向量小结与复习教案

小结与复习讲课设计●讲课目的(一)知识目标自己知识网络构造；向量见解；向量的运算律；重要的定理、公式.(二)能力目标认识本章知识网络构造；进一步熟习基本见解及运算律；理解重要定理、公式并能娴熟应用；4.增强数学应妄图识，提升分析问题，解决问题的能力.(三)德育目标认识事物之间的相互转变；培育学生的数学应妄图识.●讲课要点突出本章重、难点内容.●讲课难点经过例题分析突出向量运算与实数运算的差别.●讲课方法自学指导法在给出本章的知识网络构造后，列出复习纲领，指引学生增补有关内容，同时增强学生对基本见解、基本运算律、重要定理、公式的熟习程度.●教具准备投影仪、幻灯片(三张)第一张：本章知识网络图(记作§5.13.1A)第二张：向量运算法例(记作§5.13.1B)第三张：本节例题(记作§5.13.1C)●讲课过程Ⅰ.复习回首师：前面一段，我们一同学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了必定的分析问题解决问题的方法.这一节，我们开始对本章进行小结与复习.Ⅱ.讲解新课师：第一我们经过投影屏幕来看向量知识的网络构造(给出投电影§5.13.1A)本章知识网络构造本章要点及难点本章的要点有向量的见解、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用；本章的难点是向量的见解，向量运算法例的理解和运用，已知两边和此中一边的对角解斜三角形等；(3)关于本章内容的学习，要注意意会数形联合的数学思想方法的应用.向量的见解(1)向量的基本因素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法：AB，a；坐标表示法：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.(4)特其余向量：零向量a＝O｜a｜＝O.单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.相等的向量：大小相等，方向同样(ｘ，ｙ)＝（ｘx1x2ｙ1122y1y2(6)平行向量(共线向量)：方向同样或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.因为向量能够进行随意的平移(即自由向量)，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量.向量的运算(给出幻灯片§5.13.1B)重要定理、公式平面向量基本定理e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，关于这个平面内任向来量，有且仅有一对实数λ1，2，使a＝λ1e1＋λ2e2.两个向量平行的充要条件a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝O.两个向量垂直的充要条件a⊥b

a·b＝O

x1x2＋y1y2＝O.线段的定比分点公式设点P分有向线段P1P2所成的比为λ，即P1P＝λPP2，则OP＝11OP1＋OP2(线段的定比分点的向量公式)11xx1x2,(线段定比分点的坐标公式)yy1y2.1当λ＝1时，得中点公式：1xx1x2,（OP1＋OP2）或2OP＝y2.2yy12平移公式设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后获得点P′（x′，y′），则OP＝OP+a或xh,yk.曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数分析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)正、余弦定理正弦定理：abc2R.sinAsinBsinC余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.师：下边我们经过例题分析来进一步熟习向量知识的应用.(经过投电影§5.13.1C给出本节例题)［例1］在四边形ABCD中，AB·BC＝BC·CD＝CD·DA＝DA·AB，试证明四边形ABCD是矩形.分析：要证明四边形ABCD是矩形，能够先证四边形ABCD为平行四边形，再证明其一组邻边相互垂直.为此我们将从四边形的边的长度和地点双方面的关系来进行思虑.证明：设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，则a＋b＋c＋d＝O∴a＋b＝－（c＋d).两边平方得｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2，a·b＝c·d2222∴｜a｜＋｜b｜＝｜c｜＋｜d｜（1）由(1)(2)得｜｜2＝｜c｜2，｜d｜2＝｜b｜2，aa＝c，d＝b，AB＝CD，BC＝DA∴四边形ABCD是平行四边形.于是AB＝－CD，即a＝－c，a·b＝b·c，故a·b＝b·（－a）∴a·b＝OAB⊥BC∴四边形ABCD为矩形.谈论：向量拥有二重性，一方面拥有“形”的特色，另一方面又拥有一套优秀的运算性质，所以，关于某些几何命题的抽象的证明，自然能够转变为向量的运算问题来解决，要注意意会.［例

