数学分析-各校考研试题及答案

2003南开大学年数学分析解：令u=x+y，v=x—y,z=x则；二、设数列非负单增且，证明解：因为an非负单增,故有由；据两边夹定理有极限成立。三、设试确定的取值范围，使f(x）分别满足：极限存在f(x)x=0连续f(x）x=0解:(1）因为==极限存在则2+知(2)因为=0=f(0)所以要使f（x)在0连续则所以要使f（x)0可导则四、设f(x）在R连续，证明积分与积分路径无关解；令则f（x)在R上连续故存在F（u）使dF(u)=f(u）du=所以积分与路径无. (此题应感谢小毒物提供思路五、 设f(x）[a，b］上可导，且，证明证：因f（x）在［a，b］可导，则由拉格朗日中值定理，存在即有六、设单减而且收敛于0。发散证明证明其中；1因为而单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知（2）因为正项级数发散则又由上题知故有七、设证明(1）在一致收敛（2）在连续1）因收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在=0上一致收敛；又在x>=1,t>=0且一致有界由阿贝尔判别法知一致收敛上连续知任意性得证八、令是［a，b］上定义的函数列，满足(1）对任意是一个有界数列（2)对任意,存在一个求证存在一个子序列在[a,b]上一致收敛证：对任意，是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为，又令U=则U为[a,b]，不妨设为于是对〉0，有令则由条件（2）知对上述于是++由柯西准则得证.2004年南开大学数学分析试题答案1。2.,=3.即证明,即证设，，，,证完.4。===5。设P=，Q=，,积分与路径无关，则6.，又当时,收敛，当时，级数发散，原题得证7。由拉格朗日定理,，其中，原题得证8（1）应用数学归纳法，当时命题成立，若当时命题也成立，则当时，,由归纳假设连续。（2）由单调递减趋于，与都连续，由地尼定理，该收敛为一致收敛。9.(1）证明：取，代入式中得，即，所以函数单调递增有下界,从而存在右极限，则；，由题设可得，即从而，所以导函数递增.（2）参考实变函数的有关教材.2005年南开大学数学分析试题答案2.，其中由 求出3。0,.由泰勒公式，则，后者收敛，则原级数收敛。也一致收敛且连续，故连续可导7。反证:设存在有，不妨设，由连续函数的局部保号性，知道存在一个邻域当时，则存在一个圆周与已知矛盾。8。当时,若对任意的有,则在时,不存在，矛盾。设当时，当时，两边对积分即可6。，,由在上有定义，则在上有界，则可以得到在上连续。，则,则则单调递增有下界，存在右极限,存在,同理存在，由极限的保不等式性可得2003年中国科学院数学研究院数学分析试题答案1.（1）当时，当时,当时，当时，(2）当时，=(3）当时,当时,当时,当时，2.当时，,从而连续；当时，,存在；当时，,3，,当时，设,，所以,当时，设,，所以，4。假设存在常数M,，积分矛盾作代换===7。椭球面的切向量为，切点为和8.当时，相加：令，所以9由含参量积分的性质,2006年数学分析试题参考解答1求a，b使下列函数在x=0处可导:解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由得到b=1;又由得到a=0。即得.2证明：用反证法。由知，均为正项级数。,3解：从而 即得解。(利用余元公式、换元、函数更为简单)4证明：知,从而令有从而得证.5证明:6证明:,Cauchy—-—Schwarz17证明：8设曲线的周长和所围成的面积分别为L和S，还令，则.证明:由对称性知9解：=I，我们先来证明一个定理：2〈R回到题目，看数项级数收敛，设=,|x|<1,由定理2即知==I.10解:这是星形线，充分考虑到对称性（x=0,y=0，x=y，x=—y)，有北京大学20051设，试求和。解：当然此上极限可以令。此下极限当然可以令1. (1）证明：由存在.这显然就是(2)设在开区间可微且一致连续，试问在是否一定有界（回答举例说明）证明：否定回答。闭区间上连续函数一致连续。所以显然此而设.