江苏省宿迁市泗洪县2022-2023学年高一上学期期中数学试题（含答案解析）

第13页/共13页江苏省宿迁市泗洪县2022-2023学年高一上学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则下列判断正确的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由元素与集合关系的判断，【详解】对于A，令，得，则，故A错误，对于B，令，得，则，故B错误，对于C，令，得，则，故C错误，对于D，令，得，则，故D正确，故选：D2.下列表示正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解.【详解】解：对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意集合的子集，即，即A正确，对于选项B，，即B错误，对于选项C，，即C错误，对于选项D，，即D错误，故选：A.【点睛】本题考查了空集的定义，重点考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系，属基础题.3.设，，则（）A. B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】联立方程组，解出x，y，再结合交集的定义，即可求解．【详解】联立，解得，故.故选：C．4.下列四组函数中，与不相等的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】【分析】利用相等函数的概念，通过定义域、值域，对应关系等方面进行判断.【详解】D项中，的定义域为解得或，的定义域为解得，定义域不相同故选：D5.命题p：n是3的倍数；q：n是6的倍数，p是q的（）条件．A.充分且不必要 B.必要且不充分C.充要 D.既不充分又不必要【答案】B【解析】【分析】由充分条件和必要条件的概念判断，【详解】若n是6的倍数，则n一定是3的倍数，反之，若n是3的倍数，则n不一定是6的倍数，例如9是3的倍数，但不是6的倍数，所以p是q的必要不充分条件．故选：B6.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得“”为真命题，即，即时，，然后结合二次函数的性质可求．【详解】因为命题“”为假命题，所以“”真命题，所以，所以当时，，根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值，所以，故选：A.7.仰望星空，探索宇宙的奥秘一直是人类的梦想，在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足．若星体甲的星等是﹣26.7，星体乙的星等是﹣1.45，则星体甲与星体乙的亮度比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据星等和亮度满足的方程，代入已知条件根据对数的计算法则即可求解．【详解】设星体甲的星等是，星体乙的星等是，由题意可得，即，则，故选：A8.已知，则的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用换元法求得函数解析式，再由二次函数的性质即可求得值域．【详解】令，则，，则，，又的对称轴为，则，所以函数的值域为．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质判断各选项即可.【详解】由题意得，，所以两边同时除以得，即，A不正确；两边同时除以得，B不正确；两边同时乘得，C正确；由可得，两边同时除以得，D错误.故选：C10.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由解析式结合函数图象直接判断即可.【详解】对A，为奇函数，排除；对B，为偶函数，在单减，排除；对C，为偶函数，在单增，符合题意；对D，为偶函数，由对勾函数图象特点可知，函数不单调，排除.故选：C11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（）A.的值域为B.的定义域为C.D.任意一个非零有理数，对任意恒成立【答案】BCD【解析】【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确；因为函数，所以的定义城为，故B正确；因为，所以，故C正确；对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，故选：BCD.12.已知，，，则的值可能是（）A. B.1 C. D.【答案】BCD【解析】【分析】,有则且,分和打开，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.【详解】由，得，则且.当时,==.当且仅当即时取等号.当时,==.当且仅当即时取等号.综上，.故选：BCD.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.写出一个的二次函数的解析式_____．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设出二次函数的解析式，利用求得正确答案.【详解】设，由得，不妨设，则，解得，所以.故答案为：（答案不唯一）14.已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则＝_____．【答案】3【解析】【分析】由奇函数的定义和已知区间上的解析式，计算可得所求值．【详解】函数为定义在上的奇函数，则.故答案为：315.已知，则_____．【答案】【解析】【分析】由已知可得，从而能求出其结果.【详解】因为，所以，故答案为：.16.已知函数，对，有，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由已知结合函数单调性定义及分段函数的单调性求解即可.【详解】因为，对，有，所以函数在上单调递增，故，解得，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值：（1）+；（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用指数幂性质和运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则求解．【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.18.在①函数的定义域为集合B，②不等式的解集为B这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：设全集，_____．（1）当，求；（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合B，再利用集合间的基本运算求解．（2）若“”是“”充分条件，则，进而列出不等式组，求出的取值范围即可．【小问1详解】解：若选①，则，解得，∴，当时，，∴，∴；若选②，则，解得，下同选①；【小问2详解】解：若“”是“”的充分条件，则，∴，解得，即的取值范围为．19.已知正数满足．（1）求的最小值；（2）求的最小值．【答案】（1）8（2）9【解析】【分析】（1）利用基本不等式化简即可求解；（2）由已知可得，然后利用“1”代换以及基本不等式化简即可求解．【小问1详解】因为，则，解得，当且仅当，即时取得最小值为8.【小问2详解】因为，且，则，所以，当且仅当，即时取得最小值为9．20.已知函数f(x)＝x|x+2|，且x∈R．（1）解关于x的不等式f(x)≥﹣1；（2）当x∈[2，m]时，求f(x)的最小值．【答案】（1）{x|x≥﹣﹣1}（2）8【解析】【分析】（1）分类讨论，化简f(x)的解析式，求出不等式f(x)≥﹣1的解集．（2）先判断m的范围，结合二次函数的性质，求出它的最小值．【小问1详解】∵函数f(x)＝x|x+2|，且x∈R，不等式f(x)≥﹣1，即x|x+2|≥﹣1．当x≥﹣2时，不等式即x（x+2）≥﹣1，即（x+1）2≥0，恒成立．当x＜﹣2时，不等式即﹣x（x+2）≥﹣1，即（x+1）2≤2，求得﹣﹣1≤x≤﹣1，∴﹣﹣1≤x＜﹣2．综上可得，不等式的解集为{x|x≥﹣﹣1}．【小问2详解】当x∈[2，m]时，显然，m＞2，函数f(x)＝x|x+2|＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，它的图象的对称轴为x＝﹣1，在区间[2，m]上单调递增，故当x＝2时，函数取得最小值为f(2)＝8．21.我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝．（1）写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？【答案】（1）（2）销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元【解析】【分析】（1）由题意列式求解，（2）由二次函数性质与基本不等式求解，【小问1详解】由题意得，【小问2详解】当时，由二次函数性质得，当时，由基本不等式得，则，当且仅当即时等号成立，综上，当销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元22.已知函数f(x)＝x﹣．（1）判断并用定义法证明y＝f(x)在（0，+∞）上的单调性；（2）若∃x∈[1，2]，使得x2+成立，求m的取值范围．【答案】（1）y＝f(x)在（0，+∞）上单调递增；证明见解析（2）[﹣1，5]【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义：作差、判断符号、比较大小，即可得证；（2）令t＝f(x)，由（1）可得t＝f(x)在[1，2]上单调递增，可得，令，当时，g（t）单调递减，当时，g（t）单调递增，求出最大值即可求解．【小问1详解】y