陕西省西安市高三(上)期末数学试卷(文科)课件

2021-2021

学年陕西省西安市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共

12

个小题，每小题

5

分，共

60

分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合

A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（2﹣x）＞0，x∈Z}，则

A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）复数

z

＝cosx﹣isinx，z

＝sinx﹣icosx，则|z

•z

|＝（）1212A．1B．2C．3D．43．（5分）若

a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log

c＜log

cB．log

a＜log

babccC．ac＜bcD．ca＞cb2푥

‒

2(푥

≥

2){4．（5分）设函数

f（x）

=，若

f（m）＝7，则实数

m

的值为（）푙표푔

푥(푥

2)＜2A．0B．1C．﹣3D．35．（5分）设

a∈R，则“a＝1”是“直线

l

：ax+2y﹣1＝0与直线

l

：x+（a+1）y+4＝0平行”的12（）试卷

测试A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果运行结果为

5040，那么判断框中应填入（）12021-2021学年陕西省西安市高三（上）期末数学试卷（1A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？7．（5分）已知公差不为

0的等差数列{a

}满足

a

，a

，a

成等比数列，S

为数列{a

}的前

n

项和，则n134nn푆3

‒

푆2푆5

‒

푆3的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣38．（5分）三棱锥

P﹣ABC

的三条侧棱

PA，PB，PC

两两垂直，且

PA

=

2，PB＝1，PC

=

3，则该三棱锥的外接球的体积是（）8

2B．

32A．

6ππC．

πD．8

6π39．（5分）等轴双曲线

C

的中心在原点，焦点在

x

轴上，C

与抛物线

y2＝16x

的准线交于

A，B

两点，|AB|＝4

3，则

C

的实轴长为（）A．4B．2

2C．

2D．810．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）试卷2휋휋2휋C．

916휋D．

9A．B．3311．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：1

1

1第一步：构造数列

1，

，

，

，…，

．①2

3

41푛2A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？7．（5分2第二步：将数列①的各项乘以

n，得到数列（记为）a

，a

，a

，…，a

．则

a

a

+a

a

+…+aa

＝n﹣1

n123n1

2

2

3（）A．n2B．（n﹣1）2C．n（n﹣1）D．n（n+1）휋휋휋12．（5分）已知函数

f（x）＝sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜

）满足

f（x

+

2）＝f（x

-

2），且

f（2휋휋+

x）＝f（

‒

x），则下列区间中是

f（x）的单调减区间的是（）665휋휋4휋5휋2휋

7휋C．[

3휋A．[

-6

，

-

3]B．[

-3

，

-

6

]，6

]D．[

-

3，0]二、填空题（每题

5

分，满分

20

分，将答案填在答题纸上）→→2휋→→→→1．（5分）已知向量a，b的夹角为

3

，|a|＝1，|b|＝3，则|a

+

b|＝

．x

+

y

-

7

≤

0푥

‒

3푦

+

1

≤

03푥

‒

푦

‒

5

≥

0{2．（5分）设

x，y

满足约束条件，则

z＝2x﹣y

取得最大值时的最优解为

．3．（5分）取一根长为

3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于

1米的概率为

．4．（5分）若对于曲线

f（x）＝﹣ex﹣x

上任意点处的切线

l

，总存在

g（x）＝2ax+sinx

上一点处的切线1l

，使得

l

⊥l

，则实数

a

的取值范围是

．212三、解答题（本大题共

5

小题，共

70

分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）→→→→121．（12分）若向量a

=

(

3푠푖푛휔푥，푠푖푛휔푥)，푏

=

(푐표푠휔푥，푠푖푛휔푥)，其中

ω＞0，记函数f(x)

=

푎

⋅

푏

‒，휋若函数

f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是

．2（Ⅰ）求

f（x）的表达式；（Ⅱ）设△ABC

三内角

A、B、C

的对应边分别为

a、b、c，若

a+b＝3，c

=

3，f（C）＝1，求△ABC

的面积．2．（12分）如图，直三棱柱

ABC﹣A

B

C

中，D，E

分别是

AB，BB

的中点11113第二步：将数列①的各项乘以n，得到数列（记为）a，a，320（Ⅰ）证明：BC

∥平面

A

CD；112（Ⅱ）AA

＝AC＝CB＝2，AB

=

2

，求三棱锥

C﹣A

DE

的体积．11高考3．（12分）为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的

1500名志愿者进行互联网知识测试，从这

1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取

15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95．（Ⅰ）作出抽取的

15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这

1500志愿者中成绩不低于

90分的人数；（Ⅱ）从抽取的成绩不低于

80分的志愿者中，随机选

3名参加某项活动，求选取的

3人中恰有一人成绩不低于

90分的概率．4．（12分）已知

P

是圆

C：x2+y2＝4上的动点，P

在

x

轴上的射影为

P′，点

M

是线段

PP′的中点，当P

在圆

C

上运动时，点

M

形成的轨迹为曲线

E．（1）求曲线

E

的方程；→3

→（2）经过点

A（0，2）的直线

l

与曲线

E

相交于点

C，D，并且AC

=

AD，求直线

l

的方程．5420（Ⅰ）证明：BC∥平面ACD；112（Ⅱ）AA＝420푚5．（12分）已知函数f(x)