（1)求的麦克劳林展开式。（2)求。解:这道题目要是直接展开是很麻烦的.先对原式做一下变形.有.又由于比较系数有：,接下来，若中，此时令有。:，综合得：4的两个偏导数都存在（）任何方向极限都存（）原点不连解： .显然这个函数在的时,有偏导数存在,而对于的时候，有，此式在原点也成立。对于任意方向极限，有。显然沿任意方向趋于原点。此函数的方向极限都存在。最后,因为沿不同方向趋向原点。不妨设有不同的极限。且其都不为0。所以该函数在原点不连续。.其中是球面与平面的交线。解：首先，曲线是球面与平面的交线.因为平面过原点,球面中心为原点。所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性.易知有。因此有===。设函数列满足下列条件（1，在连续且有(2)点点收敛于上的连续函数证明：在上一致收敛于证法1：首先，因为对任意。且有，所以,对于任意，有。又因为在点连续。所以可以找到，当时。有，以及同时成立.因此，当，时，有。如此，令，所以有开区间族覆盖了区间。而在闭区间上连续。由Heine-Borel定理，从开区间族中可以选出有限个，使.由的选法。可由相应与，当，且时，有。取，当时，且，有成立。所以在上一致收敛于。证毕。证法2对于任意，有一，使得．又有界，由Bolzano-Weierstrass理，所以其必存在收敛子列收敛于中某值．因为对任意。且有，所以，当时，有．设某，由与连续性．存在一，当时有同时成立．显然，又因为．所以存在值，．当时，成立．最后，当时，有＜．这与假设矛盾．所以在上，是一致收敛于．证毕．大连理工大学2005试题数学分析试题解一、 计算题1、 求极解:2、求极限：解：3、证明区间（0，1）和（0,+）具有相同的势。证明：构造一一对应y=arctanx.4、计算积分，其中D是x=0,y=1，y=x围成的区域解：5、计算第二类曲线积分解:6、设a>0,b>0证明：二、 设f(x)为[a,b］上的有界可测函数，且证:f(x）在［a,b]上几乎处处为证明：反证法,假设A=｛x|f（x）≠0}，那么mA〉0。三、 设函数在开区内连续且有界是讨论（0,+)内的一致连续性讨论：非一致连续，构造函数：四、 设,讨论函数的连续性和可微性解:连续性：连续可微性：可微五、 设f(x)在（a，b）内二次可微，求证证明:六、 f（x）在R上二次可,,证明：f(x)在R上恰有两个零点。证明：七、 设函数f(x)和g（x)在［a，b］内可积，证对[a，b]内任意分证明：八、 求级数解：九、 讨论函数项级数在和（1,+∞)的一致收敛讨论：1） 0〈x<12） x>1十、 计算为圆锥曲面被平面z=0,z=2所截部分的外解:十一、设f(x）在,f（0)=0，f（1）<=1证明:十二、设f（x证明:十三、设，证明：当下极限时，级数收敛当上极限时,级数发散（2）1）（2）苏州大学2004年数学分析解答1.（20')2（20'）05苏州大学20052005一(848分）1.解原式 3分5分8分2、求级数的和.解作,则2分作,则因此 5分于是，原式 8分3、求级数的和.解因，故 2分为了求,作， 4分则 5分6分因此，原式 8分4、求的值。解原式 4分8分5、求极限解因的周期为， 2分故当为有理数时，存在正整数和整数使得，这时当时， 4分而当为无理数时， 6分因此，原式 8分6、求极限解原式 4分8分二（14分）已知实数列收敛于，且，用定义证明也收敛于。证记，则，使得， 3因,故，使得, 8分令，则当时，有14分三（20分)设和为二次可微函数，证明证， 5分，因此，左四（20分）设在上连续,证明⑴⑵若,，且,则，，证记（1)令，则

15分右 20分因此，左右 10分（2（用反证法）若不然，则使得,由极限的保号性，存在开区间使得，且当时，有，16分这与矛盾. 20分五（16分）若不定积分为有理式，则应满足什么条件？解因，故当且仅当时,不定积分为有理式。 16分六16分）若在上可微,证法1因在上可微,故，在上连续，在内可导，从而由拉格朗日中值定理知,使，即9分因, ，故由海涅归结原则知，，从而.16分证法2 由知，使得当时，2分,,,6分用数学归纳法，得到一个数列，在闭区间上应用拉格朗日中值定理，,使得10分由知,数列单调增，由数列满足和知 13由知 16分七（16分）设,证明在上一致收敛.证法1,当时，当时,由对称性知当时，因,故对上述的，正整数使得当时,

