.x=k,y=3k12.、13.1或414.第五讲变换的不变量与特征向量一.特征值与特征向量【探究】计算下列结果：＝＝以上的计算结果与，的关系是怎样的？计算下列结果：＝＝以上的计算结果与，的关系是怎样的？【定义】设矩阵A＝，如果存在实数及非零向量，使得，则称是矩阵A的一个特征值。是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。（结合探究1、2说明，特征值与特征向量）【定理1】如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。其几何意义是什么？【定理2】属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。【应用】从几何角度解释旋转变换的特征值与特征向量。二、特征值与特征向量的计算1.设A＝，求A的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。【总结规律】一般的，矩阵A＝的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。【应用】求A＝的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。【练习：P70】【第五讲.作业】1.设反射变换对应的矩阵为A，则下列不是A的特征向量的是（）A.B.C.D.2.下列说法错误的是（）A.矩阵A的一个特征向量只能属于A的一个特征值B.每个二阶矩阵均有特征向量C.属于矩阵A的不同特征值的特征向量一定不共线D.如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。3.设，分别是恒等变换与零变换的特征值，则－＝4.投影变换的所有特征值组成的集合为5.矩阵的特征多项式为6.已知A是二阶矩阵，且A2＝0，则A的特征值为7.若0是矩阵A＝的一个特征值，则A的属于0的特征向量为8.已知1、2是矩阵A＝的特征值，则＝9.若向量是矩阵的一个特征向量，则m＝10.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：①②③11.已知向量是矩阵的一个特征向量，求m的值。12.设A＝，分别求满足下列条件的所有矩阵A：①是A的属于2的一个特征向量。②是A的一个特征向量。13.对任意实数x，矩阵总存在特征向量，求m的取值范围。14设A是可逆的二阶矩阵，求证：①A的特征值一定不是0；②若是A的特征值，则1/是A－1的特征值。1.Ｄ2.Ｂ3.１4.｛0，1｝5.6.07.8.9.１10.①或；②或③或11.ｍ＝012.①②13.－3≤ｍ≤214.①有特征多项式证明；②，得征。第六讲特征向量的应用一.的简单表示【探究1】关于x轴的反射变换的坐标公式为：相应的二阶矩阵为A＝矩阵A的特征值为：对应于每个特征值的特征向量为：试研究对特征向量作了n次变换后的结果：【定义】设矩阵A＝，是矩阵A的属于特征值的任意一个特征向量，则（）【探究2】设探究1中的两个特征向量为、，因为这两个向量不共线，所以平面上任意一个向量可以用、为基底表示为：试研究的值。【性质1】设、是二阶矩阵A的两个不同特征值，、是矩阵A的分别属于特征值、的特征向量，对于平面上任意一个非零向量，设，则＝【应用】1.【P761、2】2.人口迁移问题课本P73【第五讲.作业】1.求矩阵A＝的特征值及其对应的所有特征向量。2.①设是矩阵A的一个特征值，求证：是的一个特征值。②若＝。求证A的特征值为0或1。3.设是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，求证：是的属于特征值的一个特征向量。【4－2综合·作业】一、选择题1.设矩阵A＝，B＝，若A＝B，则x的值为（）A.3B.9C.-3D.±2.矩阵的逆矩阵为（）A.B.C.D.3.矩阵A＝，，则＝