=

mx

-

푥

，푔(푥)

=

2푙푛푥．（Ⅰ）当

m＝2时，求曲线

y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当

m＝1时，判断方程

f（x）＝g（x）在区间（1，+∞）上有无实根．（Ⅲ）若

x∈（1，e]时，不等式

f（x）﹣g（x）＜2恒成立，求实数

m

的取值范围．请考生在

22、23

两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修

4-4：坐标系与参数方程]6．（10分）在直角坐标平面内，以坐标原点

O

为极点，x

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点휋2휋3

)，曲线

C

的参数方程为{x

=

rcosα푦

=

푟푠푖푛훼A、B

的极坐标分别为(1，

)、(3，(훼为参数）．3（Ⅰ）求直线

AB

的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线

AB

和曲线

C

只有一个交点，求

r

的值．[选修

4-5：不等式选讲]7．已知函数

f（x）＝|x+1|﹣λ，λ∈R，且

f（x﹣1）≤0的解集是[﹣1，1]．（1）求

λ

的值：11（2）若

r，s∈R，且

r＞0，s＞0，

+

=

λ，求

r+2s

的最小值．푟2푠520푚5．（12分）已知函数f(x)=mx-푥，52021-2021

学年陕西省西安市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共

12

个小题，每小题

5

分，共

60

分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2021秋•西安期末）已知集合

A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（2﹣x）＞0，x∈Z}，则

A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4G：演绎法；5J：集合．【分析】由题意首先求得集合

B，然后进行交集运算即可求得最终结果．【解答】解：由题意可得：B＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，∴A∩B＝{1}．故选：A．【点评】本题考查了集合的表示方法，交集运算及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．2．（5分）（2021•新城区校级二模）复数

z

＝cosx﹣isinx，z

＝sinx﹣icosx，则|z

•z

|＝（）1212A．1B．2C．3D．4【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的乘法以及三角函数的运算法则化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数

z

＝cosx﹣isinx，z

＝sinx﹣icosx，则

z

•z

＝cosxsinx﹣cosxsinx+i（﹣cos

﹣2x121262021-2021学年陕西省西安市高三（上）期末数学试卷（6sin2x）＝﹣i．则|z

•z

|＝1．12故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．3．（5分）（2016•新课标Ⅰ）若

a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log

c＜log

cB．log

a＜log

babccC．ac＜bcD．ca＞cb【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log

a＜log

b，故

B

正确；cc∴当

a＞b＞1时，0＞log

c＞log

c，故

A

错误；abac＞bc，故

C

错误；ca＜cb，故

D

错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．2푥

‒

2(푥

≥

2){4．（5分）（2016•八模拟）设函数

f（x）

=，若

f（m）＝7，则实数

m

的值为（）푙표푔

푥(푥

2)＜27sin2x）＝﹣i．12故选：A．【点评】本题考查复数的代数7A．0B．1C．﹣3D．3【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】根据解析式对

m

进行分类讨论，分别代入解析式化简

f（m）＝7，求出实数

m

的值．【解答】解：①当

m≥2时，f（m）＝7为：m

﹣

＝

，227解得

m＝3或

m＝﹣3（舍去），则

m＝3；푚②当

m＜2时，f（m）＝7为：log

=

7，2解得

m＝2

＞

，舍去，72综上可得，实数

m

的值是

3，故选：D．【点评】本题考查分段函数的函数值，以及分类讨论思想的应用，属于基础题．5．（5分）（2012•浙江）设

a∈R，则“a＝1”是“直线

l

：ax+2y﹣1＝0与直线

l

：x+（a+1）y+4＝0平12行”的（）A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】运用两直线平行的充要条件得出

l

与

l

平行时

a

的值，而后运用充分必要条件的知识来解决12即可．【解答】解：∵当

a＝1时，直线

l

：x+2y﹣1＝0与直线

l

：x+2y+4＝0，128A．0B．1C．﹣3D．3【考点】3T：函数的值．【专题】181两条直线的斜率都是

-

，截距不相等，得到两条直线平行，2故前者是后者的充分条件，푎2‒

1≠

4∵当两条直线平行时，得到

=，1푎

+

1解得

a＝﹣2，a＝1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．练习6．（5分）（2021秋•西安期末）执行如图所示的程序框图，如果运行结果为