6分14分综上，当时，，对中的一切成立,这表明在上一致收敛.16分证法2当时3分Dini定理,要证在上一致收敛.即知极限函数一定连续。 7分而当时,当时，当或时，,而当时，10分于是，,有，n16分2003年一、 判断下列命题是否正确（共5小题，每小题6分，共30分1）单调序列中有一子列收敛，则序列收敛。正确。不妨设收敛于a,利用单调性那么不难证明也收敛于a2)子列的子序列和收敛,则序列也收敛不正确。只要和收敛于不同的极限，A、B那么不收敛序列收敛，则序列收敛其逆命题也成立不正确。序列收敛=〉序列收敛，但反之命题不成立如收敛，则。不正确。可以找到莱布尼兹级数函数序列,，满足对任意的自然数p不正确。不妨设，,。显然并非一致收敛.二、 计算题（每小题8分，共32分1)设（应用Hospital法则）2）求极限:（应用Taylor展开）3)4）计算曲面积分，S为球面的外侧三、判断级数与反常积分的敛散性（共4小题，每小题9分，共36分)1） 2）3） 4)四、 设a〉0，求曲线上的点到xy—平面的最大最小距解1：解2：(初等数学的不等式方法）当z取到最值，即xy取到最五、 设0<c〈1,。证明收敛,并求其极限分析：只须满足即可。证明:六、 设f（t）在R上连续证明证明:（考虑在（0,1)趋近于0）七、 证明含参量非正常积分:，对任意一致收敛，而在上不是一致收敛的证明：1)2）武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目名称:数学分析 科目代码:369一、计算下列各题:1． 2.3. 4。5.6。二、设,证明:存在，并求出极限证明:三、（另外，还可以用上下确界的方法做四、讨论在点的连续性和可微性解:(1）连续性：（2)可微性,L的方向是：从x轴的正方向看过去为逆时针方向.解：六、计算曲面积分（h,R〉0）及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧.解：另外可以用Stokes公式做七、证明:解：八、证明积分解：另外可以用积分判别法的Dirichlet定理做武汉大学2005年一、设满足:,，证明收敛。证明：(分析：压缩映像原理）二、对任意δ〉0。证明级数在（1,1+δ）上不一致收敛.证明：（利用反证法，Cauchy收敛准则和定义证明.）三、设解，（本题利用莱布尼兹求导法则：）四、判断级数的绝对收敛性和相对收敛性（1）（主要使用放缩法）(2）相对收敛性：(A-D判别法）五、计算,其中Γ为曲线，从z轴的正方向看过去，Γ（利用奇偶性做）六、设，且为连续函数，求证：（画出函数图像,）>0但是在0）收敛.证明:八、在底面半径为a,高为h的正圆锥内作长方体，其一面与圆锥地面重合，对面四个顶点在锥面上，求长方体的最大体积。解：九、(0,a)证明:1)； 2）证明:1）命题有问题，取a=1/2,f（x)=5x-8x2f(0)=0，f（1/2）=1/2f(x）在5/16取到最值，但是f(x）—ax只在x=0,x=9/16等于0，与命题1矛盾。2004年上海交通大学 数学分析一（14)设，证明Stolz,,二（14).证，,故在上不一致连续。三(14）设在上连续，且＝，证明,使＝证作（，则在上连续，因1若，则取，则＝，情形2若，则因，故由介值定理知，存在,使得,即＝.四（14）证明不等式＜＜,证，故在上严格单调减少，而,，因此，在上，有,即＜＜.五(14）设收敛，且在上一致连续,证明=0.证因在上一致连续,故,，使得当且时，有，令，则由积分第一中值定理得，，使得。因收敛,故级数收敛，从而，即,也即，故对上述的,存在，使得当时，.取，则当时，因故存在惟一的，使得,易见，且,从而六（14）设,,，证明级数收敛.解.,因，故只要证收敛即可.七(14）0证明在上一致收敛.八（12)设在上连续，证明＝。证（1)(令，则，故3不妨设，则，（4）,，当且时，有,,有，当时，有，从而当时，有(8）由和（7）九（12）>0，＝＋,证明＝1证（1）要证＝1即只要证,即证