2］设坐标平面上有三点

A、B、C，ｉ，j

分别是坐标平面上

x轴，y轴正方向的单位向量，若向量

AB＝ｉ－2j，BC＝ｉ＋ｍj

，那么能否存在实数

ｍ，使

A、B、C三点共线.分析：能够假定知足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线AB∥BC存在实数λ，使AB＝λBC，进而成立方程来研究.解法一：假定知足条件的ｍ存在，由、B、C三点共线，即AB∥BC，A∴存在实数λ，使AB＝λBC，ｉ－2j＝λ（ｉ＋ｍj），1∴ｍ＝－2.m2∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线.解法二：假定知足条件的ｍ存在，依据题意可知：ｉ＝（1，O），j＝（O，1）∴AB＝（1，O）－2（O，1）＝（1，－2），BC＝（1，O）＋ｍ（O，1）＝（1，ｍ），由A、B、C三点共线，即AB∥BC，故1·ｍ－1·（－2）＝O解得ｍ＝－2.∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线.谈论：(1)共线向量的充要条件有两种不同样的表示形式，但其实质是同样的，在运用中各有特色，解题时可灵巧选择.此题是存在研究性问题，这种问题一般有两种思虑方法，即假定存在法——当存在时；假定否认法——当不存在时.Ⅲ.讲堂练习判断题AB＋BA＝O（√）(2)OAB＝O（×）3）AB－AC＝BC（×)选择题已知a，b为两个单位向量，以下四个命题中正确的选项是()A．a与b相等B．假如a与b平行，那么a与b相等a·b＝1D．a2＝b2答案：D3.已知A、B、C是直线ｌ上的挨次三点，指出向量AB、AC、BA、CB中，哪些是方向同样的向量.答案：AB与AC方向同样，BA与CB方向同样.已知AC为AB与AD的和向量，且AC＝a，BD＝b，分别用a、b表示AB，AD.解：AB＝1（a－b），2AD＝1（a＋b）.25.已知ABCDEF为正六边形，且AB＝a，AE＝b，用a，b表示向量DE、AD、BC、EF、FA、CD、AC、CE.解：DE＝－a，AB＝a＋b，BC＝1（a＋b），EF＝－1（a＋b），FA＝1（a222－b），CD＝（b－a），AC＝3a＋1b，CE＝1b－3a.22222已知点A(－3，－4)、B（5，－12）求AB的坐标及｜AB｜；若OC＝OA＋OB，OD＝OA－OB，求OC及OD的坐标；求OA·OB.解：(1)AB＝（8，－8），｜AB｜＝82OC＝（2，－16），OD＝（－8，8）OA·OB＝33.Ⅳ.课时小结师：经过本节学习，要求大家在认识向量知识网络构造基础上，进一步熟习基本见解及运算律，并能娴熟重要定理、公式的应用，并增强数学应妄图识，提升分析问题、解决问题的能力.Ⅴ.课后作业(一)课本P149复习参照题五7，11，13，15，17，19.(二)1.预习内容三角形的有关性质；向量数目积的性质及坐标表示.2.预习纲领向量加、减法基本源则的合用前提；向量数目积坐标表示的形式特色.●板书设计§小结与复习（一）1.向量知识网络构造3.向量基本见解5.重要公式、定理2.本章重难点概括4.本章运算律、性质1）要点2）难点●备课资料三点共线的证明关于三点共线的证明，能够利用向量共线的充要条件证明，也可利用定比分点知识证明.因为，定比分点问题中所波及的三个点必定共线，而三个点共线时，必定组成定比分点.［例1］已知A（－1，－1）、B（1，3）、C（2，5），求证A、B、C三点共线.证明：设点B′（1，y）是AC的一个分点，且AB12＝λ，则1＝BC1解得λ＝2.∴y＝125＝3.12即点B′与点B重合.∵点B′在AC上，∴点B在AC上，∴A、B、C三点共线.利用正、余弦定理判断三角形形状［例2］依据以下条件，判断△ABC的形状(1)acosA＝bcosB(2)sin2Α＋sin2B＝sin2C，且c＝2acosB.解：(1)∵acosA＝bcosBacosBbcosA∴2RsinAcosB,2RsinBcosAsinAcosA＝sinBcosBsin2A＝sin2B2A＝2B或2A＝π－2BA＝B或A＋B＝2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)∵sin2A＋sin2B＝sin2C∴(a)2(b)2(c)2,2R2R2Ra2＋b2＝c2故△ABC是直角三角形，且C＝9O°，cosB＝a，代入c＝2acosBc得cos＝2B2∴B＝45°，A＝45°综上，△ABC是等腰直角三角形.评注：(1)条件中有边有角，一般须化边为角或化角为边，题(1)也能够化角为边.(2)题(1)结论顶用“或”，题(2)顶用“且”结论也就不同样，切不能够混杂.2［例3］在△ABC中，若a＝b（b＋c），则A与B有何关系?解：由正弦定理得sin2A＝sinB（sinB＋sinC）sin2A－sin2B＝sinB·sinC，sinA＋sinB）（sinA－sinB）＝sinBsinC，sin（A＋B）sin（A－B）＝sinB·sinCsin（A＋B）＝sinC，∴sin（A－B）＝sinB，∴A－B＝B，A＝2B，或A－B＝π－B(舍去)故A与B的关系是A＝2B.利用正、余弦定理证明三角恒等式［例4］在△ABC中，求证a2b2c2tanB.a2b2c2tanC证明：由余弦定理，知a2＋b2－c2＝2abcosC，2－2＋c2＝2cos，abcaB∴a2b2c22abcosCbcosCsinBcosCtanB.a2b2c22cacosBccosBsinCcosBtanC222评注：关于含有a、b、c的形式，常用余弦定理化边为角.222［例5］在△ABC中，已知2sinA＝3sinB＋3sinC①cos2A＋3cosA