5040，那么判断框中应填入（）试卷

测试A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的

S，k

的值，当

k＝8，此时执行输出

S＝5040，结束循环，从而判断框中应填入的关于

k

的条件．【解答】解：由题意可知输出结果为

S＝720，91两条直线的斜率都是-，截距不相等，得到两条直线平行，29通过第一次循环得到

S＝1×2＝2，k＝3，通过第二次循环得到

S＝1×2×3＝6，k＝4，通过第三次循环得到

S＝1×2×3×4＝24，k＝5，通过第四次循环得到

S＝1×2×3×4×5＝120，k＝6，通过第四次循环得到

S＝1×2×3×4×5×6＝720，k＝7，通过第六次循环得到

S＝1×2×3×4×5×6×7＝5040，k＝8，此时执行输出

S＝5040，结束循环，所以判断框中的条件为

k＞7？．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断

k＝8时退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7．（5分）（2021•蚌埠三模）已知公差不为

0的等差数列{a

}满足

a

，a

，a

成等比数列，S

为数列{a

}n134nn푆3

‒

푆2푆5

‒

푆3的前

n

项和，则A．2的值为（）B．3C．﹣2D．﹣3【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得：a

＝a

+2d，a

＝a

+3d．结合

a

、a

、a

成等比数列，得到

a

＝﹣4d，进而根31411341据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【解答】解：设等差数列的公差为

d，首项为

a

，1所以

a

＝a

+2d，a

＝a

+3d．3141因为

a

、a

、a

成等比数列，134所以（a

+2d）

＝

（2aa

+3d1），解得：

＝﹣4d．a11110通过第一次循环得到S＝1×2＝2，k＝3，通过第二次循环得10푆3

‒

푆2

푎1

+

2푑所以==

2，푆5

‒

푆3

2푎

+

7푑1故选：A．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．8．（5分）（2021秋•西安期末）三棱锥

P﹣ABC

的三条侧棱

PA，PB，PC

两两垂直，且

PA

=

2，PB＝1，PC

=

3，则该三棱锥的外接球的体积是（）8

2B．

32A．

6ππC．

πD．8

6π3【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】31：数形结合；46：分割补形法；5Q：立体几何．【分析】由题意画出图形，可知以

PA，PB，PC

为棱的长方体的对角线长为三棱锥

P﹣ABC

的外接球的外接球的直径，则答案可求．【解答】解：如图，三棱锥

P﹣ABC

的三条侧棱

PA，PB，PC

两两垂直，且

PA

=

2，PB＝1，PC=3，则以

PA，PB，PC

为棱的长方体的对角线长为

PD

=

(

2)2

+

12

+

(

3)2

=

6．6∴三棱锥

P﹣ABC

的外接球的外接球的半径为

2．463∴该三棱锥的外接球的体积是

휋

×

(

)

=

6휋．32故选：A．11푆3‒푆2푎1+2푑所以==2，푆5‒푆31120【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，关键是补形的方法，是中档题．9．（5分）（2021•民乐县校级模拟）等轴双曲线

C

的中心在原点，焦点在

x

轴上，C

与抛物线

y2＝16x

的准线交于

A，B

两点，|AB|＝4

3，则

C

的实轴长为（）A．4B．2

2C．

2D．8【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|＝4

3，即可求得结论．【解答】解：设等轴双曲线

C

的方程为

x

﹣

＝

．（

）2y2λ1푝∵抛物线

y

＝16x，2p＝16，

＝

，∴

=

4．2p82∴抛物线的准线方程为

x＝﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线

x＝﹣4的两个交点

A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），则|AB|＝|y﹣（﹣y）|＝2y＝4

3，∴y＝2

3．将

x＝﹣4，y＝2

3代入（1），得（﹣4）

﹣（2

3）

＝

，22λ∴λ＝4푥2

푦2∴等轴双曲线

C

的方程为

x

﹣

＝

，即2y24‒4

4=

1，1220【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，关键是补形的方法12∴C

的实轴长为

4．故选：A．【点评】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）（2021•郑州二模）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）高考2휋A．

3휋B．32휋C．

916휋D．

9【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆试心角为

120°，又由侧视图知几何体的高为

4，底面圆的半径为

2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为

120°，又由侧视图知几何体的高为

4，底面圆的半径为

2，13∴C的实轴长为4．故选：A．【点评】本题考查抛物线，双曲131203601169∴几何体的体积

V

=故选：D．×

×3π×2

×4

=2휋．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．11．（5分）（2021秋•朝阳区期末）我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：1

1

1第一步：构造数列

1，

，

，

，…，

．①2

3

41푛第二步：将数列①的各项乘以

n，得到数列（记为）a

，a

，a

，…，a

．则

a

a

+a

a

+…+aa

＝n﹣1

n123n1

2

2

3（）A．n2B．（n﹣1）2C．n（n﹣1）D．n（n+1）【考点】8E：数列的求和．【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．푛푛211【分析】a

=푘．n≥2时，ak﹣1

ka

==

n2(‒

)．利用“裂项求和”方法即可得出．k(푘

‒

1)푘푘

‒

1

푘푛【解答】解：∵a

=

푘．k푛211n≥2时，a

a

==

n2(‒

)．k﹣1

k(푘

‒

1)푘푘

‒

1

푘121

1)

+

(

‒

)

+

⋯

+11∴a

a

+a

a

+…+aa

＝n

[(1

-n﹣1

n2(‒

)]1

2

2

32

3푛

‒

1

푛12=

푛

(1

‒

)

=

n（n﹣1）．푛故选：C．【点评】本题考查了“裂项求和”方法、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14120116∴几何体的体积V=××π×2×4=2휋14휋휋12．（5分）（2021秋•西安期末）已知函数

f（x）＝sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜

）满足

f（x

+22휋휋휋）＝f（x

-

2），且

f（

+

x）＝f（

‒

x），则下列区间中是

f（x）的单调减区间的是（）665휋휋4휋5휋2휋

7휋C．[

3휋A．[

-6

，

-

3]B．[

-3

，

-

6

]，6

]D．[

-

3，0]【考点】H5：正弦函数的单调性；HK：由

y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】35：转化思想；36：整体思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】首先利用函数的关系式求出函数的周期和对称轴，进一步利用整体思想求出函数的单调递减区间．휋【解答】解：函数

f（x）＝sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜

），2휋휋满足

f（x

+

2）＝f（x

-

2），휋휋휋휋则：f（x

+

2

+

）＝f（x

-

+

）＝f（x），2222휋所以：T

=

휔

=

휋，解得：ω＝2．휋휋且

f（

+

x）＝f（

‒

x），66휋所以函数的对称轴为

x

=

6，휋휋2（k∈Z），则：2

⋅+

휑

=

푘휋

+6휋解得：φ＝kπ

+

6（k∈Z），휋．当

k＝0时，φ

=

615휋휋12．（5分）（2021秋•西安期末）已知函数f（15휋则：f（x）＝sin（2x

+

6）．휋휋3휋令：

+

2푘휋

≤

2푥

+

≤

2푘휋

+2

（k∈Z），26휋2휋3

，（k∈Z），解得：

+

푘휋

≤

푥

≤

푘휋

+6当

k＝﹣1时，5휋휋函数的单调区间为：[

-故选：A．，

‒

]．63【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．二、填空题（每题

5

分，满分

20

分，将答案填在答题纸上）→→2휋→→→→1．（5分）（2021•漳州模拟）已知向量a，b的夹角为

3

，|a|＝1，|b|＝3，则|a

+

b|＝

7

．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用．→→【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义求得a

⋅

푏的值，再利用求向量的模方法计算求得结果．→→2휋【解答】解：∵向量a，b的夹角为

3

，|a|＝1，|b|＝3，→→→→2휋3∴a

⋅

푏

=

1•3•cos

=‒

，32→→2→2a→2=

1

-

3

+

9

=

7，+

2푎

⋅

푏

+

푏→→→→则|a

+

b|

==(푎

+

푏)故答案为：

7．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义、求向量的模，属于基础题．16휋则：f（x）＝sin（2x+6）．휋휋3휋令：+216x

+

y

-

7

≤

0푥

‒

3푦

+

1

≤

03푥

‒

푦

‒

5

≥

0{2．（5分）（2021•大同二模）设

x，y

满足约束条件，则

z＝2x﹣y

取得最大值时的最优解为（5，2）．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求

z

的最优解．【解答】解：画出约束条件的可行域，如图：由

z＝2x﹣y

得：y＝2x﹣z，显然直线过

B（5，2）时，z

最大，所以最优解为：（5，2）练故答案为：（5，2）．试卷【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．3．（5分）（2021秋•西安期末）取一根长为

3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不1小于

1米的概率为

．317x+y-7≤0{2．（5分）（2021•大同二17【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为

3m

的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间

1m

处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于

1m”为事件

A，则只能在中间

1m

的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于

1m，1所以由几何概型的公式得到事件

A

发生的概率

P（A）

=

3．1故答案为：3【点评】本题主要考查概率中的几何概型，关键是明确概率模型，明确事件的测度，通过长度、面积或体积之比来得到概率．4．（5分）（2021秋•西安期末）若对于曲线

f（x）＝﹣ex﹣x

上任意点处的切线

l

，总存在

g（x）＝112ax+sinx

上一点处的切线

l

，使得

l

⊥l

，则实数

a

的取值范围是

[0，

]

．2122【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用．【分析】求得

f（x）的导数，设（x

，y

）为

f（x）上的任一点，可得切线的斜率

k

，求得

g（x）的111导数，设

g（x）图象上一点（x

，y

）可得切线

l

的斜率为

k

，运用两直线垂直的条件：斜率之积为22221﹣1，分别求

y

＝2a+cosx

的值域

A，y

═值域

B，由题意可得

B⊆A，可得

a

的不等式，可得

a푒

+

1122푥1的范围．【解答】解：f（x）＝﹣e

﹣

的导数为

′（

）＝﹣

﹣

，xxfxex1设（x

，y

）为

f（x）上的任一点，1118【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意确定为几何概型中的长18则过（x

，y

）处的切线

l

的斜率为

k

＝﹣e

﹣

，x111111g（x）＝2ax+sinx

的导数为

g′（x）＝2a+cosx，过

g（x）图象上一点（x

，y

）处的切线

l

的斜率为

k

＝2a+cosx

．22222由

l

⊥l

，可得（﹣e

﹣

）•（x112a+cosx2）＝﹣1，121即

2a+cosx

=，2푥1푒

+

1任意的

x

∈R，总存在

x

∈R

使等式成立．12则有

y

＝2a+cosx

的值域为

A＝[2a﹣1，2a+1]．121y2

=的值域为

B＝（0，1），푥1푒

+

1有

B⊆A，即（0，1）⊆[2a﹣1，2a+1]．{2a

-

1

≤

0即，2푎

+

1

≥

112解得

0≤a

≤．1故答案为：[0，

]．2【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共

5

小题，共

70

分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）→→1．（12分）（2016•汉中二模）若向量a

=

(

3푠푖푛휔푥，푠푖푛휔푥)，푏

=

(푐표푠휔푥，푠푖푛휔푥)，其中

ω＞0，记函数1휋→→f(x)

=

푎

⋅

푏

‒

，若函数

f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是

．22（Ⅰ）求

f（x）的表达式；19则过（x，y）处的切线l的斜率为k＝﹣e﹣，19（Ⅱ）设△ABC

三内角

A、B、C

的对应边分别为

a、b、c，若

a+b＝3，c

=

3，f（C）＝1，求△ABC

的面积．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；56：三角函数的求值．휋【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式

f（x）＝sin（2ωx

-

6），由题意可知其周期为

π，利用周期公式可求

ω，即可得解函数解析式．휋휋휋

11휋（Ⅱ）由

f（C）＝1，得sin(2C

-

6)

=

1，结合范围

0＜C＜π，可得

-

6＜2C

-

6＜

6

，解得

C

=휋3，结合已知由余弦定理得

ab

的值，由面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为

12分）→→解：（Ⅰ）∵a

=

(

3푠푖푛휔푥，푠푖푛휔푥)，푏

=

(푐표푠휔푥，푠푖푛휔푥)，11휋6

，…（4分）→→3푠푖푛휔푥푐표푠휔푥

+

푠푖푛2휔푥

‒

=

푠푖푛(2휔푥

‒

)∴f(x)

=

푎

⋅

푏

‒

=22由题意可知其周期为

π，故

ω＝1，휋则

f（x）＝sin（2x

-

6），…（6分）휋（Ⅱ）由

f（C）＝1，得sin(2C

-

6)

=

1，휋휋

11휋∵0＜C＜π，∴

-

6＜2C

-

6＜

6，휋휋휋∴2C

-

6

=

，解得

C

=

3．

…（8分）2휋，由余弦定理得

c

＝a2+b2﹣2abcos3，23又∵a+b＝3，c

=∴（a+b）

﹣23ab＝

，即

ab＝

，3220（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b2013由面积公式得三角形面积为

푎푏푠푖푛퐶

=

．…（12分）22【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．2．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直三棱柱

ABC﹣A

B

C

中，D，E

分别是

AB，BB

的中点1111高考（Ⅰ）证明：BC

∥平面

A

CD；112（Ⅱ）AA

＝AC＝CB＝2，AB

=

2

，求三棱锥

C﹣A

DE

的体积．11【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接

AC

交

A

C

于点

F，则

DF

为三角形

ABC

的中位线，故

DF∥BC

．再根据直线1111和平面平行的判定定理证得BC

∥平面

A

CD．11（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面

ABC

为等腰直角三角形，由

D

为

AB

的中点可得

CD⊥平面ABB

A

．求得

CD

的值，利用11勾股定理求得

A

D、DE

和

A

E

的值，可得

A

D⊥DE．进而求得S的值，再根据三棱锥

C﹣A

DE1111△

퐴

퐷퐸1的体积2113由面积公式得三角形面积为푎푏푠푖푛퐶=．…（12211为

•S•CD，运算求得结果．△

퐴

퐷퐸31【解答】解：（Ⅰ）证明：连接

AC

交

A

C

于点

F，则

F

为

AC

的中点．111∵直棱柱

ABC﹣A

B

C

中，D，E

分别是

AB，BB

的中点，故

DF

为三角形

ABC

的中位线，故

DF∥11111BC

．1由于

DF⊂平面

A

CD，而

BC

不在平面

A

CD

中，故有

BC

∥平面

A

CD．高考11111（Ⅱ）∵AA

＝AC＝CB＝2，AB＝2

2，故此直三棱柱的底面

ABC

为等腰直角三角形．1퐴퐶

⋅

퐵퐶由

D

为

AB

的中点可得

CD⊥平面

ABB

A

，∴CD

==

2．11퐴퐵223퐴

퐴

+

퐴퐷

=

6∵A

D

=，同理，利用勾股定理求得

DE

=，A

E＝3．1112DE2

=

퐴1퐸2，∴A1D⊥DE再由勾股定理可得A1퐷

+．13

2∴S∴V=

⋅

퐴

퐷

⋅

퐷퐸

=2

，△

퐴

퐷퐸1121=

•S•CD＝1．△

퐴

퐷퐸1퐶

‒

퐴

퐷퐸13【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．3．（12分）（2021秋•西安期末）为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的

1500名志愿者进行互联网知识测试，从这

1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取

15人，所得成绩如下：221为•S•CD，运算求得结果．△퐴퐷퐸31【解答】解：2257，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95．（Ⅰ）作出抽取的

15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这

1500志愿者中成绩不低于

90分的人数；（Ⅱ）从抽取的成绩不低于

80分的志愿者中，随机选

3名参加某项活动，求选取的

3人中恰有一人成绩不低于

90分的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶，能作出抽取的

15人的成绩茎叶图，由样本得成绩在

902分以上频率为

，由此能计这

1500志愿者中成绩不低于

90分的人数．15（Ⅱ）设抽取的

15人中，成绩在

80分以上（包含

80分）志愿者为

A，B，C，D，E，F，其中

E，F的成绩在

90分以上（含

90分），利用列举法能求出选取的

3人中恰有一人成绩在

90分以上的概率．【解答】解：（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶，作出抽取的

15人的成绩茎叶图如右图所示，…3分2由样本得成绩在

90分以上频率为15，2故志愿者测试成绩在

90分以上（包含

90分）的人数约为

15

×

1500

=

200人．…5分（Ⅱ）设抽取的

15人中，成绩在

80分以上（包含

80分）志愿者为

A，B，C，D，E，F，其中

E，F

的成绩在

90分以上（含

90分），…6分成绩在

80分以上（包含

80分）志愿者中随机选

3名志愿者的不同选法有：{A，B，C}，{A，B，D}，{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，D}，{A，C，E}，{A，C，F}，{A，D，F}，{A，D，E}，{A，E，F}，{B，C，D}，{B，C，E}，{B，C，F}，{B，D，E}，{B，D，F}，2357，63，65，68，72，77，78，78，79，80，23{C，D，E}，{C，D，F}，{D，E，F}，{B，E，F}，{C，E，F}，共

20种，…8分其中选取的

3人中恰有一人成绩在

90分以上的不同取法有：{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，E}，{A，C，F}，{A，D，F}，{A，D，E}，{B，C，E}，{B，C，F}，{B，D，E}，{B，D，F}，{C，D，E}，{C，D，F}，共

12种，…10分高考123∴选取的

3人中恰有一人成绩在

90分以上的概率为

=

20

=

．…12分5【点评】本题考查茎叶图的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．4．（12分）（2021秋•西安期末）已知

P

是圆

C：x2+y2＝4上的动点，P

在

x

轴上的射影为

P′，点

M

是线段

PP′的中点，当

P

在圆

C

上运动时，点

M

形成的轨迹为曲线

E．（1）求曲线

E

的方程；→3

→（2）经过点

A（0，2）的直线

l

与曲线

E

相交于点

C，D，并且AC

=

AD，求直线

l

的方程．试卷5【考点】J3：轨迹方程．24{C，D，E}，{C，D，F}，{D，E，F}，{B，E，F24【专题】34：方程思想；41：向量法；5C：向量与圆锥曲线．【分析】（1）设

M（x，y），则

P（x，2y），把

P

的坐标代入已知圆的方程求得曲线

E

的方程；（2）（ⅰ）当直线

l

斜率不存在时，经检验，不满足题意；（ⅱ）设直线

l

斜率为

k，则其方程为

y＝kx+2，联立直线方程与椭，化为关于

x

的一元二次方程，利→3

→用根与系数的关系结合AC

=

AD求解

k

值，则直线

l

的方程可求．5【解答】解：（1）设

M（x，y），则

P（x，2y）在圆

x2+y2＝

上，4푥2∴x2+4y2＝

，即

+

푦2

=

1；44（2）（ⅰ）当直线

l

斜率不存在时，经检验，不满足题意；（ⅱ）设直线

l

斜率为

k，则其方程为

y＝kx+2，y

=

kx

+

2푥2{联立，可得（1+4k

）2

x2+16kx+12＝0．2+

푦

=

143令△＝（16k）

﹣

（1+4k2）﹣12＞

，得

＞

．240k24设

C（x

，y

），D（x

，y

），112216푘12则x

+

푥

=‒，푥

푥

=2，①121

21

+

4푘21

+

4푘→3

→325又

A（0，2），且AC

=

AD，得x

=

푥

，将它代入①，153得

k

＝

，即

＝±

（满足

＞

）．21k1k24∴直线

l

的斜率为

k＝±1，∴直线

l

的方程为

y＝±x+2．25【专题】34：方程思想；41：向量法；5C：向量与圆锥曲线．2520【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．푚5．（12分）（2013•碑林区校级四模）已知函数f(x)

=

mx

-

푥

，푔(푥)

=

2푙푛푥．（Ⅰ）当

m＝2时，求曲线

y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当

m＝1时，判断方程

f（x）＝g（x）在区间（1，+∞）上有无实根．（Ⅲ）若

x∈（1，e]时，不等式

f（x）﹣g（x）＜2恒成立，求实数

m

的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；51：函数的零点；6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）把

m

的值代入后，求出

f（1），求出

x＝1时函数的导数，由点斜式写出曲线

y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）代入

m

的值，把判断方程

f（x）＝g（x）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数

h（x）＝f（x）﹣g（x）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；（Ⅲ）把

f（x）和

g（x）的解析式代入不等式，整理变形后把参数

m

分离出来，x∈（1，e]时，不等式

f（x）﹣g（x）＜2恒成立，转化为实数

m

小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值．22【解答】解：（Ⅰ）m＝2时，f(x)

=

2x

-

푥，f'(x)

=

2

+

2，푓'(1)

=

4，切点坐标为（1，0），∴푥切线方程为

y＝4x﹣4；2620【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的26112(푥

‒

1)2（Ⅱ）m＝1时，令h(x)

=

f(x)

-

g(x)

=

x

-

푥

‒

2푙푛푥，h'(x)

=

1

+‒

=≥

0，푥2푥푥2∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，又

h（1）＝0，所以

f（x）＝g（x）在（1，+∞）内无实数根；푚（Ⅲ）不等式

f（x）﹣g（x）＜2恒成立，即mx

-

푥‒

2푙푛푥

2＜

恒成立，也就是

m（x

﹣

）＜2x+2xlnx21恒成立，2푥

+

2푥푙푛푥又

x

﹣

＞

，则当

（

，

时，m＜210x∈1e]恒成立，푥2

‒

12푥

+

2푥푙푛푥令G(x)

=，只需

m

小于

G（x）的最小值，푥2

‒

122(2

+

2푙푛푥

+

2)(푥

‒

1)

‒

(2푥

+

2푥푙푛푥)

⋅

2푥

‒

2(푥

푙푛푥

+

푙푛푥

+

2)'由G

(푥)

==，2222(푥

‒

1)(푥

+

1)∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当

x∈（1，e]时

G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上单调递减，4푒∴G（x）在（1，e]的最小值为G(e)

=

푒2

‒

1，4푒则

m

的取值范围是(

‒

∞，

2)．푒

‒

1【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数零点的判断方法，考查了数学转化思想，训练了利用分离变量法解决恒成立的问题，数学转化思想是该题的精髓所在，属中高档题．请考生在

22、23

两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修

4-4：坐标系与参数方程]6．（10分）（2012•福州模拟）在直角坐标平面内，以坐标原点

O

为极点，x

轴的非负半轴为极轴建立极휋2휋3

)，曲线

C

的参数方程为{x

=

rcosα푦

=

푟푠푖푛훼坐标系．已知点

A、B

的极坐标分别为(1，

)、(3，(훼为参3数）．27112(푥‒1)2（Ⅱ）m＝1时，令h(x)=f(27（Ⅰ）求直线

AB

的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线

AB

和曲线

C

只有一个交点，求

r

的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5B：直线与圆；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由

x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可将

A，B

化为直角坐标，再由直线方程的形式，即可得到

AB的方程；（Ⅱ）运用同角的平方关系，可将曲线

C

化为普通方程即为圆，再由直线和圆相切：d＝r，即可得到半径

r．휋2휋3

)，【解答】解：（Ⅰ）∵点

A、B

的极坐标分别为(1，

)、(3，3133

3

3∴点

A、B

的直角坐标分别为(

，

)、(

-

2，

2

)，22∴直线

AB

的直角坐标方程为2

3푥

+

4푦

‒

3

3

=

0；{x

=

rcosα푦

=

푟푠푖푛훼（Ⅱ）由曲线

C

的参数方程(훼为参数)，化为普通方程为

x2+y2

r2＝

，∵直线

AB

和曲线

C

只有一个交点，|3

3|3

21=

±

14．∴r＝±(2

3)

+

422【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，以及极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．[选修

4-5：不等式选讲]5．（2021秋•西安期末）已知函数

f（x）＝|x+1|﹣λ，λ∈R，且

f（x﹣1）≤0的解集是[﹣1，1]．（1）求

λ

的值：28（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线AB和曲2811（2）若

r，s∈R，且

r＞0，s＞0，

+

=

λ，求

r+2s

的最小值．푟2푠【考点】5B：分段函数的应用；7F：基本不等式及其应用．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得﹣1，1为方程|x|﹣λ＝0的根，代入解方程可得

λ；1111（2）由

+

=

1，可得

r+2s＝（

+

）（r+2s），运用均值不等式，即可得到所求最小值．푟2푠

2푠푟【解答】解：（1）函数

f（x）＝|x+1|﹣λ，λ∈R，且

f（x﹣1）≤0的解集是[﹣1，1]．即有﹣1，1为方程|x|﹣λ＝0的根，可得

λ＝1；11（2）r＞0，s＞0，

+

=

1，푟2푠11可得

r+2s＝（

+

）（r+2s）푟2푠1≥2•2

2rs

=

4，2푟푠当且仅当

r＝2s＝2时，r+2s

取得最小值

4．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用转化思想，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．2911（2）若r，s∈R，且r＞0，s＞0，+=λ，29单击输入您的封面副标题此课件下载后背景图片可以一键修改编辑

使用说明【提示】下载后此页用户可自行删除！单击输入您的封面副标题此课件下载后使用【提示】下载后此页用户30【提示】下载后此页用户可自行删除！【提示】下载后此页用户可自行删除！【提示】下载后此页用户可自行删除！【提示】下载后此页用户可自行删除！32

失量图标【提示】下载后此页用户可自行删除！ 失量【提示】下载后此页用户可自行删除！33此页为防盗标记页（下载后可删）教师课堂用语辑录（收藏打印版，此页右键可以删除）教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。一、启发类1.集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗?2.自学结束，请带着疑问与同伴交流。3.学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息?4.请把你的想法与同伴交流一下，好吗?5.你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多?二、赏识类1.说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！2.你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。3.我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗?4.某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！5.让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造!三、表扬类1.你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。2.这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。3.你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？4.哎呀，你的见识可真广，懂得这么多的知识，好像百度一样，同学们以后有问题要就找你帮忙。5.通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！四、提醒类1.你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！此页为防盗标记页（下载后可删）教师课堂用语辑录（收藏打印版，此页为防盗标记页（下载后可删）教师课堂用语辑录（收藏打印版，此页右键可以删除）1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？11、你的想法很独特，老师都佩服你！12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？21、你有自己独特想法，真了不起！22、你的办法真好！考虑的真全面！23、你很会思考，真像一个小科学家！24、老师很欣赏你实事求是的态度！25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！此页为防盗标记页（下载后可删）教师课堂用语辑录（收藏打印版，此页为防盗标记页（下载后可删）教师课堂用语辑录（收藏打印版，此页右键可以删除）1、谢谢大家听得这么专心。2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。5、我不知道我这样说是否合适。6、不知我说清了没有，说明白了没有。7、